2013年高考数学一轮经典例题 不等式性质 理

用心 爱心 专心 20132013 年高考数学 理 一轮经典例题年高考数学 理 一轮经典例题 不等式性质不等式性质 例 1 比较 3 3 x 与 x3 的大小 其中 Rx 解 xx3 3 2 33 2 xx 3 2 3 2 3 3 222 xx 4 3 2 3 2 x 0 4 3 xx33 2 说明 由例 1 可以看出实数比较大小的依据是 baba 0 baba 0 baba 0 典型例题二 例 2 比较 1 6 x 与 24 xx 的大小 其中 Rx 解 1 246 xxx 1 246 xxx 1 1 224 xxx 1 1 42 xx 1 1 1 222 xxx 1 1 222 xx 当 1 x 时 246 1xxx 当 1 x 时 1 246 xxx 说明 两个实数比较大小 通常用作差法来进行 其一般步骤是 第一步 作差 第二步 变形 常采用配方 因式分解等恒等变形手段 第三步 定号 贵州省是能确定是大于 0 还是等于 0 还是小于 0 最后得结论 概括为 三步 结论 这里的 变形 一步最为 关键 典型例题三 用心 爱心 专心 例 3 Rx 比较 1 2 1 2 x xx 与 2 1 x 1 2 xx 的大小 分析 直接作差需要将 1 2 1 2 x xx 与 2 1 x 1 2 xx 展开 过程复杂 式子冗 长 可否考虑根据两个式子特点 予以变形 再作差 解 1 2 1 2 x xx 1 x 1 2 2 x xx 1 2 1 1 2 x x xxx 1 2 1 1 1 2 1 22 xxxxxx 1 2 1 1 1 22 xxxxx 1 2 1 1 2 1 22 xxx x xx 0 2 1 1 2 1 1 2 1 2 xxxx 则有 Rx 时 1 2 1 2 x xx 2 1 x 1 2 xx 恒成立 说明 有的确问题直接作差不容易判断其符号 这时可根据两式的特点考虑先变形 到比较 易于判断符号时 再作差 予以比较 如此例就是先变形后 再作差 典型例题四 例 4 设 Rx 比较 x 1 1 与 x 1 的大小 解 作差 x x x x 1 1 1 1 2 1 当 0 x 时 即 0 1 2 x x x x 1 1 1 2 当 01 x 即 1 x 时 0 1 2 x x 用心 爱心 专心 x x 1 1 1 3 当 01 x 但 0 x 即 01 x 或 0 x 时 0 1 2 x x x x 1 1 1 说明 如本题作差 变形 变形到最简形式时 由于式中含有字母 不能定号 必须对字母 根据式子具体特点分类讨论才 能定号 此时要注意分类合理恰当 典型例题五 例 5 比较 16 18 与 18 16 的大小 分析 两个数是幂的形式 比较大小一般采用作商法 解 161616 2 16 18 16 28 9 2 1 8 9 16 1 16 18 16 18 1618 016 1 28 9 1 0 28 9 181618 16 说明 求商法比大小的变形要围绕与 1 比大小进行 典型例题六 例 6 设 0 0 ba 且 ba 比较 ba ba 与 abb a 的大小 分析 比较大小一般方法是求差法或求商法 利用不等式的性质进行变形 然后确定大小 解 baabba ab ba b a ba ba ba 当 0 ba 时 0 1 ba b a 1 ba b a 当 0 ab 时 0 10 ba b a 1 ba b a 1 ba b a 即 1 ab ba ba ba 又 0 abb a abaa baba 用心 爱心 专心 说明 求商法的基本步骤是 求商 变形 与 1 比大小从而确定两个数的大小 典型例题七 例 7 实数 dcba 满足条件 dcba 0 cbca 0 dbda 则有 A bdca B dbac C dbca D bdac 天津市 2001 年南开中学期末试题 分析 先由条件 分析出 ba 与 dc 的关系 根据条件利用 用数轴数形结合比出大 小 解 0 cbca ba 与c同侧 0 dbda ba 与d异侧 dcba 把 dcba 标在数轴上 只有下面一种情况 由此得出 