辽宁省凌海市石山初级中学2013中考数学专题训练 三角形证明 北师大版

用心 爱心 专心1 辽宁省凌海市石山初级中学辽宁省凌海市石山初级中学 20132013 中考数学专题训练中考数学专题训练 三角形证明三角形证明 北师大版北师大版 一 选择题 每小题只有一个正确答案 1 如图 在 ABC 中 AB AC A 40 CD AB 于 D 则 DCB 等于 D C B A A 70 B 50 C 40 D 20 2 要测量河两岸相对的两点 A B 的距离 先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C D 使 CD BC 再定出 BF 的 垂线 DE 使 A C E 在同一条直线上 如图 可以证明 得 ED AB 因此测得 ED 的长就是 AB 的 长 判定 EDC ABC 的理由是 A B C E D F 第 2 题 A 边角边 B 角边角 C 边边边 D 斜边 直角边 3 在 ABC 中 D E 分别是 AB AC 上的点 下列比例式中 不能判定 DE BC 的是 E A B C D 4 已知中 若 下列各式中正确的是 ABC 90 C2 BC3 AC A B C D 3 2 sin A 3 2 cos A 3 2 tan A 3 2 cot A 5 如图 矩形 OABC 的边 OA 长为 2 边 AB 长为 1 OA 在数轴上 以原点 O 为圆心 对角线 OB 的长为半 径画弧 交正半轴于一点 则这个点表示的实数是 用心 爱心 专心2 A 2 5 B 2 C D 235 6 下列可以构成直角三角形三边长的是 A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 4 5 6 二 填空题 7 如图 Rt ABC 中 ACB 90 A 50 将其折叠 使点 A 落在边 CB 上 A 处 折痕为 CD 则 A DB A B D AC 8 如图 中 是边的中点 是 BC 边上一点ABCRt 90 ACB6 AC8 BCDABP 点不与 重合 若以 为顶点的三角形与相似 则线段 PBCDCPABC PC 9 如图 BAC ABD 请你添加一个条件 使 BC AD 只添一个条件即可 D O C BA B 10 如图 当太阳光与地面成角时 直立于地面的玲玲测得自己的影长为 1 25m 则玲玲的身高约为 55 m 精确到 0 01m 参考数据 sin55 0 8192 cos55 0 5736 tan55 1 428 11 已知 且 则的值为 432 cba 6 cbacba 12 如图 已知 那么添加下列一个条件 使得 BCADCA ABCADC 三 计算题 13 如图 已知 AC 与 BD 相交于点 E DE CE AE BE 求证 A B 用心 爱心 专心3 14 如图 10 有一湖的湖岸在 A B 之间呈一段圆弧状 A B 间的距离不能直接测得 你能用已学过的 知识或方法设计测量方案 求出 A B 间的距离吗 15 如图 已知 AC BD EA EB 分别平分 CAB 和 DBA CD 过点 E 则 AB 与 AC BD 相等吗 请说明理 由 16 如图 要在河边修建一个水泵站 分别向张村A和李庄B送水 已知张 村A 李庄B到河边的距离分别为 2km 和 7km 且张 李二村庄相距 13km 1 2 分 水泵应建在什么地方 可使所用的水管最短 请在图中 设计出水泵站 的位置 2 4 分 如果铺设水管的工程费用为每千米 1500 元 为使铺设 水管费用最节省 请求出最节省的铺设水管的费用为多少元 四 解答题 17 一位同学拿了两块三角尺 做了一个探究45 MNK ACB 活动 将 的直角顶点放在的斜边的中点处 MNK MABC AB 设 4ACBC A B C M N K 图 1 A B C M N K 图 2 A B C M N K 图 3 D G 1 如图 1 两三角尺的重叠部分为 则重叠部分的面积为 周长为 ACM 用心 爱心 专心4 2 将图 1 中的绕顶点逆时针旋转 得到图 26 2 此时重叠部分的面积为 MNK M45 周长为 3 如果将绕旋转到不同于图 1 和图 2 的图形 