江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考数学试题

20182018 届高三姜堰中学 溧阳中学 前黄中学联考届高三姜堰中学 溧阳中学 前黄中学联考 数数 学学 2018 04 13 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 1 若 为实数 则 iz23 1 1 2 Raaiz 21 zz a 2 2 某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控 从中抽取辆汽40 车进行测速分析 得到如图所示的时速的频率分布直方图 根据该图 时速在以下的汽车有hkm 70 3 3 已知命题 则成立是成立的 选 充分必要 4 11 a p01 2 axaxRxqpq 充分不必要 既不充分也不必要 填空 4 4 从甲 乙 丙 丁 4 个人中随机选取两人 则甲 乙两人中有且只有一个被选取的概率是 5 5 执行如图所示的程序框图 输出的值为 S 6 6 设满足 则的最大值是 yx 02 0232 01 y yx yx yxz43 7 7 若是周期为的奇函数 当时 则 xf2 1 0 x308 2 xxxf 10 f 8 8 正方形铁片的边长为 以它的一个顶点为圆心 一边长为半径画弧cm8 剪下一个顶角为的扇形 用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器 则这个 4 圆锥形容器的容积为 9 9 已知函数的图象如图所示 则 cos xAxf 3 2 2 f 0 f 10 10 平面直角坐标系中 双曲线的渐近线与抛物线xOy 0 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x C 交于点 若的垂心为的焦点 则的离心率为 0 2 2 2 ppyxC BAO OAB 2 C 1 C 11 11 已知点 若圆上恰有两点 使得和 2 1 0 3 BA 0 2 222 rryx NM MAB 的面积均为 则的取值范围是 NAB 4r 12 12 设分别为线段的中点 且 记为与的夹角 则的最ED ACAB 0 CDBE ABAC 2cos 小值为 13 13 已知函数 其中为自然对数的底数 若存在实数使 xaax eexxxxf 4ln32 2 e 0 x 成立 则实数的值为 3 0 xfa 14 14 若方程有四个不同的实数根 且 则0 12 2 txx 4321 xxxx 4321 xxxx 的取值范围是 2 2314 xxxx 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 15 15 在中 内角的对边分别为 已知 且ABC CBA cba bca2 22 CACAsincos3cossin 1 求的值 b 2 若 为的面积 求的取值范围 4 BSABC CAScoscos28 16 16 如图 在正三棱柱中 点在棱上 点分别是 111 CBAABC DBCDCAD 1 FE 的中点 111 BABB 1 求证 为的中点 DBC 2 求证 平面 EF 1 ADC 17 17 科学研究证实 二氧化碳等温空气体的排放 简称碳排放 对全球气候和生态环境产生了负面影响 环境部门对市每年的碳排放总量规定不能超过万吨 否则将采取紧急限排措施 已知市A550A 年的碳排放总量为万吨 通过技术改造和倡导低碳生活等措施 此后每年的碳排放量比2017400 上一年的碳排放总量减少 同时 因经济发展和人口增加等因素 每年又新增加碳排放量万吨 10m 0 m 1 求市年的碳排放总量 用含的式子表示 A2019m 2 若市永远不需要采取紧急限排措施 求的取值范围 Am 18 18 已知椭圆的左顶点 右焦点分别为 右准线为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C FA m 1 若直线上不存在点 使为等腰三角形 求椭圆离心率的取值范围 mQAFQ 2 在 1 的条件下 当取最大值时 点坐标为 设是椭圆上的三点 且eA 0 2 NMB 求 以线段的中点为圆心 过两点的圆的方程 ONOMOB 5 4 5 3 MNFA 19 19 设函数 其中 xaxxfln1 2 1 2 Ra 1 若 求过点且与曲线相切的直线方程 0 a 1 0 xfy 2 若函数有两个零点 xf 21 x x 求的取值范围 a 求证 0 21 xfxf 20 20 设 正项数列的前项的积为 且 当时 NM n an n TMk kn 都成立 knknkn TTTT 1 若 