处理好猜测与证明的关系(方程组加)

1 数学课程对学生推理能力和创新意识的关注数学课程对学生推理能力和创新意识的关注 刘晓玫 1 王尚志 首都师范大学首都基础教育发展研究院 北京 100037 摘要 学生创新意识和能力的培养是时代和社会发展的需要 在以往的数学教育教学中 我们 对演绎推理给与了充分的关注 而对归纳 类比等合情推理强调的不够 数学课程改革中培养 合情推理能力的明确提出反映了对学生创新意识和能力培养的关注 是数学课程改革的一个 亮点 目前数学课程的实施已经在发展发展学生合情推理能力方面有很多有意义的尝试 但还 存在一些问题 设置恰当的问题情境对学生推理能力的培养是十分重要的 值得分析与研究 关键词 创新意识 合情推理 演绎推理 问题情境 一 推理能力的培养是数学课程的重要目标一 推理能力的培养是数学课程的重要目标 培养具有创新意识和能力的人才是时代和社会发展的需要 也是国家强盛的需要 各门 学科都应将学生创新意识和能力的培养放在重要的 核心的位置 这也是此次课程改革的一 个重要目标之一 数学课程改革中有很多的变化 其中关于合情推理的明确要求反映了对学 生创新意识和能力培养的关注 是数学课程改革的一个亮点 培养学生的推理能力是数学教育的重要目标之一 推理既包括以三段论为主要形式的演 绎推理 又包括以归纳 类比为主要途径的合情推理 这两种推理形式无论是在数学的研究 中还是在数学的学习中都是十分重要的 合情推理是获得猜测提出猜想的有效途径 在数学 的发现中扮演着不可或缺的角色 演绎推理是确认数学命题为真的推理 体现了数学学科的 特点 但演绎推理所论证的对象往往是由合情推理得来的 同时 由合情推理所得到的猜测 必须经过证明 即演绎推理 才能确定其正确性 因此 在数学的发展过程中二者是相辅相 成 缺一不可的 关于合情推理和演绎推理在人的发展和日常工作中的重要意义 著名的美国数学家和数 学教育家波利亚 G Polya 曾经说过 2 一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学 好论证推理 3 这是他的专业也是他那门科学的特殊标志 然而为了取得真正的成就他还必 须学习合情推理 这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理 一般的或者对数学友业余爱 好的学生也应该体验一下论证推理 虽然它不会有机会去直接接触它 但是他应该获得一个 标准 依此他能把现代生活中所碰到的各种所谓证据进行比较 然而在他所有的工作之中他 1作者简介 刘晓玫 1962 女 辽宁沈阳人 首都师范大学首都基础教育发展研究院副教授 教育学博士 主要从事数学课程与教学论的研究 王尚志 1947 男 河北鹿泉人 首都师范大学数学科学学院教授 博士生导师 主要从事数学教育和拓扑学研究 2波利亚 数学与猜想 科学出版社 1984 P 3这里所说的论证推理 即演绎推理 作者注 2 必将需要合情推理 总之 一个对数学有抱负的学生 不管他的兴趣如何 他应该力求学习 两种推理 论证推理和合情推理 在以往的数学教育教学中 我们对演绎推理给予了充分的关注 在我们强调的基础知识 基本技能中 都表现出对逻辑的强调 即给出已知条件 求证一个结论 这是演绎的方法 从历史发展的角度来看 自从西学引入我国以后 我国的数学教育主要关注的是演绎能力的 培养 关于这一点 杨振宁曾说过 我有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工 作 我在中国学到了演绎能力 我在美国学到了归纳能力 我国之所以重视演绎 很可能 与科举考试有关 因为科举考试强调的是基本功扎实 重视的是知识的记忆和八股文的写作 而演绎方法与此有许多相似之处 特别是从评价的角度考虑 评价归纳能力要远比评价演绎 推理困难得多 4 因此 种种原因使得我们在过去的数学教育中 对引导学生们尝试着去推 测 猜想等关注的不够 也就是说归纳 类比等合情推理没有受到充分的重视 然而 经历数学的发现过程 掌握从事数学发现的基本方法是发展学生的创新意识和创 新能力的有效途径 在解决问题的过程中 合情推理的结论往往超越了前提所包容的范围 具有猜测和发现结论 探索和提供思路的作用 因此 归纳 类比等思维与创新思维的联系 是非常密切的 不注重归纳等合情推理能力的培养 就不利于对学生创新精神的培养 不利 于创新型的人才的培养 在此次课程改革中 义务教育和普通高中的 数学课程标准 都明确提出要让学生经历 观察 实验 猜测的过程 