贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第三十五讲应用题 人教新课标版

用心 爱心 专心1 第三十五讲第三十五讲 应用题应用题 在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧 当今数学已经渗入到整个社会的各个领域 因此 应用数学去观察 分析日常生活现象 去解决日常生活问题 成为各类数学竞赛的一个热点 应用性问题能引导学生关心生活 关心社会 使学生充分体会到数学与自然和人类社 会的密切联系 增强对数学的理解和应用数学的信心 解答应用性问题 关键是要学会运用数学知识去观察 分析 概括所给的实际问题 揭示其数学本质 将其转化为数学模型 其求解程序如下 在初中范围内常见的数学模型有 数式模型 方程模型 不等式模型 函数模型 平面 几何模型 图表模型等 例题求解例题求解 一 用数式模型解决应用题 数与式是最基本的数学语言 由于它能够有效 简捷 准确地揭示数学的本质 富有 通用性和启发性 因而成为描述和表达数学问题的重要方法 例 1 2003 年安徽中考题 某风景区对 5 个旅游景点的门票价格进行了调整 据统计 调价前后各景点的游客人数基本不变 有关数据如下表所示 景点 ABCDE 原价 元 1010152025 现价 元 55152530 平均日人数 千人 11232 1 该风景区称调整前后这 5 个景点门票的平均收费不变 平均日总收入持平 问风景区 是怎样计算的 2 另一方面 游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前 实际上增加了 约 9 4 问游客是怎样计算的 3 你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际 思路点拨思路点拨 1 风景区是这样计算的 调整前的平均价格 元16 5 2520151010 设整后的平均价格 元16 5 30251555 用心 爱心 专心2 调整前后的平均价格不变 平均日人数不变 平均日总收入持平 2 游客是这样计算的 原平均日总收入 10 1 10 1 15 2 20 3 25 2 160 千元 现平均日总收入 5 1 5 1 15 2 25 3 30 2 175 千元 平均日总收入增加了 4 9 160 160175 3 游客的说法较能反映整体实际 二 用方程模型解应用题 研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程1440 故建造的 4 道门符合安全规定 三 用不等式模型解应用题 现实世界中的不等关系是普遍存在的 许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关 系 只需要确定某个量的变化范围 即可对所研究的问题有比较清楚的认识 例 3 苏州中考题 我国东南沿海某地的风力资源丰富 一年内月平均的风速不小于 3m s 的时间共约 160 天 其中日平均风速不小于 6m s 的时间占 60 天 为了充分利用 风能 这种 绿色资源 该地拟建一个小型风力发电场 决定选用 A B 两种型号的风 力发电机 根据产品说明 这两种风力发电机在各种风速下的日发电量 即一天的发电量 如下表 一天的发电量 如下表 日平均风速 v 米 秒 v 33 v 6v 6 A 型发电机 O 36 150 日发电量 千瓦 时 B 型发电机 O 24 90 根据上面的数据回答 1 若这个发电场购 x 台 A 型风力发电机 则预计这些 A 型风力发电机一年的发电总量至少 为 千瓦 时 用心 爱心 专心3 2 已知 A 型风力发电机每台 O 3 万元 B 型风力发电机每台 O 2 万元 该发电场拟购置风 力发电机共 10 台 希望购机的费用不超过 2 6 万元 而建成的风力发电场每年的发电总量 不少于 102000 千瓦 时 请你提供符合条件的购机方案 根据上面的数据回答 思路点拨思路点拨 1 100 36 60 150 x 12600 x 2 设购 A 型发电机 x 台 则购 B 型发电机 10 x 台 解法一根据题意得 102000 10 780012600 6 2 10 2 03 0 x xx 解得 5 x 6 故可购 A 型发电机 5 台 B 型发电机 5 台 或购 A 型发电机 6 台 B 型发电视 4 台 四 用函数知识解决的应用题 函数类应用问题主要有以下两种类型 1 从实际问题出发 引进数学符号 建立函数 关系 2 