“三线合一”性质的逆定理

一 等腰三角形的 三线合一三线合一 性质的逆逆定理 三线合一三线合一 性质 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的 高互相重合 逆逆定理 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合 那 么这个三角形是等腰三角形 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合 那么 这个三角形是等腰三角形 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 那么这个 三角形是等腰三角形 简言之 三角形中任意两线合一 必能推导出它是一个等腰三角形 证明 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的角平分线 AD 是 BC 边上的中线 求证 ABC 是等腰三角形 分析 要证等腰三角形就是要证 AB AC 直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行 那就换种思路 在有中点的几何证明题中常用的添辅助 线的方法是 延长加倍 即延长 AD 到 E 点 使 AD ED 由此问题就解决了 证明 延长 AD 到 E 点 使 AD ED 连接 CE 在 ABD 和 ECD 中 AD DE ADB EDC BD CD ABD ECD AB CE BAD CED AD 是 BAC 的角平分线 BAD CAD CED CAD AC CE AB AC ABC 是等腰三角形 三个逆定理中以逆定理 在几何证明的应用中尤为突出 证明 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的角平分线 AD 是 BC 边上的高 求证 ABC 是等腰三角形 分析 通过 ASA 的方法来证明 ABD 和 ACD 的全等 由此推出 AB AC 得出 ABC 是等腰三角形 证明 已知 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 又是 BC 边 上的高 求证 ABC 是等腰三角形 分析 AD 就是 BC 边上的垂直平分线 用 SAS 的方法来 证明 ABD 和 ACD 的全等 由此推出 AB AC 得出 ABC 是等腰三角形 即垂直平分线的定理 二 三线合一 的逆定理在辅助线教学中的应用 1 逆定理 的简单应用 例题 1 已知 如图 在 ABC 中 AD 平分 BAC CD AD D 为垂足 AB AC 求证 2 1 B 分析 由 AD 平分 BAC CD AD 推出 AD 所在的 三角形是等腰三角形 所以延长 CD 交 AB 于点 E 由逆定理 得出 AEC 是等腰三角形由此就可得出 2 AEC 又 AEC 1 B 所以结论得证 2 逆定理 与中位线综合应用 例题 1 已知 如图 在 ABC 中 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 过点 C 作 AD 的垂线 交 AD 的延长线于点 E F 为 BC 的中点 连结 EF 求证 EF AB EF AC AB 分析 由已知可知 线段 AE 既是 BAC 的角平分 线又是 EC 边上的高 就想到把 AE 所在的等腰三角形构造 出来 因而就可添辅助线 分别延长 CE AB 交于点 G 简单证明 由逆定理 得出 AGC 是等腰三角形 点 E 是 GC 的中点 EF 是 BGC 的中位线 得证 例题 2 如图 已知 在 ABC 中 BD CE 分别平分 ABC ACB AG BD 于 G AF CE 于 F AB 14cm AC 9cm BC 18cm 求 FG 的长 分析 通过已知条件可以知道线段 CF 和 BG 满足逆 定理 的条件 因此就想到了分别延长 AG A F 来构造等腰三角形 简单证明 分别延长 AG AF 交 BC 于点 K H 由逆定理 得出 ABK 是等腰三角形 点 G 是 AK 的中点 同理可得点 F 是 AH 的中点 FG 是 AHK 的中位线 由此就可解出 FG 的长 3 逆定理 与直角三角形的综合应用 例题 1 已知 如图 AD 为 Rt ABC 斜边 BC 上的高 ABD 的平分线交 AD 于 M 交 AC 于 P CAD 的平分线交 BP 于 Q 求证 QAD 是等腰三角形 分析 由直角三角形的性质可知道 AQM 90 由此线段 BQ 满足了逆定理 2 的条件 所 以 想到延长 AQ 交 BC 于点 N 简单证明 由添辅助线得出 ABN 是等腰三角形 Q 点是 AN 的中点 在 Rt AND 中 Q 是中点 QA DQ 得证 例题 2 如图 在等腰 ABC 中 C 90 如果点 B 到 A 的平分线 AD 的距离为 5cm 求 AD 的长 分析 已知条件满足了逆定理 2 所以延长 BE 和 AC 交 于点 F 简单证明 由所添辅助线可知 ABF 是等腰三角形 E 点是 BF 的中点 BF 2BE 10 再由 ADC 和 BFC 的全等 得出 AD BF 结论求出 对已知条件的合理剖析 找出关键语 句 满足定理条件 添加适当的辅助 线来构造等腰三角形 以达到解决问 题的目的 4 逆定理 的简单应用 即垂直 平分线的应用 例题 1 2006 年宝山区中考模拟题 如图 已知二次函数 y ax2 bx 的图 像开口向下 与 x 轴的一个交点为 B 顶点 A 在直线 y x 上 O 为坐标原点 证明 AOB 是等腰直角三角形 分析 由抛物线的对称性可添辅助线 过点 A 作 AD x 轴 垂足为 D 及直线 y x 的性 质 可以知道 AOB 是等腰直角三角形 例题 2 如图 以 ABC 的边 AB AC 为边分别向形 外作正方形 ABDE 和 ACFG 求证 若 DF BC 则 AB AC 分析 从已知条件出发想到了正方形的性质 边 角以及对角线 边的相等 角的 相等并都等于 90 度 现要证明等腰三 角形 能与其最密切的想到是否也能构 造直角呢 于是就想到了添辅线 AH 简单证明 分别过点 A D F 作 AH BC DI BC FJ BC 分别交 BC 于点 H CB 的延 长线于 I BC 的延长线于 J 由 DF BC DI FJ 又 AHC CJF AAS ABH BDI AAS HC FJ BH DI BH HC 得证 抓住已知条件和结论的联系 例题 1 中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的 内在联系 例题 2 中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系 通过获 取的信息以及对等腰三角形 三线合一 性质的逆定理的熟练把握 再进行对题目的重新 整合 就能快速做出解题的策略 添加相应的辅助线 对于解题有很大的帮助 5 逆定理 在作图中的应用 已知 线段 m 及 求作 ABC 使 ABC ACB 且 AB BC CA m 分析 对于作图题 一般先在草稿纸上画出要求 作图形的草图 再把相应的已知条件在图 上标出 通过对草图的解剖与分析再把图用 尺规规范的做出 通过草图的分析 直接得到所求三角形不行 由已知三边的和为 m 以及外角的性质我们 可以找到一顶点 A 再由垂直平分线与边的交 点找到另两个顶点 B 和 C 作法 1 画射线 OP 在 OP 上截取线段 OQ m 2 画射线 OM 使 MOP 1 2 3 画射线 QN 使 NQO 1 2 交射线 OM 于点 A 4 分别作 AO AQ 的垂直平分线 交 OQ 于 B C 两点 ABC 就是所求三角形 等腰三角形 三线合一三