求数列的前项和 1 M3 1 a33 2 a n an 2 若 求数列的通项公式 4 3 M2 1 a n a 附加题 21A 选修选修 4 14 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 圆是 的外接圆 过点的切线交的延长线于点 OABCCABD 求以及的长 2 10CD 3ABBC BDAC 21B 选修选修 4 24 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本题满分 10 分 已知矩阵 的一个特征值 其对应的特征向量是 1 1 a A b A2 1 2 1 1 求矩阵 2 设直线 在矩阵对应的变换作用下得到了直线 求直线Al 1 A 4m xy 的方程 l 21C 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本题满分 10 分 圆 与极轴交于点 异于极点 求直线的极坐标方程 C2cos 4 AOCA 21D 选修选修 4 54 5 不等式选讲 不等式选讲 本题满分 10 分 证明 2 nn 1 2 1 3 1 2 1 1 222 n nN 22 本小题满分 10 分 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片 卡片上分别标有数i i 2 2 其中i是虚数单 位 称 从盒中随机抽取一张 记下卡片上的数后并放回 为一次试验 设每次试验的结果互不 影响 1 求事件A 在一次试验中 得到的数为虚数 的概率 P A与事件B 在四次试验中 至少有两次得到虚数 的概率 P B O A B C D 2 在两次试验中 记两次得到的数分别为 a b 求随机变量a b 的分布列与数学期望 E 23 本小题满分 10 分 已知数列 n a满足 123 0 123 23 CCC C 222 nnn nn a C 2 n n n n n N 1 求 1 a 2 a 3 a的值 2 猜想数列 n a的通项公式 并证明 联考数学试题 一一 填填空空题题 本大题共14 小题 每小题5 分 计 70 分 不需写出解答过程 请把答案写在答题纸 的指定位置上 1 若 为实数 则 1 32zi 2 1 zai aR 12 z za 2 3 2 某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控 从中抽取 40 辆汽车进行测速分析 得到如图 所示的时速的频率分布直方图 根据该图 时速在 70 km h 以下的汽车有 辆 16 3 已知命题 命题 则成立是成立的 条件 11 4 p a 2 10qxRaxax pq 选 充分必要 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 填空 充分不必要 4 从甲 乙 丙 丁 4 个人中随机选取两人 则甲 乙两人中有且只有一个被选取的概率为 2 3 5 执行如图所示的程序框图 输出的值为 S 4 5 6 设满足约束条件 则的最大值是 x y 10 2320 20 xy xy y 34zxy 5 7 已知是周期为 2 的奇函数且当时 则 f x 0 1x 2 830f xxx 10f 24 8 正方形铁片的边长为 以它的一个顶点为圆心 一边长为半径画弧剪下一个顶角为的8cm 4 扇形 用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器 则这个圆锥形容器的容积为 7 9 已知函数的图象如图所示 f xAcosx 2 23 f 则 0 f 2 3 10 平面直角坐标系中 双曲线的渐近线与抛物线xoy 22 1 22 10 0 xy Cab ab 交于点 若的垂心为的焦点 则的离心率为 2 2 20Cxpy p O A BOAB 2 C 1 C 3 2 11 已知点 若圆上恰有两点 使得3 0 1 2 AB 222 2 0 xyrr MN 和的面积均为 则的取值范围是 MAB NAB 4r 2 9 2 22 12 设D E分别为线段AB AC的中点 且 0 记 为与的夹角 BE CD AB AC 的最小值为 cos2 7 25 13 已知函数 其中e为自然对数的底数 若存在实数使 2 23ln4 x aa x f xxxxee 0 x 成立 则实数a的值为 0 3f x 1 ln2 14 若方程 2 21 0 xxt 有四个不同的实数根 1234 x x x x 且 1234 xxxx 则 4132 2 xxxx 的取值范围是 8 4 5 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在中 