2012高考数学 考前模拟预测系列三

用心 爱心 专心 1 考前预测考前预测 第第 卷卷 选择题 选择题 满分满分 6060 分 分 一 选择题 本大题共 12 题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合A y x2 y2 1 和集合B y y2 x2 则AIB等于 A 0 1 B 0 1 C 0 D 0 1 1 0 答案 B 解析 本题考查集合的基本运算 容易得出选项 B 正确 2 34 ii 其中 i 为虚数单位 在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 答案 B 解析 因为 34 ii 43i 所以在复平面上对应的点位于第二象限 选 B 3 1a 是 函数 lg f xax 在 0 单调递增 的 A 充分不必要条件 B 充分必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 显然函数 lg 1 f xx lg 21 f xx 在 0 上均单调递增 所以 1a 是 函数 lg 1 f xax 在 0 单调递增 的充分不必要条件 4 设 l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若 lm m 则l B 若 llm 则m C 若 lm 则 lmD 若 lm 则 lm 答案 B 解析 当两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另外一条也垂直这个平面 故选项 B 中 的结论正确 5 已知一个棱长为 2 的正方体 被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示 则该几何 体的体积是 用心 爱心 专心 2 A 8 B 20 3 C 17 3 D 14 3 答案 C 几何体是正方体截去一个三棱台 3 11117 2 22 2 3223 V 6 已知非零向量 a b c满足 abc 向量 a b的夹角为120 且 2 ba 则向量a与 c的夹角为 A 60 B 90 C 120D 150 答案 B 解析 本题考查平面向量的有关知识 7 若实数x y满足不等式组 33 1 1 yx yx yx 则该约束条件所围成的平面区域的面积是 A 3B 2 5 C 2D 22 答案 C 解析 可行域为直角三角形 其面积为 1 2 222 2 S 8 由直线2 xy上的点向圆 22 421xy 引切线 则切线长的最小值为 A 30 B 31 C 24 D 33 答案 B 解析 切线长的长短由该点到圆心的距离来确定 即圆心 4 2 到直线2 xy的最短距 离 422 4 2 2 d 所以 2 2 4 2131 用心 爱心 专心 3 9 如图是歌手大奖赛中 七位评委为甲 乙两名选手打出的分数的茎叶图 其中m为数字 0 9 中的一个 去掉一个最高分和一个最低分后 甲 乙两名选手得分的平均数分别为 12 a a 则一定有 A 12 aa B 21 aa C 12 aa D 12 a a的大小不确定 答案 B 解析 12 84 85aa 10 一个算法的程序框图如图所示 该程序输出的结果为 A 8 9 B 9 10 C 10 11 D 11 12 答案 B 用心 爱心 专心 4 解析 111 1 22 39 10 9 10 故选 B 11 要得到y sin 2x 的图象 只要将y sin2x的图象 3 A 向左平移个单位 B 向右平移个单位 3 3 C 向右平移个单位 D 向左平移个单位 6 6 答案 C 解析 因为y sin 2x sin2 x 6 故选 C 3 12 已知函数 f x的定义域为 15 部分对应值如下表 f x的导函数 yfx 的图象如图所示 下列关于函数 f x的命题 函数 yf x 是周期函数 函数 f x在 0 2 是减函数 如果当 1 xt 时 f x的最大值是 2 那么t的最大值为 4 当12a 时 函数 yf xa 有 4 个零点 其中真命题的个数是 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 答案 D 解析 显然错误 容易造成错觉 m x 5 a t 错误 2f的不确定影响了正确性 正确 可有 fx得到 第第 IIII 卷 共卷 共 9090 分 分 用心 爱心 专心 5 二 填空题 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 已知 f x是定义在 R 上的奇函数 当0 3 2 x xf xf 时则 答案 1 9 解析 因为 f x是定义在 R 上的奇函数 所以 2 2 ff 1 9 14 在等差数列 n a中 若 123 2 13aaa 则 456 aaa 答案 42 解析 由等差数列的性质知 1232 315aaaa 所以 2 5a 即公差3d 所 以 51 424 314aad 故 4565 3aaaa 42 15 在集合 2 3A 中随机取一个元素m 在集合 1 2 3B 中随机取一个元素n 得到点 P m n 则点 P 在圆 22 9xy 内部的概率为 答案 1 3 解析 由题意得到的 P m n有 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 共计 6 个 在 圆 22 9xy 的内部的点有 2 1 2 2 所以概率为 21 63 16 