湖北省天门市2012届高三数学联考（2）试卷 理新人教A版

用心 爱心 专心1 天门市天门市 20122012 年高三联考 二 数学试卷 理 年高三联考 二 数学试卷 理 一 选择题选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题列出的四个选项中 选出 最符合题目要求的一项 1 已知集合A 0 2 B 1 0 a 3 且 则a等于AB A 1B 0C 1D 3 2 已知 i 是虚数单位 则复数所对应的点是 23 zi2i3i A 2 2 B 2 2 C 2 2 D 2 2 3 在 ABC中 是 ABC为钝角三角形 的0 AB BC A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 4 设随机变量服从正态分布 若 3 4 N 23 2 PaPa 则的值为a A 5B 3 C D 7 3 5 3 5 已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形 PA 平面ABC 则下列结论正确的个数是 CD 平面PAF DF 平面PAF CF 平面PAB CF 平面PAD A 1 B 2 试 C 3 D 4 6 双曲线的渐近线与圆相切 则双曲线的焦距为 22 22 1 2 xy b 22 2 1xy A 8B 4C 2D 1 7 已知 若 则 的值等于0t 0 21 6 t xdx t A 2 B 3 C 6 D 8 8 函数的部分图象如图所示 设P是图象的最高点 A B是图象与sin 0 yx x轴的交点 则 tanAPB A 10B 8C D 8 7 4 7 9 已知数列的通项公式为 那么满足的整数k n a 13 n an 119 102 kkk aaa A 有 0 个B 有 1 个C 有 2 个D 有 3 个 10 设点A 1 0 B 2 1 如果直线与线段AB有一个公共点 那么1axby 22 ab A 最小值为B 最小值为C 最大值为D 最大值为 1 5 5 5 1 5 5 5 用心 爱心 专心2 二 填空题二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 其中 15 题为选做题 11 在 ABC中 若B 2A a b 1 则A 3 12 在的展开式中 x2的系数是 5 2 1 x x 13 定义某种运算 ab的运算原理如图所示 设 则 0 2 f xx xx 2 f 14 数列满足 其中 1 2 n a 1 1a 1 1 nn n aa n Rn 1 当时 0 20 a 2 若存在正整数m 当n m时 恒成立 则的取值范围是 0 n a 15 1 如图 AB是圆O的直径 P在AB的延长线上 PD切圆O于 点C 已知圆O半径为 OP 2 则PC ACD的大小为 3 2 在极坐标系中 点A关于直线的对称点的一个极坐标为 2 2 cos1l 三 解答题三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 16 本小题满分 12 分 已知函数的定义域为 D 集合 A cos2 sin 4 x f x x 求 DA 若 求的值 4 3 f x sin2x 17 本小题满分 12 分 如图 已知菱形ABCD的边长为 6 BAD 60o AC BD O 将菱形ABCD沿对角线AC 用心 爱心 专心3 折起 使BD 3 得到三棱锥B ACD 2 若点M是棱BC的中点 求证 OM 平面ABD 求二面角A BD O的余弦值 设点N是线段BD上一个动点 试确定点N的位置 使得CN 并证明你的4 2 结论 18 本小题满分 12 分 甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手 乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒 乓球选手 学校计划从甲 乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动 求选出的 4 名选手均为男选手的概率 记X为选出的 4 名选手中女选手的人数 求X的分布列和期望 19 本小题满分 12 分 已知函数 其中e为自然对数的底数 1 0 x a f xex x 当a 2 时 求曲线在 1 处的切线与坐标轴围成的面积 yf x 1 f 若函数存在一个极大值点和一个极小值点 且极大值与极小值的积为e5 f x 求a的值 20 本小题满分 13 分 已知椭圆的离心率为 且椭圆上一点与椭圆的两个焦点 22 22 1 0 xy Mab ab 2 2 3 构成的三角形周长为 64 2 求椭圆M的方程 用心 爱心 专心4 设直线l与椭圆M交于A B两点 且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C 求 ABC面积的最大值 21 本小题满分 14 分 已知函数的图象在处的切线与直线平行 ln 1f xxax 