内角的对边分别为 已知 且ABC ABC abc 22 2acb 3sinAcosCcosAsinC 1 求边的值 b 2 若 为的面积 求的取值范围 4 B SABC 8 2cosSAcosC 解 1 由正弦定理 余弦定理 sinsin ac AC 222222 cos cos 22 abcbca CA abbc 可等价变形为sincos3cossinACAC 222222 3 22 abcbca ac abbc 化简得 3 分 2 22 2 b ac 或 6 分 22 2acb 4b 0 b 舍 若求范围 若求范围 2 由正弦定理得 sinsin bc BC 114 sin4sinsin8 2sinsin 22 sin 4 SbcAACAC 10 分 3 8 2cos8 2cos 8 2cos 2 4 SAcosCACA 在中 由 得 ABC 3 0 4 0 2 0 2 A A C AC 3 82 A 3 2 0 44 A 32 cos 2 1 42 A 14 分 8 2cos 8 8 2 SAcosC 若求定值 若求定值 由得sincos3cossinACAC tan3tanAC 故 2 tantan4tan tantan 1 1tantan1 3tan ACC BAC ACC 解得 27 tan 3 C 22 20acb 27 tan 3 C 故 tan27A 由正弦定理得 sinsin bc BC 114 sin4sinsin8 2sinsin 22 sin 4 SbcAACAC 3 8 2cos8 2cos 8 2cos 2 8 sin2cos2 4 SAcosCACAAA 2 222 sin2cos22tan1tan 8 8 sincostan1 AAAA AAA 解得 14 分 8 2cos4 7SAcosC 16 本小题满分 14 分 如图 在正三棱柱中 点在棱上 点 111 CBAABC DBCDCAD 1 EF 分别是 的中点 1 BB 11B A 1 求证 为的中点 DBC 2 求证 平面 EF 1 ADC A A1 B C B1 C1 D E F 解 1 正三棱柱 平面 111 CBAABC CC1ABC 又平面 又 ADABC ADCC 1 DCAD 1 111 CCCDC 平面 3 分 AD 11B BCC 又正三棱柱 111 CBAABC 平面平面 ABC 11B BCC ADBC 为的中点 6 分DBC 2 连接 连接交于点 连接BA1CA1 1 ACGDG 矩形 为的中点 11ACC A GCA1 又由 1 得为的中点 DBC 中 9 分 BCA1BADG 1 又点 分别是 的中点 EF 1 BB 11B A 中 12 分 BBA 11 BAEF 1 DGEF 又平面 平面 EF 1 ADC DG 1 ADC 平面 14 分 EF 1 ADC 17 本小题满分 14 分 科学研究证实 二氧化碳等温室气体的排放 简称碳排放 对全球气候和生态环境产生了负面 影响 环境部门对 A 市每年的碳排放总量规定不能超过 550 万吨 否则将采取紧急限排措施 已 知 A 市 2017 年的碳排放总量为 400 万吨 通过技术改造和倡导低碳生活等措施 此后每年的 碳排放量比上一年的碳排放总量减少 10 同时 因经济发展和人口增加等因素 每年又新增 加碳排放量 m 万吨 m 0 求 A 市 2019 年的碳排放总量 用含 m 的式子表示 若 A 市永远不需要采取紧急限排措施 求 m 的取值范围 解 设 2018 年的碳排放总量为 2019 年的碳排放总量为 1 a 2 a 由已知 1 400 0 9am 2 2 0 9 400 0 9 400 0 90 9ammmm 4 分 324 1 9m 2 3 0 9 400 0 90 9 ammm 32 400 0 90 90 9mmm 12 400 0 90 90 90 9 nnn n ammmm 1 0 9 400 0 9400 0 910 1 0 9 1 0 9 n nnn mm 8 分 400 10 0 910 n mm 由已知有 550 n nNa 1 当即时 显然满足题意 9 分 400 100m 40m 2 当即时 400 100m 40m 由指数函数的性质可得 解得 400 10 0 9 10550mm 190m 综合得 11 分 40m A A1 B C B1 C1 D E F G 3 当即时 400 100m 40m 由指数函数的性质可得 解得 综合得 13 分 10550m 55m 4055m 综上可得所求范围是 14 分 0 55 m 18 本小题满分 16 分 已知椭圆的左顶点 右焦点分别为 右准线为 