2013高三数学总复习 9-5线面、面面垂直的判定与性质练习 新人教B版

1 9 59 5 线面 面面垂直的判定与性质线面 面面垂直的判定与性质 基础巩固强化 1 文 2011 北京海淀区期末 已知m n是两条不同的直线 是两个不同的平 面 下列命题中不正确的是 A 若m n 则m n B 若m n m 则n C 若m m 则 D 若m m 则 答案 A 解析 选项 A 中 直线m与直线n也可能异面 因此 A 不正确 理 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 A 若m n 则m n B 若m n 则m n C 若m n 则m n D 若m n 则m n 答案 A 解析 Error m n 故 A 正确 如图 1 m n 满足n 但m n 故 C 错 如图 2 知 B 错 如图 3 正方体中 m n 知 D 错 2 文 2011 北京市朝阳区模拟 设 是三个不重合的平面 l是直线 给 出下列命题 若 则 若l上两点到 的距离相等 则l 若 l l 则 若 l 且l 则l 2 其中正确的命题是 A B C D 答案 D 解析 对于 若 则可能 也可能 对于 若l上 两点到 的距离相等 则l 显然错误 当l l A时 l上到A距离相等的 两点到 的距离相等 显然正确 理 如图 三棱柱ABC A1B1C1的侧面A1ABB1 BC 且A1C与底面成 45 角 AB BC 2 则 该棱柱体积的最小值为 A 4 B 3 33 C 4 D 3 答案 C 解析 由已知得平面A1ABB1 平面ABC且交线为AB 故A1在平面ABC上的射影D在 AB上 由A1C与底面成 45 角得A1D DC BC AB 当CD最小即CD BC时A1D最小 此时Vmin AB BC A1D 2 2 2 4 故选 C 1 2 1 2 3 2012 河北邯郸临漳一中模拟 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体 积是 3 A B 3 1 2 C D 2 3 2 答案 A 解析 由三视图知 该几何体是一个横放的四棱锥P ABCD 其底面ABCD为直角梯形 AB 1 CD 2 高BC 1 棱锥的高PC 1 体积V 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 4 2011 广东省深圳市高三调研 如图 在立体图形D ABC中 若 4 AB CB AD CD E是AC的中点 则下列结论正确的是 A 平面ABC 平面ABD B 平面ABD 平面BDC C 平面ABC 平面BDE 且平面ADC 平面BDE D 平面ABC 平面ADC 且平面ADC 平面BDE 答案 C 解析 要判断两个平面的垂直关系 就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂 直 因为AB CB 且E是AC的中点 所以BE AC 同理有DE AC 于是AC 平面BDE 因 为AC在平面ABC内 所以平面ABC 平面BDE 又由于AC 平面ACD 所以平面ACD 平面 BDE 所以选 C 5 定点A和B都在平面 内 定点P PB C是 内异于A和B的动点 且 PC AC 那么 动点C在平面 内的轨迹是 A 一条线段 但要去掉两个点 B 一个圆 但要去掉两个点 C 一个椭圆 但要去掉两个点 D 半圆 但要去掉两个点 答案 B 解析 连接BC PB AC PB 又 PC AC AC BC C在以AB为直径的圆上 故选 B 6 文 2011 广东广州一模 已知l m是不同的两条直线 是不重合的两个平 面 则下列命题中为真命题的是 A 若l 则l B 若l 则l C 若l m m 则l D 若l m 则l m 5 答案 D 解析 Error l m 理 2011 济宁三模 在正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB 2 AA1 1 则点A到平面 A1BC的距离为 A B 3 4 3 2 C D 3 3 43 答案 B 解析 解法 1 取BC中点E 连接AE A1E 过点A作AF A1E 垂足为F A1A 平面ABC A1A BC AB AC AE BC BC 平面AEA1 BC AF 又AF A1E AF 平面A1BC AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离 AA1 1 AE AF 3 3 2 解法 2 VA1 ABC S ABC AA1 1 1 3 1 33 3 3 又 A1B A1C 5 在 A1BE中 A1E 2 A1B2 BE2 S A1BC 2 2 2 1 2 6 VA A1BC S A1BC h h 1 3 2 3 h h 点A到平面A1BC距离为 2 3 3 3 3 2 3 2 7 如图 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 ADC 90 且AA1 AD DC 2 M 平面 ABCD 当D1M 平面A1C1D时 DM 答案 2 2 解析 DA DC AA1 DD1且DA DC DD1两两垂直 故当点M使四边形ADCM为正方 