要重视培养学生的合情推理能力 并提出了具体的内容要求 例 如 高中的数学课程标准中为不同兴趣和选择不同发展方向的学生都设立了 推理与证明 的学习内容 要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例 了解合情推理的含义 能利 用归纳和类比等进行简单的推理 体会合情推理在数学发现中的作用 了解合情推理和演绎 推理之间的联系和差异 5 课程标准中对推理能力的全面要求 推动了课程实施中对合情推理的关注 新课程的数 学实验教材以及当前的数学课堂教学中 也都重视了学生探索 猜测的过程 为学生进行合 情推理提供机会 同时 由于评价 尤其是选拔性的考试 的导向作用 我们发现在各种类 型的学业评价中也增加了对学生观察 探索 归纳 概括 猜测以及证明等能力的考察 但是 归纳 类比等推理与演绎推理不同 它们没有固定的程序和具体的步骤 对它们 的理解和把握以及运用更多的是需要学生在学习 探索的过程中自己去感悟和体会 因此为 学生提供必要的问题情景进行和探索的机会 在解决问题的过程中 让学生们亲自去观察 4 史宁中 教育与数学教育 东北师范大学出版社 2006 12 P193 5 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 2003 4 P48 3 概括 抽象 进而发现规律并作出相应的猜测 是十分必要的 同样 评价学生的推理能力 也需要利用恰当的问题情境 以全面衡量学生的推理能力 二 提供恰当的问题情境实现推理能力的培养二 提供恰当的问题情境实现推理能力的培养 1 问题情境应有利于使学生感受和经历两种推理的全过程 正因为合情推理的培养需要学生在分析 探索的过程中才能逐渐地体会和领悟 进而加 以运用 所以研究和分析如何为学生提供充分的机会和供其探索的恰当的问题就是十分必要 的 目前 在有关合情推理的教学和评价方面 广大数学教育工作者和数学教师通过自己的 努力 营造出学生观察 思考和探索的气氛 也编制出一些可供学生进行这方面探索的问题 以及考察学生推理能力的测试题 如下的一道中考试题从某种程度上来说能够体现对学生归 纳和演绎推理的要求 问题 老师在黑板上写出三个算式 52 32 8 2 92 72 8 4 152 32 8 27 王华接着又写 出了两个具有同样规律的算式 112 52 8 12 152 72 8 22 1 请你再写出两个 不同于上面算式 具有上述规律的算式 2 用文字写出反映上述算式的规律 3 证明这个规律的正确性 事实上 上面问题 的已知条件中 五个等式分两次给出 按照美国数学教育家波利亚 的观点 6 可以将前三个等式称之为启发式联想 因为对这三个等式的观察与分析 能够启 发观察者获得对某种规律的初步认识 但这样的认识是模糊的 接下来的等式可以称之为支 持性联想 也就是对前面得到的较为模糊的认识的进一步的清晰和认可 这个过程实际上就 是获得了猜测的过程 继续下去 对第一个问题的回答 我们可以看成是对前面的猜测进行 验证的过程 也可以看成是支持性联想的一部分 而对于第二个问题的回答 就已经是将发 现的规律进行一般化的表述 形成猜想了 上述整个过程是合情推理的过程 最后一个小问 题则是要求对猜想给出形式化的数学证明 即通过演绎推理完成对结论的证明 在完成这个问题的解答过程中 既包含了对所给的算式的观察 分析和类比 又要求在 此基础上归纳和探索出规律 并进一步对规律进行数学的表述 最后对此规律进行推理证明 因此 笔者认为这样的一个问题就为学生进行合情推理和演绎推理提供了可能 作为试题也 能比较全面地考察学生两种推理能力的情况 当然 我们还可以通过适当的改造 使上述问题有更大的探索 归纳的空间 例如 我 们可以让学生自行计算 52 32 92 72 152 32等运算后的结果 并尝试寻找这些结果具有的特 点或规律 如果学生有困难 可以提示是否能够被 2 或 4 等整除 这样学生经历观察 分 6波利亚 数学与猜想 科学出版社 1984 p2 4 析抽象 归纳概括以及获得猜测等一系列活动 最后进行演绎证明 使合情推理能力及演绎 推理能力得到发展 上面这个例子中 无论是类比 归纳还是推理证明 都是学生们能够完成的 因此 它 既适合对学生相应能力的培养 也适合考察学生相关的能力和水平 再看下面的例子 问题 用计算器计算 请你猜测 1999999999 1999999 1999 的结果为多少 9199999999 对于此问题 学生可以通过观察和分析所给数字和计算结果的特征 发现其中的规律并 猜测出结果 