2012高三数学一轮复习 函数与数列（Ⅲ）单元练习题

用心 爱心 专心 1 高三数学单元练习题 函数与数列 高三数学单元练习题 函数与数列 一 填充题 本题共 10 个小题 每题 4 分 共 40 分 1 设等差数列 n a 的前n项和为 n S 若 4121719 8aaaa 则 25 S 的值为 2 函数 2 21 log 1 x f x x 的定义域为 3 设方程2ln 72xx 的解为 0 x 则关于x的不等式 0 2xx 的最大整数解为 4 函数 3sin2lg cos21 xxy 的定义域是 5 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g 处的切线方程为 21yx 则曲线 yf x 在点 1 1 f 处切线的斜率为 6 已知函数 2 0 a f xxxaR x 在区间 2 是增函数 则实数a的取值范围为 7 函数 2 21 1 1 xx yx x 的值域是 8 若不等式组 0 22 0 xy xy y xya 表示的平面区域是一个三角形及其内部 则 a 的取值范围是 9 若关于x的不等式 2 3 34 4 axxb 的解集恰好是 a b 则a b 10 已知 xxxfcossin 1 记 21 fxfx 32 fxfx 1 xfxf nn 2 nNn 则 122009 444 fff 二 附加题 本题共 2 个小题 满分 10 分 不计入总分 11 在计算机的算法语言中有一种函数 x 叫做取整函数 也称高斯函数 它表示x的整数 部分 即 x 是不超过x的最大整数 例如 2 2 3 1 3 2 6 3 设函数 21 122 x x f x 则函数 yf xfx 的值域为 12 在公差为 0 dd 的等差数列 n a 中 若 n S 是 n a 的前n项和 则数列 304020301020 SSSSSS 也成等差数列 且公差为 d100 类比上述结论 相应地在公 用心 爱心 专心 2 比为 1 qq 的等比数列 n b 中 三 解答题 本题共 4 个大题 满分 60 分 13 本小题满分 14 分 已知函数 2 cos 12 f xx 1 1sin2 2 g xx I 设 0 xx 是函数 yf x 图象的一条对称轴 求 0 g x 的值 II 求函数 h xf xg x 的单调递增区间 14 本小题满分 16 分 已知函数 1 ln sin g xx x 在 1 上为增函数 且 0 1 ln m f xmxx x m R 1 求 的值 2 若 F xf xg x 在 1 上为单调函数 求 m 的取值范围 15 本小题满分 15 分 已知函数 2 2 2 x f xxR x x 1 求 f x 的单调减区间 2 若 2 2g xxax 与函数 f x 在 0 1 x 上有相同的值域 求a的值 3 设 1m 函数 32 35 0 1 h xxm xm x 若对于任意 0 1 x 总存在 0 0 1 x 使得 0 h xf x 成立 求m的取 值范围 16 本小题满分 16 分 已知 数列 n a n b 中 1 a 0 1 b 1 且当n N 时 n a n b 1 n a 成等差数列 n b 1 n a 1 n b 成等比数列 1 求数列 n a n b 的通项公式 2 求最小自然数k 使得当n k时 对任意实数 10 不等式 32 n b 42 n a 3 恒成立 3 设 n 12n 111 d bbb n N 求证 当n 2 都有 2 n d 2 32n 23n ddd 参考答案 用心 爱心 专心 3 一 填充题 1 设等差数列 n a 的前n项和为 n S 若 4121719 8aaaa 则 25 S 的值为 50 2 函数 2 21 log 1 x f x x 的定义域为 3 设方程2ln 72xx 的解为 0 x 则关于x的不等式 0 2xx 的最大整数解为 4 函数 3sin2lg cos21 xxy 的定义域是 2 2 2 33 kkkZ 5 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g 处的切线方 程为 21yx 则曲线 yf x 在 点 1 1 f 处切线的斜率为 4 6 已知函数 2 0 a f xxxaR x 在区间 2 是增函数 则实数a的取值范围为 7 函数 2 21 1 1 xx yx x 的值域是 7 8 若不等式组 0 22 0 xy xy y xya 表示的平面区域是一个三角形及其内部 则 a 的取值范围是 4 0 1 3 U 9 若关于x的不等式 2 3 34 4 axxb 的解集恰好是 a b 则a b 4 10 已知 xxxfcossin 1 记 21 fxfx 32 fxfx 1 xfxf nn 2 nNn 则 122009 444 fff 2 二 附加题 本题共 2 个小题 满分 10 分 11 在计算机的算法语言中有一种函数 x 叫做取整函数 也称高斯函数 它表示x的整数 部分 即 x 是不超过x的最大整数 例如 2 2 3 1 3 2 6 3 设函数 21 122 x x f x 则函数 yf xfx 的值域为 1 0 12 在公差为 0 dd 的等差数列 n a 中 若 n S 是 n a 的前n项和 则数列 用心 爱心 