形时 D1M 平面A1C1D DM 2 2 8 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各边都相等 M是PC上的 一动点 当点M满足 时 平面MBD 平面PCD 只要填写一个你认为是正确的条件即 可 答案 DM PC 或BM PC等 不唯一 解析 7 连接AC 四边形ABCD为菱形 AC BD 又 PA 平面ABCD PA BD 又AC PA A BD 平面PAC BD PC 当DM PC 或BM PC等 时 即有PC 平面MBD 而PC 平面PCD 平面MBD 平面PCD 9 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E F G分别是AB BC B1C1的中点 下列 命题正确的是 写出所有正确命题的编号 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形 P在直线FG上运动时 AP DE Q在直线BC1上运动时 三棱锥A D1QC的体积不变 M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点 则M点的轨迹是一条线段 答案 解析 8 三棱锥A1 ABC的四个面都是 Rt 故 错 P在FG上运动时 PF 平面ABCD PF DE 又在正方体ABCD中 E F为AB BC中点 AF DE DE 平面 PAF DE PA 故 真 VA D1QC VQ AD1C BC1 AD1 BC1 平面AD1C 无论点Q 在BC1上怎样运动 Q到平面AD1C距离都相等 故 真 到点D和C1距离相等的点在经过线 段C1D的中点与DC1垂直的平面 上 故点M为平面 与正方体的面A1B1C1D1相交线段上的 点 这条线段即A1D1 10 2012 北京东城二模 如图 矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互 相垂直 MB NC MN MB 1 求证 平面AMB 平面DNC 2 若MC CB 求证BC AC 证明 1 因为MB NC MB 平面DNC NC 平面DNC 所以MB 平面DNC 因为四边形AMND是矩形 所以MA DN 又MA 平面DNC DN 平面DNC 所以MA 平面DNC 9 又MA MB M 且MA MB 平面AMB 所以平面AMB 平面DNC 2 因为四边形AMND是矩形 所以AM MN 因为平面AMND 平面MBCN 且平面AMND 平面MBCN MN 所以AM 平面MBCN 因为BC 平面MBCN 所以AM BC 因为MC BC MC AM M 所以BC 平面AMC 因为AC 平面AMC 所以BC AC 能力拓展提升 11 文 2012 广东深圳一调 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC A1A AB 2 BC 1 AC 若规定正 主 视方向垂直平面ACC1A1 则此三棱柱的侧 5 左 视图的面积为 A B 2 4 5 55 C 4 D 2 答案 A 解析 10 过B作BE AC 垂足为E 平面B1BE交A1C1于E1 则BE 由题意根据三视图的规 2 5 5 则知 几何体的侧视图表示长为 宽为 2 的矩形 所以几何体的侧视图的面积为 2 5 5 S 2 故选 A 2 5 5 4 5 5 理 如图 在棱长均为 1 的三棱锥S ABC中 E为棱SA的中点 F为 ABC的中心 则直线 EF与平面ABC所成角的正切值是 A 2 B 1 2 C D 2 2 2 答案 C 解析 F为正三棱锥底面中心 SF 平面ABC 平面SAF 平面ABC EFA 为EF与平面ABC所成的角 易知AE AF 又EF SA 1 2 3 3 1 2 1 2 cos FAE AF2 AE2 EF2 2AF AE 3 3 11 sin FAE tan FAE 1 cos2A 6 32 由于 Rt SAF中E为SA的中点 FAE EFA 故 tan EFA 2 12 文 2012 安徽理 6 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 m b b m b 又 a b a 当a a m时 b m b a 而此时平面 与平面 不 一定垂直 故选 A 理 过正方形ABCD之顶点A作PA 平面ABCD 若PA AB 则平面ABP与平面CDP所成 二面角的度数为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 B 解析 过P作直线l AB 则l为二面角的棱 易证 APD即为所求 AP AD PAD 90 APD 45 13 2012 山西联考 已知四棱锥P ABCD的顶点都在球O的球面上 底面ABCD是矩 形 平面PAD 底面ABCD PAD为正三角形 AB 2AD 4 则球O的表面积为 答案 64 3 解析 过P作PE AB交球面于E 连接BE CE 则BE AP CE DP 三棱柱APD BEC为正三棱柱 12 PAD为正三角形 PAD外接圆的半径为 2 3 3 球O的半径R 22 2 3 3 2 4 3 球O的表面积S 4 R2 64 3 