1x 210 xy 求实数的值 a 若方程在上有两个不相等的实数根 求实数的取值 1 3 4 f xmx 2 4m 范围 设 常 数 数 列满 足 1p n a 1 ln nnn aapa n N 1 lnap 求 证 1nn aa 2012 年天门卷 2 参考答案 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 C 解析 因为 所以 从而 故选 C AB 2B 32 1aa 2 C 解析 对应的点是 2 2 故选 C 23 2312322ziiiii 3 A 解析 由于 得 从而B为钝角 反之 ABC为钝角三0AB BC 0BA BC 角形 可能是A或C为钝角 故选 A 4 C 解析 关于对称 3 4 23 2 NPaPa 23a2a 与3 用心 爱心 专心5 解得 故选 C 232 3 2 aa 7 3 a 5 C 解析 由CD AF知 A 正确 由DF AF知 B 正确 由CF BA知 C 正确 故选 C 6 A 解析 由直线与圆相切 得 得0bxay 22 2 1xy 22 2 1 a ba 所以 故选 A 2222 4aabc 28c 7 B 解析 由 且 解得 故选 B 22 0 0 21 6 t t xdxxxtt 0t 2t 8 B 解析 过P点作PC x轴C 则由条件得 所以 2 2AB 1 1 2 PCAC 故选 B 13 22 tantan 8 13 1 22 APBAPCBPC 9 C 解析 因为 102 不是 10 的倍数 所以 于是由 13k 119 102 kkk aaa 得 13 12 101 6 kkk 13 14 6 7 22 kkkk 即 解得或 故选 C 2 7112102kk 2 7100kk 2k 5k 10 A 解析 线段AB的方程为 与联立 解得 1 12 yxx 1axby 1b x ab 于是由 得或可行域如图所示 显然无最大 1 12 b ab 0 1 21 ab a ab 0 1 21 ab a ab 22 ab 值 的最小值即为原点到直线的距离的平方 22 ab 21ab 即为 故选 A 2 11 55 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 30o 解析 因为 所以 又 1sinsinsin sinsin22sincos3 aAAA bBAAA 3 cos 2 A 0o A 180o 所以A 30o 故填 30o 12 5 令 得 所以的系数是 5 310 155 2 1 CC r rrrr r Txx x 3102r 4r 2 x 4 5 C5 故填 5 13 2 解析 故填 2 2 02 2 22 0222f 说明 另外本题可以增加求说明 另外本题可以增加求在区间在区间 2 2 2 2 上的最小值 则上的最小值 则 f x 当时 取最小值 6 当时 20 x 2 f xx xxxx 02x 用心 爱心 专心6 取最小值 2 所以在区间 2 2 上的最小值为 6 0f xxxx f x 14 解析 1 时 1 20 21 2 kk k N0 1 1 nn n aa n 1 1 n n an an 所以 20192 20 19181 19 18 1711 1 20 19 18220 aaa a aaa 2 123 1 2 1 1 22 3 aaa 4 3 2 1 4 a 要使 需负因数的个数为奇数个 当 1 2 1 n nn a n 0 n a 此时存在 当时 恒成立 212kk 2 mk kN nm 0 n a 故填 1 20 21 2 kk k N 15 1 1 75o 解析 因为 所以由切线定理 得23PB 23PA 所以 2 23 23 431PCPA PB 1PC 连接OC 则OC PC 因为 所以 COP 30o 从而 OCA 15o 所1PC 2OP 以 ACD 90o 15o 75o 故填 1 75o 15 2 解析 在直角坐标系中 A 0 2 点A关于l的对称2 2 4 1l x 点为 2 2 所以 所以此点极坐标为 故填 22 222 2 4 2 2 4 2 2 4 三 解答题 共三 解答题 共 7575 分 分 16 由题意 2 分 所以 3 分sin 0 4 x 4 xkk Z 则函数的定义域为 D 4 分而 A f x 4 xR xkkZ 所以 5 分所以集合 3 44 xx 33 4444 AD 6 分 7 分 cos2cos2 sin sin coscos sin 444 xx f x xxx 用心 爱心 专心7 9 分 2cos2 sincos x xx 22 2 cossin 2 cossin sincos xx xx xx 因为 所以 10 分 4 3 f x 2 2 cossin 3 xx 所以 12 分 2 sin21 cossin xxx 81 1 99 17 因为点O是菱形ABCD的对角线的交点 所以O是AC的中点 又点M是棱BC的中点 所以OM是 ABC的中位线 OM AB 1 分 因为平面ABD 平面ABD 