已知抛物线 2 4yx 的弦AB的中点的横坐标为2 则AB的最大值为 答案 6 解析 当直线AB斜率不存在时4 2 AB 当直线AB斜率k存在时 设中点坐标为 2 t 1122 A x yB xy则 12 42 k yyt 2 2ytx t 与 2 4yx 联立得 2 1212 2 28yyt y yt 2 2 22 2 12 123636 4 t AByyt 6 AB 三 解答题 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 正明过程和演算步骤 17 本小题满分 12 分 在锐角ABC 中 角A B C所对的边分别为a b c 已知 3 cos2 4 C 求sinC 当2ca 且3 7b 时 求a 用心 爱心 专心 6 解析 解 由已知可得 2 3 1 2sin 4 C 所以 2 7 sin 8 C 因为在ABC 中 sin0C 所以 14 sin 4 C 6 分 因为2ca 所以 114 sinsin 28 AC 因为ABC 是锐角三角形 所以 2 cos 4 C 5 2 cos 8 A 所以sinsin BAC sincoscossinACAC 1425 214 8484 3 7 8 由正弦定理可得 3 7 sinsin a BA 所以14a 12 分 18 理科理科 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行 为了搞好接待工作 组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志 愿者 将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图 单位 cm 若身高在 175cm 以上 包括 175cm 定义为 高个子 身高在 175cm 以下 不包括 175cm 定义为 非高个子 且只有 女高个子 才担任 礼仪小姐 1 如果用分层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中 中提取 5 人 再从这 5 人中选 2 人 那么至少有一人是 高个子 的概率是多少 2 若从所有 高个子 中选 3 名志愿者 用 表示所选志愿者中能担任 礼仪小姐 的 人数 试写出 的分布列 并求 的数学期望 解析 1 根据茎叶图 有 高个子 12 人 非高个子 18 人 1 分 用分层抽样的方法 每个人被抽中的概率是 6 1 30 5 2 分 所以选中的 高个子 有2 6 1 12 人 非高个子 有3 6 1 18 人 3 分 用事件A表示 至少有一名 高个子 被选中 则它的对立事件A表示 没有一名 高个 子 被选中 则 P A 1 2 5 2 3 C C 10 7 10 3 1 5 分 用心 爱心 专心 7 因此 至少有一人是 高个子 的概率是 10 7 6 分 依题意 的取值为0 1 2 3 7 分 55 14 C C 0 3 12 3 8 P 55 28 C CC 1 3 12 2 8 1 4 P 55 12 C CC 2 3 12 1 8 2 4 P 55 1 C C 3 3 12 3 4 P 9 分 因此 的分布列如下 0 123 p 55 14 55 28 55 12 55 1 10 分 1 55 1 3 55 12 2 55 28 1 55 14 0 E 12 分 考查意图 本题主要考察茎叶图 分层抽样 随机事件的概率 对立事件的概率 随 机变量的分布列以及数学期望等基础知识 考查运用概率统计知识解决简单实际问题 的能力数据处理能力和应用意识 文科 本小题满分 12 分 设连续掷两次骰子得到的点数分别为mn 令平面向量 am n 1 3 b 求使得事件 ab 发生的概率 求使得事件 ab 发生的概率 使得事件 直线x n m y 与圆 13 2 2 yx相交 发生的概率 解 1 由题意知 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 mn 故 m n所有可能的取法共 36 种 2 分 使得ab 即30mn 即3mn 共有 2 种 3 1 6 2 所以 求使得ab 的概率 21 3618 P 4 分 2 ab 即 22 10mn 共有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 6 种 使得 ab 的概率 61 366 P 8 分 用心 爱心 专心 8 3 由直线与圆的位置关系得 22 3 1 m d mn 即 2 4 m n 共有 1 1 1 1 2 3 4 5 6 6 5 种 所以直线x n m y 与圆 13 2 2 yx相交的概率 5 36 P 12 分 19 理科 本小题满分 12 分 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 1 AA 平面ABC 1 ABBCCAAA D 为AB的中点 1 求证 1 BC 平面 1 DCA 2 求二面角 11 DCAC 的平面角的余弦值 命题意图 本小题主要考查立体几何的相关知识 具体涉及到线面的平行关系 二面 角的求法及空间向量在立体几何中的应用 试题解析 方法一 证明 如图一 连结 1 AC与 1 AC交于点K 连结DK 在 1 ABC中 D K为中点 DK 1 BC 3 分 又DK 平面 1 DCA 1 BC 平面 1 DCA 1 BC 平面 1 DCA 5 分 解 二面角 11 DCAC 与二面角 