由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式 例 4 扬州 杨嫂在再就业中心的扶持下 创办了 润杨 报刊零售点 对经营的某种 晚报 杨嫂提供丁如下信息 买进每份 0 20 元 卖出每份 0 30 元 一个月内 以 30 天计 有 20 天每天可以卖出 200 份 其余 10 天每天只能卖出 120 份 一个月内 每天从报社买进的报纸份数必须相同 当天卖不掉的报纸 以每份 0 10 元退 回给报社 1 填表 一个月内每天买进该种晚报的份数 100150 当月利润 单位 元 2 设每天从报社买进该种晚报 x 份 120 x 200 时 月利润为 y 元 试求出 y 与 x 的函数关系式 并求月利润的最大值 思路点拨思路点拨 1 填表 一个月内每天买进该种晚报的份数 100150 当月利润 单位 元 300390 2 由题意可知 一个月内的 20 天可获利润 20 0 3 0 2 x 2x 元 其余 10 天可获利润 10 0 3 0 2 120 0 1 x 120 240 x 元 故 y x 240 120 x 200 当 x 200 时 月利润 y 的最大值为 440 元 注 根据题意 正确列出函数关系式 是解决问题的关键 这里特别要注意自变量 x 的取值范围 另外 初三还会提及统计型应用题 几何型应用题 例 5 桂林市 某公司需在一月 31 天 内完成新建办公楼的装修工程 如果由甲 乙 两个工程队合做 12 天可完成 如果由甲 乙两队单独做 甲队比乙队少用 10 天完成 1 求甲 乙两工程队单独完成此项工程所需的天数 2 如果请甲工程队施工 公司每日需付费用 2000 元 如果请乙工程队施工 公司每日 需付费用 1400 元 在规定时间内 A 请甲队单独完成此项工程 B 请乙队单独完成此项 工程 C 请甲 乙两队合作完成此项工程 以上方案哪一种花钱最少 思路点拨思路点拨 这是一道策略优选问题 工程问题中 工作量 工作效率 工时 1 设乙工程队单独完成此项工程需 x 天 根据题意得 用心 爱心 专心4 12 1 10 11 xx x 30 合题意 所以 甲工程队单独完成此项工程需用 20 天 乙队需 30 天 2 各种方案所需的费用分别为 A 请甲队需 2000 20 40000 元 B 请乙队需 1400 30 4200 元 C 请甲 乙两队合作需 2000 1400 12 40800 元 所队单独请甲队完成此项工程花钱最少 例 6 2 全国联赛初赛题 一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区 他 们以每天 17km 的速度出发 沿河岸向上游行进若干天后到达目的地 然后在生态区考察了 若干天 完成任务后以每天 25km 的速度返回 在出发后的第 60 天 考察队行进了 24km 后 回到出发点 试问 科学考察队的生态区考察了多少天 思路点拨思路点拨 挖掘题目中隐藏条件是关键 设考察队到 生态区去用了 x 天 返回用了 y 天 考察用了 z 天 则 x y z 60 17x 25y 1 即 25y 17x 1 这里 x y 是正整数 现设法求出 的一组合题意的解 然后计算出 z 的值 为此 先求出 的一组特殊解 x0 y0 这里 x0 y0可以是负整数 用辗转相除法 25 l 17 8 17 2 8 1 故 1 17 2 8 17 2 25 17 3 17 2 25 与 的左端比较可知 x0 3 y0 2 下面再求出 的合题意的解 由不定方程的知识可知 的一切整数解可表示为 x 3 25t y 2 17t x y 42t 5 t 为整数 按题意 0 x y 60 故仅当 t 1 时才合题意 这时 x y 42 5 37 z 60 x y 23 答 考察队在生态区考察的天数是 23 天 注 本题涉及到的未知量多 最终转化为二元一次不定方程来解 希读者仔细咀嚼所用方 法 例 7 江苏省第 17 届初中竞赛题 华鑫超市对顾客实行优惠购物 规定如下 1 若一次购物少于 200 元 则不予优惠 2 若一次购物满 200 元 但不超过 500 元 按标价给予九折优惠 3 若一次购物超过 500 元 其中 500 元部分给予九折优惠 超过 500 元部分给予八折 优惠 小明两次去该超市购物 分别付款 198 元与 554 元 现在小亮决定一次去购买小明分两 次购买的同样多的物品 他需付款多少 思路点拨思路点拨 应付 198 元购物款讨论 第一次付款 198 元 可是所购物品的实价 未享受优惠 也可能是按九折优惠后所付的 款 故应分两种情况加以讨论 情形 1 当 198 元为购物不打折付的钱时 