如图 3 请你猜想此时重叠部分MNK M 的面积为 4 在图 3 情况下 若 求出重叠部分图形的周长 1AD 18 每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形 在建立平面直角坐标系后 ABC 的顶点均在格点上 把 ABC 向上平移 5 个单位后得到对应的 A1B1C1 画出 A1B1C1 以原点 O 为对称中心 再画出与 A1B1C1关于原点 O 对称的 A2B2C2 19 如图 已知 AB 的中垂线交于点 交于点 平分 ACAB MNACDABMBDABC 1 求证 ABC BCD 2 求的值 AC AD 3 求的值 Acos 20 如图 点 D E 分别在 ABC 的边 AB AC 上 DE BC 1 若 求 2 ADE S5 7 BCE S BDE S 2 若 求 用 m n 表示 mS BDE nS BCE ABC S 用心 爱心 专心5 21 如图 在 ABD和 ACE中 有下列四个等式 AB AC AD AE 1 2 BD CE 请你以其中三 个等式作为题设 余下的作为结论 写出一个真命题 要求写出已知 求证及证明过程 2 1 E C B A D 用心 爱心 专心 参考答案 1 D 解析 解 AB AC A 40 B C 180 40 2 70 又 CD AB BDC 90 DCB 90 70 20 故选 D 2 B 解析 解 BF AB DE BD ABC BDE 又 CD BC ACB DCE EDC ABC ASA 故选 B 3 B 解析 解 A 可证明 DE BC 故本选项不正确 B 不可证明 DE BC 故本选项正确 C 可证明 DE BC 故本选项不正确 D 可证明 DE BC 故本选项不正确 故选 B 4 C 解析 解 90 C2 BC3 AC 故选 C 5 D 解析 由勾股定理可知 OB 22 215 这个点表示的实数是 5 故选 D 6 C 解析 解 故选 C 222 321 222 432 222 543 222 654 7 10 解析 解 Rt ABC 中 ACB 90 A 50 B 90 50 40 用心 爱心 专心 将其折叠 使点 A 落在边 CB 上 A 处 折痕为 CD 则 CA D A CA D 是 A BD 的外角 A DB CA D B 50 40 10 8 4 或 4 7 解析 解 由 Rt ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 D 是 AB 边的中点 即可求得 AB 与 CD 的值 又 由以 D C P 为顶点的三角形与 ABC 相似 可得 DPC 90 或 CDP 90 然后根据相似三角形的对应 边成比例 即可求得 PC 的值 9 AC BD 解析 可添加的条件为 AC BD 证明 AC BD BAC ABD AB BA BAC ABD AAS BC AD 10 1 79 解析 解 玲玲的身高 影长 tan55 1 25 1 428 1 79 m 11 18 解析 解 令 则 k cba 432 kckbka432 得 6 cba 6432 kkk6 k241812 cba 18 cba 12 BC DC 满足条件即可 解析 解 已知 公共边 AC 再有 BC DC 即可根据 SAS 得到 BCADCA ABCADC A B C D 13 见解析 解析 DE CE AE EB DEQ CEB ADE BCE A B 14 解 要测量 A B 间的距离 可用如下方法 1 过点 B 作 AB 的垂线 BF 在 BF 上取两点 C D 使 CD BC 再定出 BF 的垂线 DE 使 A C E 在一条 直线上 根据 角边角公理 可知 EDC ABC 因此 DE BA 即测出 DE 的长就是 A B 之间的距 离 如图甲 用心 爱心 专心 2 从点 B 出发沿湖岸画一条射线 BF 在 BF 上截取 BC CD 过点 D 作 DE AB 使 A C E 在同一 直线上 这时 EDC ABC 则 DE BA 即 DE 的长就是 A B 间的距离 如图乙 解析 略 15 证法 如图 1 在 AB 上截取 AF AC 连结 EF 