22 22 1 xy C ab 0 ab A Fm 1 若直线上不存在点 Q 使为等腰三角形 求椭圆离心率的取值范围 mAFQ 2 在 1 的条件下 当取最大值时 点坐标为 设 是椭圆上的三点 eA 2 0 BMN 且 求 以线段的中点为圆心 过两点的圆方程 34 55 OBOMON MN A F 解 1 设直线与轴的交点是 依题意 mxQFQFA 即 2 a cac c 2 2 a ac c 12 ac ca 1 12e e 2 210ee 4 分 1 0 2 e 2 当且时 1 2 e 2 0 A 故 5 分 1 0 F2 1ac 所以 3b 椭圆方程是 6 分 22 1 43 xy 设 则 1122 M xyN xy 22 11 1 43 xy 22 22 1 43 xy 由 得 34 55 OBOMON 1212 3434 5555 Bxxyy 因为是椭圆 C 上一点 所以 B 8 分 22 1212 3434 5555 1 43 xxyy 即 2222 22 11221212 343 4 2 1 4354355 543 xyxyx xy y 10 分 1212 0 43 x xy y 因为圆过两点 所以线段的中点的坐标为 11 分 A FMN 12 1 22 yy 又 22222 12 12121212 1111 2 3 1 3 1 2 24444 yy yyy yxxy y 12 分 由 和 得 所以圆 2222 1212 1212 111313121 3 1 3 1 3 2 2 24442444416 yyx x xxxx 心坐标为 14 分 少一解扣一分 121 24 故所求圆方程为 16 分 22 12157 2416 xy 19 本小题满分 16 分 设函数 其中 2 1 1 ln 2 f xaxx aR 1 若 求过点且与曲线相切的直线方程 0a 0 1 yf x 2 若函数有两个零点 f x 1 x 2 x 求的取值范围 a 求证 12 0fxfx 解解 1 当 a 0 时 f x 1 lnx f x 1 x 设切点为 T x0 1 lnx0 则切线方程为 y 1 lnx0 x x0 2 分 1 x0 因为切线过点 0 1 所以 1 1 ln x0 0 x0 解得 x0 e 1 x0 所以所求切线方程为 y x 1 4 分 1 e 2 f x ax x 0 1 x ax2 1 x i 若 a 0 则 f x 0 所以函数 f x 在 0 上单调递减 从而函数 f x 在 0 上至多有 1 个零点 不合题意 5 分 ii 若 a 0 由 f x 0 解得 x 当 0 x 时 f x 0 函数 f x 单调递减 当 x 时 f x 0 f x 单调递增 所以 f x min f ln 1 ln 1 2 1 2 要使函数 f x 有两个零点 首先 ln 0 解得 0 a e 7 分 1 2 当 0 a e 时 1 e 因为 f 0 故 f f 0 1 e a 2e2 1 e 又函数 f x 在 0 上单调递减 且其图像在 0 上不间断 所以函数 f x 在区间 0 内恰有 1 个零点 9 分 考察函数 g x x 1 lnx 则 g x 1 1 x x 1 x 当 x 0 1 时 g x 0 函数 g x 在 0 1 上单调递减 当 x 1 时 g x 0 函数 g x 在 1 上单调递增 所以 g x g 1 0 故 f 1 ln 0 2 a 2 a 2 a 因为 0 故 2 a 2 a 因为 f f 0 且 f x 在 上单调递增 其图像在 上不间断 2 a 所以函数 f x 在区间 上恰有 1 个零点 即在 上恰有 1 个零点 2 a 综上所述 a 的取值范围是 0 e 11 分 由 x1 x2是函数 f x 的两个零点 不妨设 x1 x2 得 两式相减 得 a x12 x22 ln 0 即 a x1 x2 x1 x2 ln 0 1 2 x1 x2 1 2 x1 x2 所以 a x1 x2 13 分 f x1 f x2 0 等价于 ax1 ax2 0 即 a x1 x2 0 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2 即 0 即 2ln 0 1 x1 1 x2 x1 x2 x2 x1 x1 x2 设 h x 2lnx x x 0 1 则 h x 1 0 1 x 2 x 1 x2 2x 1 x2 x2 x 1 2 x2 所以函数 h x 在 0 1 单调递减 所以 h x h 1 0 因为 0 1 所以 2ln 0 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x1 x2 即 f