《概率论与数理统计教程》沈恒范著-期末复习重点

1 概率论与数理统计教程概率论与数理统计教程 期末复习提要期末复习提要 第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 1 事件的关系 ABABAABBABA 2 运算规则 1 BAABABBA 2 BCACABCBACBA 3 CBCACABBCACCBA 4 BAABBABA 3 概率满足的三条公理及性质 AP 1 2 1 0 AP1 P 3 对互不相容的事件 有 可以取 n AAA 21 n k k n k k APAP 11 n 4 5 0 P 1 APAP 6 若 则 ABPAPBAP BA APBPABP BPAP 7 ABPBPAPBAP 8 ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 4 古典概型 基本事件有限且等可能 5 几何概率 6 条件概率 1 定义 若 则0 BP BP ABP BAP 2 乘法公式 BAPBPABP 若为完备事件组 则有 n BBB 21 0 i BP 3 全概率公式 n i ii BAPBPAP 1 4 Bayes 公式 n i ii kk k BAPBP BAPBP ABP 1 2 7 事件的独立性 独立 注意独立性的应用 BA BPAPABP 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1 离散随机变量 取有限或可列个值 满足 1 2 ii pxXP 0 i p 1 i i p 3 对任意 RD Dxi i i pDXP 2 连续随机变量 具有概率密度函数 满足 1 xf1 0 dxxfxf 2 3 对任意 b a dxxfbXaP Ra 0 aXP 3 几个常用随机变量 名称与记号分布列或密度数学期望方差 两点分布 1 pB pXP 1 pqXP 1 0 ppq 二项式分布 pnB nkqpCkXP knkk n 2 1 0 npnpq Poisson 分布 P 2 1 0 k k ekXP k 几何分布 pG 2 1 1 kpqkXP k p 1 2 p q 均匀分布 baU bxa ab xf 1 2 ba 12 2 ab 指数分布 E0 xexf x 1 2 1 正态分布 2 N 2 2 2 2 1 x exf 2 4 分布函数 具有以下性质 xXPxF 1 2 单调非降 3 右连续 1 0 FF 4 特别 aFbFbXaP 1 aFaXP 5 对离散随机变量 xxi i i pxF 6 对连续随机变量 为连续函数 且在连续点上 x dttfxF xf 3 xfxF 5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数 则有 x 1 0 N 1 2 3 若 则5 0 0 1 xx 2 NX x xF 4 以记标准正态分布的上侧分位数 则 u 1 0 N 1 uuXP 6 随机变量的函数 XgY 1 离散时 求的值 将相同的概率相加 Y 2 连续 在的取值范围内严格单调 且有一阶连续导数 则X xgX 若不单调 先求分布函数 再求导 11 ygygfyf XY 第三章第三章 随机向量随机向量 1 二维离散随机向量 联合分布列 边缘分布列 ijji pyYxXP 有 ii pxXP jj pyYP 1 2 3 0 ij p ij ij p1 j iji pp i ijj pp 2 二维连续随机向量 联合密度 边缘密度 有 yxf yfxf YX 1 2 3 0 yxf 1 yxf G dxdyyxfGYXP 4 dyyxfxfX dxyxfyfY 3 二维均匀分布 其中为的面积 其它 0 1 Gyx Gm yxf GmG 4 二维正态分布 其密度函数 牢记五个参数的含义 2 2 2 121 NYX 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 21 2 1 2 1 exp 12 1 yyxx yxf 且 2 22 2 11 NYNX 5 二维随机向量的分布函数 有 yYxXPyxF 1 关于单调非降 2 关于右连续 yx yx 4 3 0 FyFxF 4 1 F xFxF X yFyF Y 5 111221222121 yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 6 对二维连续随机向量 yx yxF yxf 2 6 随机变量的独立性 独立YX yFxFyxF YX 1 离散时 独立YX jiij ppp 2 连续时 独立YX yfxfyxf YX 3 二维正态分布独立 且YX 0 2 2 2 121 NYX 7 随机变量的函数分布 1 和的分布 的密度YXZ dxxzxfdyyyzfzfZ 2 最大最小分布 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1 期望 1 离散时 i iip xXE i ii pxgXgE 2 连续时 dxxxfXE dxxfxgXgE 3 二维时 ji ijji pyxgYXgE dydxyxfyxgYXgE 4 5 CCE XCECXE 6 YEXEYXE 7 独立时 YX YEXEXYE 2 方差 1 方差 标准差 222 EXXEXEXEXD XDX 2 0 XDCXDCD 3 2 XDCCXD 4 独立时 YX YDXDYXD 5 3 协方差 1 YEXEXYEYEYXEXEYXCov 2 YXabCovbYaXCovXYCovYXCov 3 2121 YXCovYXCovYXXCov 4 时 称不相关 独立不相关 反之不成立 但正态时等价 0 YXCovYX 5 2 YXCovYDXDYXD 4 相关系数 有 YX YXCov XY 1 XY 1 1 baXYPba XY 5 阶原点矩 阶中心矩k k k XE k k k XEXE 第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 1 Chebyshev 不等式 或 2 XD XEXP 2 1 XD XEXP 2 大数定律 3 中心极限定理 1 设随机变量独立同分布 则 n XXX 21 2 ii XDXE 或 或 2 1 nnNX n i i 近似 1 2 1 n NX n n i i 近似 0 1 1 N n nX n i i 近似 2 设是次独立重复试验中发生的次数 则对任意 有mnApAP x 或理解为若 则 limxx npq npm P n pnBX npqnpNX 近似 第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布 1 总体 样本 1 简单随机样本 即独立同分布于总体的分布 注意样本分布的求法 2 样本数字特征 样本均值 n i i X n X 1 1 XE n XD 2 样本方差 样本标准差 n i i XX n S 1 22 1 1 22 SE 6 n i i XX n S 1 2 1 1 样本阶原点矩 样本阶中心矩k n i k ik X n 1 1 k n i k ik XX n 1 1 2 统计量 样本的函数且不包含任何未知数 3 三个常用分布 注意它们的密度函数形状及分位点定义 1 分布 其中独立同分布于 2 222 2 2 1 2 nXXX n n XXX 21 标准正态分布 若且独立 则 1 0 N 2 2 1 2 nYnX 21 2 nnYX 2 分布 其中且独立 t nt nY X t 1 0 2 nYNX 3 分布 其中且独立 有下面F 21 2 1 nnF nY nX F 2 2 1 2 nYnX 的性质 1 1 12 21112 nnF nnFnnF F 4 正态总体的抽样分布 1 2 2 nNX 1 1 22 2 nX n i i 3 且与独立 4 1 1 2 2 2 n Sn X 1 nt nS X t 5 2 21 21 2121 nnt nn nn S YX t 2 1 1 21 2 22 2 112 nn SnSn S 6 1 1 21 2 2 2 2 2 1 2 1 nnF S S F 第七章第七章 参数估计参数估计 1 矩估计 1 根据参数个数求总体的矩 2 令总体的矩等于样本的矩 3 解方程求出矩估计 2 极大似然估计 1 写出极大似然函数 2 求对数极大似然函数 3 求导数或偏导数 4 令导数 或偏导数为 0 解出极大似然估计 如无解回到 1 直接求最大值 一般为 min或