所以OM 平面ABD 3 分OM AB 由题意 OB OD 3 因为 所以 BOD 90o OB OD 4 分3 2BD 又因为菱形ABCD 所以OB AC OD AC 建立空间直角坐标系O xyz 如图所 示 A 0 0 D 0 3 0 B 0 0 3 3 3 所以 6 分 3 3 0 3 AB 3 3 3 0 AD 设平面ABD的法向量为 x y z n 则有 即 0 0 AB AD n n 3 330 3 330 xz xy 令 则 所以 7 分1x 3y 3z 1 3 3 n 因为AC OB AC OD 所以AC 平面BOD 平面BOD的法向量与AC平行 所以平面BOD的法向量为 8 分 0 1 0 0 n 0 0 0 17 cos 717 n n n n nn 因为二面角A BD O是锐角 所以二面角A BD O的余弦值为 9 分 7 7 因为N是线段BD上一个动点 设 111 N x y zBNBD 则 所以 10 分 111 3 x y z 0 3 3 111 0 3 33xyz 则 0 3 33 3 3 3 33 NCN 由 得 即 11 分4 2CN 22 279 33 4 2 2 9920 解得或 所以点N的坐标为 0 2 1 或 0 1 2 12 1 3 2 3 分 也可以答点N是线段BD的三等分点 或 2BNND 2BNND 18 事件A表示 选出的 4 名选手均为男选手 由题意知 用心 爱心 专心8 3 分 5 分 2 3 22 54 C C C P A 111 10220 X的可能取值为 0 1 2 3 6 分 7 分 2 3 22 54 C31 0 C C10620 P X 9 分 1121 2333 22 54 C C CC2 3 337 1 C C10620 P X 10 分 21 33 22 54 C C3 33 3 C C10620 P X 11 分 9 2 1 0 3 20 P XP XP X X的分布列如下 X0123 P 1 20 7 20 9 20 3 20 12 分 179317 0123 2020202010 E X 19 2 分 2 2 x xaxa fxe x 当时 2a 2 2 22 x xx fxe x 1 2 122 1 1 1 fee fe 所以曲线在处的切线方程为 4 分 yf x 1 1 f2yexe 切线与x轴 y轴的交点坐标分别为 2 0 0 5 分2e 所以 所求面积为 6 分 1 222 2 ee 因为函数存在一个极大值点和一个极小值点 f x 所以方程在 0 内存在两个不等实根 7 分 2 0 xaxa 则 8 分所以 9 分 2 40 0 aa a 4a 设为函数的极大值点和极小值点 12 x x f x 则 10 分 1212 xxax xa 用心 爱心 专心9 因为 所以 11 5 12 f xf xe 12 5 12 12 xx xaxa eee xx 分 即 12 2 5 1212 12 xx x xa xxa ee x x 22 5a aaa ee a 5a ee 解得 此时有两个极值点 所以 12 分5a f x5a 20 因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 64 2 所以 1 分22ac 64 2 又椭圆的离心率为 即 所以 2 分 2 2 3 2 2 3 c a 2 2 3 ca 所以 3 2 2ac 所以椭圆M的方程为 4 分1 b 2 2 1 9 x y 方法一方法一 不妨设BC的方程为 则AC的方程 3 0 yn xn 为 1 3 yx n 由得 6 分 2 2 3 1 9 yn x x y 2222 1 6910 9 nxn xn 设 1122 A x yB xy 因为 所以 7 分 2 2 2 819 3 91 n x n 2 2 2 273 91 n x n 同理可得 8 分 2 1 2 273 9 n x n 所以 9 分 22 2 22 616 1 919 nn BCnAC nnn 10 分 2 1 2 1 164 2 9 ABC n n SBC AC n n 设 则 12 分 1 2tn n 2 223 6464 8 99 t S tt t 用心 爱心 专心10 当且仅当时取等号 所以 ABC面积的最大值为 13 分 8 3 t 3 8 方法二 方法二 不妨设AB的方程为 xkym 由消去x得 6 分 2 2 1 9 xkym x y 222 9 290kykmym 设 则有 7 分 1122 A x yB xy 2 1212 22 29 99 kmm yyy y kk 因为以AB为直径的圆过点C 所以0CA CB 由 得 8 分 1122 3 3 CAxyCBxy 12 3 3 xx 12 0y y 将 代入上式 1 x 1 kym 2 x 2 kym 得 22 1212 1 3 3 0ky yk myym 将 代入上式 解得或m 3 舍 10 分 12 5 m 所以 此时直线AB经过定点D 0 与椭圆有两个交点 12 5 m 12 5 所以 2 1