在 ACE 和 AFE 中 ACE AFE SAS 12 ACAF AEAE 6 D 在 EFB 和 BDE 中 5 180 56180 C ACBDCD A 6 34 D BEBE EFB EDB AAS FB DB AC BD AF FB AB 解析 略 16 1 点 P 既为所求 2 分 过 B 点作 BC EA 交 EA 的延长线于 C 点 BF 7 AC CE AE 7 2 5 在 Rt ABC 中 BC 4 分 在 Rt ABC 中 BC 5 分 铺设水管的最低费用为 15 1500 22500 元答 铺设水管的最低费用为 22500 元 6 分 解析 略 17 解 1 如图 1 两三角尺的重叠部分为 则重叠部分的面积为 4 周长为 4 2 ACM 2 2 将图 1 中的绕顶点逆时针旋转 得到图 2 此时重叠部分的面积为 4 MNK M45 周长为 8 3 如果将绕旋转到不同于图 1 和图 2 的图形 如图 3 请你猜想此时重叠部分MNK M 的面积为 4 4 连结 CM 证明 ADM CGM ADM CGM MCG MAG 450 AM CM 于是 AD CG DM GM 所求 L CD DM MG GC AD CD 2DM 4 2DM 用心 爱心 专心 过 M 做 BC 平行线 交 AC 于 E 点 即 ME 为 ABC 中位线 ME 2 E 为 AC 中点 所以 AE 2 因为 AD 1 所以 DE 2 1 1 利用勾股定理 RT DME 得到 DM 所以周长为 4 2 55 解析 1 由等腰直角三角形的性质 底边上的中线与底边上的高重合 得到 AMC 是等腰直角三角形 AM MC AC 则重叠部分的面积是 ACB 的面积的一半 即可求出答案 2 2 2 易得重叠部分是正方形 边长为AC 面积为 周长为 2AC 2 1 2 4 1 AC 3 过点 M 分别作 AC BC 的垂线 MH MG 垂足为 H G 求得 Rt MHE Rt MGF 则阴影部分的面积等 于正方形 CGMH 的面积 4 先过点 M 作 ME BC 于点 E MF AC 于点 F 根据 DMF GME MF ME 得出Rt DFM Rt GEM 从 而得出 GE DF CG AD 最后根据 AD 和 DF 的值 算出 DM 即可得出答案 5 18 解析 1 根据平移的特征作出图形 2 根据中心对称图形的特征作出图形 19 证明 AB 的中垂线交于点MNACD AD BD A ABD 平分BDABC A ABD DBC 又 C 是公共角 ABC BCD 2 根据 1 可得 AD BD BC 设 AC 1 AD x ABC BCD 则 x x x 1 1 解得或 不合题意 舍去 2 51 x 2 51 x 2 51 x 用心 爱心 专心 2 15 AC AD 3 在中 DM ABAMDRt 4 15 2 1 cos xAD AM A 解析 1 首先根据中垂线的性质得到 AD BD 接着得到 A ABD 而 BD 平分 ABC 由此得到 A ABD DB C 又 C 是公共角 然后利用相似三角形的判定定理即可证明 ABC BCD 2 根据 1 可得 AD BD BC 设 AC 1 AD x 然后利用相似三角形的性质得到 x x x 1 1 解方程求得 然后就可以求出 2 51 x 2 15 AC AD 3 在 Rt AMD 中 DM AB 根据三角函数的定义即可解决问题 20 证明 1 设xS BDE AB AD S S AE ADE EC AE S S BCE ABE DE BC EC AE DB AD 2 ADE S5 7 BCE S 5 7 22x x 解得 3 5 21 xx 舍 3 BDE S 2 由 1 知 BDE ADE S S BCE ABE S S 设 又 yS ADE mS BDE nS BCE n my m y 解得 mn m y 2 mn n mn m nmS ABC 22 解析 1 设 则可得出 ABE 与 BCE 的面积之比 再将 x 的值代入即可得出答案 xS BDE 用心 爱心 专心 2 由 1 知 设 又 从而得出 y 与 m n 的函数关 BDE ADE S S BCE ABE S