专心 4 304020301020 SSSSSS 也成等差数列 且公差为 d100 类比上述结论 相应地在公 比为 1 qq 的等比数列 n b 中 若 n T 是数列 n b 的前n项积 则有 100 30 40 20 30 10 20 q T T T T T T 且公比为也成等比数列 三 解答题 本题共 4 个大题 满分 60 分 13 已知函数 2 cos 12 f xx 1 1sin2 2 g xx I 设 0 xx 是函数 yf x 图象的一条对称轴 求 0 g x 的值 II 求函数 h xf xg x 的单调递增区间 解 I 由题设知 1 1 cos 2 26 f xx 因为 0 xx 是函数 yf x 图象的一条对称轴 所以 0 2 6 x k 即 0 2 6 xk k Z 所以 00 11 1sin21sin 226 g xxk 当k为偶数时 0 1 13 1sin1 2644 g x 当k为奇数时 0 1 15 1sin1 2644 g x II 1 1 1 cos 21sin2 262 h xf xg xxx 1 31313 cos 2sin2cos2sin2 2622222 xxxx 1 3 sin 2 232 x 当 2 22 232 kxk 即 5 1212 kxk k Z 时 用心 爱心 专心 5 函数 1 3 sin 2 232 h xx 是增函数 故函数 h x 的单调递增区间是 5 1212 kk k Z 14 已知函数 1 ln sin g xx x 在 1 上为增函数 且 0 1 ln m f xmxx x m R 1 求 的值 2 若 F xf xg x 在 1 上为单 调函数 求 m 的取值范围 解 1 由题意 2 11 sin g x xx 0 在 1 上恒成立 即 2 sin1 0 sin x x 0 sin 0 故sin 10 x 在 1 上恒成立 只须sin 1 10 即sin 1 只有sin 1 结合 0 得 2 2 由 1 得 f xg x 2ln m mxx x 2 2 2 mxxm f xg x x f xg x 在其定义域内为单调函数 2 20mxxm 或者 2 20mxxm 在 1 恒成立 2 20mxxm 等价于 2 1 2mxx 即 2 2 1 x m x 而 2 22 1 1 x x x x 2 1 x x max 1 1m 2 20mxxm 等价于 2 1 2mxx 即 2 2 1 x m x 在 1 恒成立 而 2 2 1 x x 0 1 0m 综上 m 的取值范围是 01 15 已知函数 2 2 2 x f xxR x x 1 求 f x 的单调减区间 2 若 2 2g xxax 与函数 f x 在 0 1 x 上有相同的值域 求a的值 3 设 1m 函数 32 35 0 1 h xxm xm x 若对于 任意 0 1 x 总存在 0 0 1 x 使得 0 h xf x 成立 求m的取值范围 解 1 2 2 4 2 xx fx x 令 0fx 得0 2x 或2 4x 所以 f x 的单调减区间为 0 2 和 2 4 2 由 1 可知 f x 在 0 1 上是减函数 其值域为 1 0 当 0 1 x 时 g x 的值域 为 1 0 0 0g 为最大值 最小值只能为 1 g 或 g a 用心 爱心 专心 6 若 1 1g 则 1 1 121 a a a 若 1g a 则 2 1 1 1 2 1 a a a 综上可得 1a 3 设 h x 的值域为A 由题意知 1 0 A 又 22 330h xxm 恒成立 1 0 1 mx 所以 h x 在 0 1 上为减函数 所以 max 2 0 50 2 min 1 1351 h xhm m h xhmm 所以m的取值范围为 2 16 本小题满分 16 分 已知 数列 n a n b 中 1 a 0 1 b 1 且当n N 时 n a n b 1 n a 成等差数列 n b 1 n a 1 n b 成等比数列 1 求数列 n a n b 的通项公式 2 求最小自然数k 使得当n k时 对任意实数 10 不等式 32 n b 42 n a 3 恒成立 3 设 n 12n 111 d bbb n N 求证 当n 2 都有 2 n d 2 32n 23n ddd 1 当n N 时 n a n b 1 n a 成等差数列 n b 1 n a 1 n b 成等比数列 2 n b n a 1 n a 2 1 n a 1nn bb 又 0 1 a 1 1 b n b 0 n a 0 且 11 2 nnnnn bbbbb 11 2 nnn bbb n 数列 n b 是等差数列 又 4 2 b nbn 1n 也适合 2 nbn nnan 1 2 将 n a n b 代入不等式 32 n b 42 n a 3 整理得 34 12 2 nnn 0 用心 爱心 专心 7 令 f34 12 2 nnn 则 f 是关于 的一次函数 由题意可得 0 1 0 0 f f 022 034 2 2 nn nn 解得n 1 或n 3 存在最小自然数 3 k 使得当n k时 不等式 恒成立 3 由 1 得 3 1 2 1 1 n d n 1 n dd nn 1 1 1 1 2 nnn ddd n n 2 22 1 2 1 2 n nn d