bdac 此题选 D 说明 比较大小时可以借助于数轴 利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置 这 样容易看出几个数之间的大小关系 尤其是比较的个数较多时适用 典型例题八 例 8 已知 11 ba 31 ba 求 ba 3 的取值范围 分析 此题是给代数式的字母的范围 求另外代数式的范围 分为两步来进行 1 利用待定 系数法将代数式 ba 3 用 ba 和 ba 表示 2 利用不等式性质及题目条件确定 ba 3 的 范围 解 设 byxayxbaybaxba 3 2 1 1 3 y x yx yx 由 2 得 231 2 21 baba 即 731 ba 说明 此题的一种典型错误做法 如下 用心 爱心 专心 31 11 baba 420 a 即 20 a 024 13 11 b abba 即 02 b 830 20 630 ba ba 此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系 相互制约的量 而不是各自独立的 当 ba 取到最大值或最小值时 ba 不一定能取到最值 所以用以上方法可能扩大变量的范 围 避免出错的方法是通过待定系数法 整体代入 见解题过程 典型例题九 例 9 判断下列各命题的真假 并说明理由 1 若 22 bcac 则 ba 2 若 ba 则 11 ba 3 若 0 cba 则 b c a c 4 若 dcba 则 dbca 5 若 caba 0 则 2 bca 6 若 Nmba 则 mm ba 分析 利用不等式的性质来判断命题的真假 解 1 0 222 cbcac ba bcac c 22 2 0 1 是真命题 2 可用赋值法 2 3 ba 有 ba 11 是假命题 也可这样说明 ab ab ba 11 ba 只能确定 0 ab 用心 爱心 专心 但ab的符号无法确定 从而 ba 11 的符号确定不了 所以 ba 11 无法得到 实际上有 11 0 ba abba 11 0 ba abba 3 与 2 类似 由 ba b c a c c ba 0 11 从而 b c a c ba 是假命题 4 取特殊值 3 2 1 5 dcba 有 dbca 是假命题 定理 3 的推论是同向不等式可相加 但同向不等式相减不一定成立 只有异向不等式可相减 即 dbcadcba 5 bca bcab b ca aba a ba 2 2 0 0 0 是真命题 6 定理 4 成立的条件为必须是正数 举反例 2 4 3 mba 则有 mm ba 说明 在利用不等式的性质解题时 一定要注意性质定理成立的条件 要说明一个命题是假 命题可通过举反例 典型例题十 例 10 求证 0 0 11 ba ba ba 分析 把已知的大小关系转化为差数的正负 再利用不等式的性质完成推理 证明 利用不等式的性质 得 0 00 1111 0 ab ab ba abba baba 0 0 号号 ba ba ba 典型例题十一 用心 爱心 专心 例 11 若 dcba 则下面不等式中成立的一个是 A cbda B bdac C d b c a D bcad 解 由不等式的性质知 A B C 成立的条件都不充分 所以选 D 其实 D 正是异向不等式相减的结果 bcad cddc baba 说明 本的解法都是不等式性质的基本应用 对于不等式的基本性质要逐条掌握准确 以便 灵活应用 典型例题十二 例 12 若 11 则下面各式中恒成立的是 A 02 B 12 C 01 D 11 分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形 应看到 已知条件中含有两个内 容 即 11 11 和 根据不等式的性质 可得 11 0 继而得到 22 且 0 故 02 因此选 A 典型例题十三 例 13 若 cba 则一定成立的不等式是 A cbca B acab C cbca D cba 111 分析 A 错 当 0 cba 时有 cbca 同样 B 错 D 没有考虑各数取零和正负号的 关系 所以也不对 故选 