x1 f x2 0 成立 16 分 20 本小题满分 16 分 设 正项数列的前项积为 且 当时 都成M N n a n TkM nk n kn knk TTT T 立 1 若 求数列的前项和 1 M 1 3a 2 3 3a n an 2 若 求数列的通项公式 4 3M 1 2a n a 解 1 当 n 2 时 因为 M 1 所以 TnT1 可得 an 1 ana1 故 Tn 1Tn 1 2 a1 3 n 2 an 1 an 2 又 a1 a2 3 则 an 是公比为 3 的等比数列 2 分 3 3 故 an 的前 n 项和为 3 4 分 n 2 当 n k 时 因为 TnTk 所以 Tn 1Tk Tn kTn k Tn 1 kTn 1 k 所以 即 an 1 6 分 TnTk Tn 1Tk an 1 kan 1 k 因为 M 3 4 所以取 k 3 当 n 3 时 有 an 4an 2 an 1 2 取 k 4 当 n 4 时 有 an 5an 3 an 1 8 分 2 由 an 5an 3 an 1知 2 数列 a2 a6 a10 a14 a18 a22 a4n 2 是等比数列 设公比为 q 由 an 4an 2 an 1 知 2 数列 a2 a5 a8 a11 a14 a17 a3n 1 是等比数列 设公比为 q1 数列 a3 a6 a9 a12 a15 a18 a3n 成等比数列 设公比为 q2 数列 a4 a7 a10 a13 a16 a19 a22 a3n 1 成等比数列 设公比为 q3 由 得 q 且 q1 所以 q1 q a14 a2 3 a14 a2 4 由 得 q 且 q2 所以 q2 q a18 a6 3 a18 a6 4 由 得 q 且 q3 所以 q3 q a22 a10 3 a22 a10 4 所以 q1 q2 q3 q 12 分 由 得 a6 a2q a6 a3q2 所以 q a3 a2 q q2 由 得 a10 a2q a10 a4q3 所以 q 2 2 a4 a2 所以 a2 a3 a4是公比为 q的等比数列 所以 an n 2 是公比为 q的等比数列 因为当 n 4 k 3 时 T7T1 T4T3 当 n 5 k 4 时 T9T1 T5T4 2 2 2 2 所以 q 2a2 且 q 2a2 所以 q 2 a2 2 14 分 7 4 10 6 2 又 a1 所以 an n N 是公比为 q的等比数列 2 故数列 an 的通项公式是 an 2 16 分 n 1 2 21A 选修选修 4 14 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 圆是 的外接圆 过点的切线交的延长线于点 OABCCABD 求以及的长 2 10CD 3ABBC BDAC 解 由切割线定理得 2 分 2 DB DADC 6 分 2 DB DBBADC 0403 2 DBDB5 DB 8 分ABCD DBC DCA 得 10 分 BCDB CADC 5 106 DB DCBC AC 21B 选修选修 4 24 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本题满分 10 分 已知矩阵 的一个特征值 其对应的特征向量是 1 1 a A b A2 1 2 1 1 求矩阵 2 设直线 在矩阵对应的变换作用下得到了直线 求直线Al 1 A 4m xy 的方程 l 解 1 1 22 1 1 12 a b a A b 1 24 2 解得 故 4 分 24 22 a b 2 4 a b 12 14 A 2 设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点 4m xy x yA x y 则 122 4 14 xxxy yyxy 2 4 xxy yxy 2 3 6 xy x xy y 直线 的方程为 10 分 4xy 8xy l80 xy 21C 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本题满分 10 分 O A B C D 圆 与极轴交于点 异于极点 求直线的极坐标方程 C2cos 4 AOCA 解 圆 C sin2cos2 4 cos2 2 所以 4 分022 22 yxyx 所以圆心 与极轴交于 6 分 2 2 2 2 C 0 2A 直线的直角坐标方程为 8 分CA2 yx 即直线的极坐标方程为 10 分CA1 4 cos 21D 选修选修 4 54 5 不等式选讲 不等式选讲 本题满分 10 分 证明 2 nn 1 2 1 3 1 2 1 1 222 n nN 证明 5 分 nnn 1 1 32