然而 由于问题本身没有要求思考和说明猜测的理由 因此 学生的猜测仅限 于形式上的归纳 与前面的问题 相比 还缺乏进一步的验证 这样的问题对学生来说容易 形成固定的模式 也不利于学生理解和体会合情推理与演绎推理的关系 如果没有正确的引 导 甚至有可能误导学生认为归纳得到的结论即为正确的结论 2 问题的提出和呈现应保证探究性和科学性 在我们所看到的一些问题中 还有一些问题的本身是具有探究价值的 但由于问题的提 法不当 而使问题的可探究性大打折扣 例如 问题 某公园的侧门口有九级台阶 小明一步只能上 1 级台阶或 2 级台阶 小明发现 当台阶数分别为 1 级 2 级 3 级 4 级 5 级 6 级 7 级 逐渐增加时 上台阶不同方法的种 数依次为 1 2 3 5 8 13 21 这就是著名的菲波那契数列 那么小明上这九级台阶共 有 种不同的方法 实际上 这是一个富有一定探索和推理空间的问题 但由于出题者 不打自招 地将问 题的规律道了出来 而且是强加给学生 所以学生思考此问题时就只能是对几个冰冷的数字 进行加减计算 发现其规律了 而对规律的正确与否则不去考虑 因此将一个值得探索和推 理证明的问题演化成了对数字的运算 其中也同样存在着容易使学生将归纳和推理证明混为 一谈的类似问题 下面两个例子中的问题更加需要给予关注 否则就会出现学科上的问题 例如 问题 小王利用计算机设计了一个计算程序 输入和输出的数据如下 输入 12345 输出 25101726 当输入数据为 8 时 输出的数据为 问题 观察分析下列数据 寻找规律 5 0 3 2 3 那么第 10 个数据是 6 33152 类似这样的例子在目前的各种练习册以及考试的试题中会经常见到 而且通常从这类问 题的表述上我们可以看出 它们所要求的答案似乎是唯一确定的 学生们通过观察 试误等 的方法找出所给出的一组数的特征 并依此特征给出问题的答案 如 对于问题 答案是这样给出的 因为 所以输入 n 时 输出的数据为1417 1310 125 112 2222 所以当 n 8 时 输出的数据为 1 2 n65 类似的 问题 给出的答案是 因为 0 11 3 13 36 12 33 16 315 15 332 14 33 所以第 n 个数据应是 当 n 10 时 所对应的数据是 3 1 3 n3 对于中学生来说 这样的解答似乎是合理的 然而 事实上这些问题的答案不仅不是唯 一的 而且可以是无穷多个 我们可以构造出无穷多个类似于上述的及的所1 2 n 1 3 n 谓的通项公式 这些通项满足题目中给出的前几项的要求 而且依此通项我们可以使所求的 项中的数值是任意的 例如 对于问题 当输入数据 8 时 我们可以在满足题目要求的条件下使输出的数据 为任意数 k 具体做法如下 定义多项式函数 y a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a1x a0 并令其满足 当 x 1 2 3 4 5 8 时 y 2 5 10 17 26 k 由此我们能够得到一个关于 an n 0 1 2 3 4 5 的方程组 a5 a4 a3 a2 a1 a0 2 25a5 24a4 23a3 22a2 2a1 a0 5 35a5 34a4 33a3 32a2 3a1 a0 10 45a5 44a4 43a3 42a2 4a1 a0 17 55a5 54a4 53a3 52a2 5a1 a0 26 85a5 84a4 83a3 82a2 8a1 a0 k 解这个方程组 求出 an n 0 1 2 3 4 5 就得到了满足条件要求的多项式函数 即按 此规律 多项式函数 它不仅满足原来题目已知的几项的要求 也能够使第 8 项有随意选 择的余地 同样地 问题 的解答也是可以任意地选择一个实数添入空格内 并能类似地写 6 出其满足的规律 因此 从这个意义上讲 很多类似的问题的提法上就显得不那么严谨了 尽管这些还不至于使中学生产生怀疑 三 反思与建议三 反思与建议 数学课程及教学从过去的过于关注演绎推理到重视合情推理从而全面发展学生的推理能 力 这样的转变应该说是数学课程改革诸多变化中的一个十分重要的方面 受到了学科专家 数学教育专家和数学教育工作者的一致认同 很多教师不仅认识到了合情推理的重要性并且 在积极地努力创造条件发展学生的合情推理能力 但是 上面列举的一些问题值得教师在教 学中思考和注意 例如 类似于问题 中提法不甚严谨的问题是不是就无法提供给学生了 如何改进这些问题情境呢 进一步的 如何为学生提供可供探究和思考 既包含合情