C 因为不等式两边同时加上一个任意数 此题是 c 原不等式成立 说明 这类题可以采用特例法 令 0 c 即得 C 成立 典型例题十四 例 14 已知 0 cfeba 求证 bceacf 用心 爱心 专心 分析 要证明的式子中 左右均为二项差 其中都有一项是两字母积的形式 因此在证明时 对两项积要注意性质的使用 对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理 证明 bcaccba 0 bcac 又 ef 由同向加性可得 bceacf 说明 此题还可采用异向减性来处理 bceacfbcacef 做这类题过程并 不复杂 关键是记准性质 并能正确地应用 典型例题十五 例 15 已知集合 2 145 A 2 AyyxxBxxxRI 求 BA 分析 要求 BA 需要先求集合A和B 从已知来看 A的范围容易求 B的元素由 Ay 可以推算 但在推算过程中 要注意运用不等式的性质 解 0145 2 RIxx 且 7 2 x 720145 2 xxxxxA 7 2 yAy 2 5 24 yxy 5 5 4 xx 5 5 x 55 xxB 52 xxBA 说明 本题中的条件 RI 意在明确集合A中的元素为R 若去掉此条件 会出现不确定 的情况 比如 72 x 的实数和 72 x 的整数显然是有区别的 另外 这里集合 B的元素是通过集合A的元素求出的 解题时 一定要看清 典型例题十六 例 16 设a和b都是非零实数 求不等式 ba 和 ba 11 同时成立的充要条件 分析 本题是求两个不等式同时成立的充要条件 因此 这两个不等式不能分开来讨论 如 用心 爱心 专心 果分开讨论 则 ba 成立的条件就是 ba 本身 而 ba 11 成立的条件则是a与b同号 且 ba 但这个条件只是 ba 11 的一个充分条件 并且与第一个不等式 ba 是矛盾的 所以 必须研究这两个不等式同时成立的条件 显然 应该从求它们同时成立的必要条件入手 解 先求 ba ba 11 同时成立的必要条件 即当 ba ba 11 同时成立时 a与b应具 备什么条件 由 ba ba 11 得 0 0 ab ab ba 由 0 ba 可知 0 ab 再由 0 ab ab 知 0 ab 即a与b异号 因此 ba 0 是不 等式 ba 与 ba 11 同时成立的必要条件 再求 ba ba 11 同时成立的充分条件 事实上 当 ba 0 时 必有 ba 且 0 1 0 1 ba 因而 ba 11 成立 从而 ba 0 是 不等式 ba ba 11 同时成立的充分条件 因此 两个不等式 ba ba 11 同时成立的充要条件是 ba 0 说明 本题结果表明 ba 与 ba 11 同时成立 其充要条件是a为正数 b为负数 这与 ba 11 成立的条件 0 ab ab 不要混淆 解本题是从必要条件入手的 即若 ba ba 11 同时成立 则要研究从不等式 ba 11 和 ba 看a与b的大小有什么关系 从中得出 结论 ba 0 再把这个结论作为一个充分条件去验证 ba 及 ba 11 能否同时成 立 从而解决了本题 典型例题十七 例 17 已知函数 caxxf 2 满足 5 2 1 1 1 4 ff 则 3 f 应满足 用心 爱心 专心 A 26 3 7 f B 15 3 4 f C 20 3 1 f D 3 35 3 3 28 f 分析 如果能用 1 f 与 2 f 将 3 f 线性 表示出 2 1 3 nfmff 就可利用不 等式的基本性质 由 1 f 2 f 的取值范围 推出 3 f 满足的条件 解 4 2 1 cafcaf 1 4 2 3 1 1 2 3 1 ffcffa 故 1 4 2 3 1 1 2 39 3 ffffcaf 1 3 5 2 3 8 ff 由不等式的基本性质 得 20 3 1 30 40 2 3 8 3 8 5 2 1 3 20 1 3 5 3 5 1 1 4 f ff ff 故选 C 说明 1 也可设 2 1 3 nfmff 由代定系数法求得 3 5 m 3 8 n 2 下面的错误是值得引以为戒的 4 2 1 cafcaf