1 DCAA 互补 如图二 作DGAC 垂足为G 又平面ABC 平面 11 ACC A DG 平面 11 ACC A 作GH 1 CA 垂足为H 连结DH 则 1 DHCA DHG为二面角 1 DCAA 的平面角 8 分 设 1 2ABBCCAAA 在等边 ABC中 D为中点 1 4 AGAC 在正方形 11 ACC A中 1 3 8 GHAC 3 2 DG 33 2 22 84 GH 30 4 DH 3 2 15 4 cos 530 4 GH DHG DH 11 分 所求二面角的余弦值为 15 5 12 分 用心 爱心 专心 9 方法二 证明 如图三以BC的中点O为原点建系 设 1 2ABBCCAAA 设 nx y z 是平面 1 DCA的一个法向量 则 1 0 0 n CD n CA 又 33 0 22 CD 1 1 2 3 CA 30 230 xz xyz 令1 3 1xzy 1 1 3 n 3 分 1 2 2 0 BC 1 2200n BC 又 1 BC 平面 1 DCA 1 BC 平面 1 DCA 5 分 解 设 111 mx y z 是平面 11 CAC的一个法向量 则 1 1 0 0 m CC m CA 又 1 0 2 0 CC 1 1 2 3 CA Com 1 11 0 30 y xz 令 11 1 3zx 3 0 1 m 8 分 2 315 cos 52 5 m n 11 分 所求二面角的余弦值为 15 5 12 分 文科文科 本小题满分 12 分 如图 五面体 11 ABCC B 中 4 1 AB 底面ABC是正三角 形 2 AB 四边形 11 BCC B是矩形 二面角 1 ABCC 为 直二面角 若D是AC中点 求证 1 AB 平面 1 BDC 求该五面体的体积 解 证明 连结 1 BC交 1 BC于O 连结DO 四边形 11 BCC B是矩形 O为 1 BC中点又D为AC中点 从而 1 DOAB 4 分 1 AB 平面 1 BDC DO 平面 1 BDC 1 AB平面 1 BDC 6 分 A C D B 1 C 1 B C1B1 D CB A O 用心 爱心 专心 10 过A作 BCAH 垂足为H ABC 为正三角形 H 为BC中点 3 22 BHABAH 8 分 二面角1 CBCA 为直二面角 AH 面 11B BCC 又 32 22 11 ABABBB 故矩形 11B BCC 的面积 34322 1 BBBCS 10 分 故所求五面体体积 4334 3 1 3 1 11 AHSVV BBCCA 12 分 20 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a的公差大于 0 且 53 a a 是方程 04514 2 xx的两根 数列 n b的前 n 项的和为 n S 且 1 2 n n b SnN 1 求数列 n a n b的通项公式 2 若 nnn bac 求数列 n c的前n项和 n T 解 1 a3 a5是方程04514 2 xx的两根 且数列 n a的公差d 0 a3 5 a5 9 公差 2 35 35 aa d 1 2 5 5 ndnaan 3 分 又当n 1 时 有 1 11 1 2 b bS 1 1 3 b 当 2 3 1 2 1 2 1 11 n b b bbSSbn n n nnnnn 有时 数列 n b 是首项 1 1 3 b 公比 1 3 q 等比数列 1 1 1 3 n n n bbq 6 分 2 由 知 n nnn n bac 3 12 8 分 设数列 n c的前n项和为 n T 123 13521 3333 n n n T 1 1 3 n T 2341 1352321 33333 nn nn 2 10 分 1 2 231 2122221 333333 n nn n T 231 111121 2 33333 nn n 用心 爱心 专心 11 化简得 1 1 3 n n n T 12 分 21 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知椭圆E 22 22 1 xy ab 0ab 过点 3 1 P 其左 右焦点分别为 12 FF 且 12 6FP F P 1 求椭圆E的方程 2 若 M N是直线5x 上的两个动点 且 12 FMF N 则以MN为直径的圆C是否过定 点 请说明理由 解 1 设点 12 F F的坐标分别为 0 0 0 ccc 则 12 3 1 3 1 FPcF Pc 故 2 12 3 3 1 106FP F Pccc 可得4c 2 分 所以 2222 12 2 34 1 34 16 2aPFPF 4 分 故 222 3 2 18 162abac 所以椭圆E的方程为 22 1 182 xy 6 分 2 设 M N的坐标分别为 5 5 mn 则 12 9 1 FMm F Nn 又 12 FMF N 可得 12 90FM F Nmn 即9mn 8 分 又圆C的圆心为 5 2 mn 半径为 2 mn 故圆C的方程为 222 5 22 mnmn xy 即 22 5 0 xymn ymn 也就是 22 5 90 xymn y 11 分 令0y 可得8x 或 2 故圆C必过定点 8 0 和 2 0 12 分 另法 1 中也可以直接将点P坐标代入椭圆方程来进行求解 2 中可利用圆C直径 的两端点直接写出圆C的方程 22 本题满分 14 分 已知二次函数 3 2 ccbxaxxh其中 其导函数 xhy 的图象如图 ln6 xhxxf 1 求函数3 xxf