所购物品的原价为 198 元 又 554 450 104 其中 450 元为购物 500 元打九折付的钱 104 元为购物打八折付的钱 104 0 8 130 元 因此 554 元所购物品的原价为 130 500 630 元 于是购买小呀花 198 630 828 元 所 购的全部物品 小亮一次性购买应付 500 0 9 828 500 0 8 712 4 元 情形 2 当 198 元为购物打九折付的钱时 所购物品的原价为 198 0 9 220 元 仿 用心 爱心 专心5 情形 1 的讨论 购 220 630 850 元 物品一次性付款应为 500 0 9 850 500 0 8 730 元 综上所述 小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品 应付款 712 40 元或 730 元 例 8 2002 年全国数学竞赛题 某项工程 如果由甲 乙两队承包 2 5 2 天完成 需 180000 元 由乙 丙两队承包 3 4 3 天完成 需付 150000 元 由甲 丙两队承包 2 7 6 天 完成 需付 160000 元 现在工程由一个队单独承包 在保证一周完成的前提下 哪个队承 包费用最少 思路点拨思路点拨 关键问题是甲 乙 丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资 分两个 层次考虑 设甲 乙 丙单独承包各需 x y z 天完成 则 20 711 15 411 12 511 xz zy yx 解得 10 6 4 z y x 再设甲 乙 丙单独工作一天 各需付 u v w 元 则 160000 7 20 150000 4 15 180000 5 12 uw wv vu 解得 10500 29500 45500 w v u 于是 由甲队单独承包 费用是 45500 4 182000 元 由乙队单独承包 费用是 29500 6 177000 元 而丙队不能在一周内完成 所以由乙队承包费用最少 学历训练学历训练 A A 级 级 1 河南 在防治 SARS 的战役中 为防止疫情扩散 某制药厂接到了生产 240 箱过氧 乙酸消毒液的任务 在生产了 60 箱后 需要加快生产 每天比原来多生产 15 箱 结 果 6 天就完成了任务 求加快速度后每天生产多少箱消毒液 2 山东省竞赛题 某市为鼓励节约用水 对自来水妁收费标准作如下规定 每月每户用水 中不超过 10t 部分按 0 45 元 吨收费 超过 10t 而不超过 20t 部分按每吨 0 8 元收费 超 过 20t 部分按每吨 1 50 元收费 某月甲户比乙户多缴水费 7 10 元 乙户比丙户多缴水费 3 75 元 问甲 乙 丙该月各缴水费多少 自来水按整吨收费 3 江苏省竞赛题 甲 乙 丙三人共解出 100 道数学题 每人都解出了其中的 60 道题 将其中只有 1 人解出的题叫做难题 3 人都解出的题叫做容易题 试问 难题多还是容易 题多 多的比少的多几道题 4 某人从 A 地到 B 地乘坐出租车有两种方案 一种出租车收费标准是起步价 10 元 每千 米 1 2 元 另一种出租车收费标准是起步价 8 元 每千米 1 4 元 问选择哪一种出租车比 较合适 提示 根据目前出租车管理条例 车型不同 起步价可以不同 但起步价的最大行驶 里程是相同的 且此里程内只收起步价而不管其行驶里程是多少 用心 爱心 专心6 B B 级 级 1 全国初中数学竞赛题 江堤边一洼地发生了管涌 江水不断地涌出 假定每分钟涌出的 水量相等 如果用两台抽水机抽水 40min 可抽完 如果用 4 台抽水机抽 16min 可抽 完 如果要在 10min 抽完水 那么至少需要抽水机 台 2 希望杯 有一批影碟机 VCD 原售价 800 元 台 甲商场用如下办法促销 乙商场用如下办法促销 每次购买 1 8 台 每台打九折 每次购买 9 16 台 每台打八 五折 每次购买 17 24 台 每台打八折 每次购买 24 台以上 每台打七五折 1 请仿照甲商场的促销列表 列出到乙商场购买 VCD 的购买台数与每台价格的对照 表 2 现在有 A B C 三个单位 且单位要买 10 台 VCD B 单位要买 16 台 VCD C 单位要 买 20 台 VCD 问他们到哪家商场购买花费较少 3 河北创新与知识应用竞赛题 某钱币收藏爱好者想把 3 50 元纸币兑换成 1 分 2 分 5 分的硬币 他要求硬币总数为 150 枚 且每种硬币不少于 20 枚 5 分的硬币要多于 2 分的 硬币 请你据此设计兑换方案 4 从自动扶梯上走到二楼 扶梯