14 在正三棱锥P ABC中 D E分别是AB BC的中点 有下列三个论断 AC PB AC 平面PDE AB 平面PDE 其中正确论断的序号为 答案 解析 如图 D E为AB BC的中点 DE AC AC 平面PDE AC 平面PDE 取AC中点M 则由正三棱锥知 PM AC BM AC AC 平面PBM AC PB AC DE DE BM BM DE 故AB与DE不垂直 从而AB 平面PDE 错误 15 如图 已知AB 平面ACD DE AB ACD是正三角形 AD DE 2AB 且F是CD 的中点 13 1 求证 AF 平面BCE 2 求证 平面BCE 平面CDE 证明 1 取CE的中点P 连接FP BP F为CD的中点 FP DE 且FP DE 1 2 又AB DE 且AB DE 1 2 AB FP 且AB FP 四边形ABPF为平行四边形 AF BP 又 AF 平面BCE BP 平面BCE AF 平面BCE 2 ACD为正三角形 AF CD AB 平面ACD DE AB DE 平面ACD 又AF 平面ACD DE AF 又AF CD CD DE D AF 平面CDE 又BP AF BP 平面CDE 14 又 BP 平面BCE 平面BCE 平面CDE 16 文 2011 北京模拟 如图 正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直 AD CD AB CD AB AD 2 CD 4 M为CE的中点 1 求证 BM 平面ADEF 2 求证 平面BDE 平面BEC 证明 1 证明 延长DA与CB相交于P AB AD 2 CD 4 AB CD B为PC的中点 又M为CE的中点 BM EP BM 平面ADEF EP 平面ADEF BM 平面ADEF 2 证明 由 1 知 BC PC 2 1 2 1 2PD2 CD22 又BD 2 AD2 AB22 BD2 BC2 CD2 BD BC 又平面ADEF 平面ABCD ED AD ED 平面ABCD ED BC 15 ED BD D BC 平面BDE 又BC 平面BEC 平面BDE 平面BEC 理 2012 北京文 16 如图 1 在 Rt ABC中 C 90 D E分别为AC AB的中 点 点F为线段CD上的一点 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如图 2 1 求证 DE 平面A1CB 2 求证 A1F BE 3 线段A1B上是否存在点Q 使A1C 平面DEQ 说明理由 分析 1 利用线面平行判定定理证明 关键证明DE BC 2 由平面图形知Error 折叠后 Error 由线面垂直判定定理证得DE 平面A1CD 则 DE A1F 又由A1F CD 易证得A1F 平面BCDE 则A1F BE 3 采取先找再证的办法处理 由DA1 DC联想到等腰三角形底边上的中线是底面边上的 高 可取A1C中点 再由 中点找中点 原则取A1B中点Q 证明A1C 平面DEQ 利用 2 中 的DE 平面A1DC这一结论 解析 1 证明 因为D E分别为AC AB的中点 所以DE BC 又因为DE 平面A1CB 所以DE 平面A1CB 2 证明 由已知得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 所以DE 平面A1DC 而A1F 平面A1DC 所以DE A1F 又因为A1F CD 所以A1F 平面BCDE 所以A1F BE 16 3 线段A1B上存在点Q 使A1C 平面DEQ 理由如下 如图 分别取A1C A1B的中点P Q 则PQ BC 又因为DE BC 所以DE PQ 所以平面DEQ即为平面DEP 由 2 知 DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点 所以A1C DP 所以A1C 平面DEP 从而A1C 平面DEQ 故线段A1B上存在点Q 使得A1C 平面DEQ 点评 1 本题考查了线面平行 线面垂直的判定定理 性质定理 折叠问题 存在性 问题等 2 对于折叠问题 关键是看清折叠前后各量的变化与不变 包括长度 角度 位置关系 等 对于存在性问题 一般采取先找再证 取特例 的办法解决 1 2011 广东省广州市高三年级调研测试 如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平 面ABCD AB DC PAD是等边三角形 已知BD 2AD 4 AB 2DC 2 5 17 1 求证 BD 平面PAD 2 求三棱锥A PCD的体积 解析 1 证明 在 ABD中 由于 AD 2 BD 4 AB 2 AD2 BD2 AB2 AD BD 5 又平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD BD 平面ABCD BD 平面PAD 2 过P作PO AD交AD于O 又平面PAD 平面ABCD PO 平面ABCD PAD是边长为 2 的等边三角形 PO 3 由 1 知 AD BD 在 Rt ABD中 斜边AB边上的高为h AD BD AB 4 5 5 AB DC S ACD CD h 2 1 2 1 25 4 5 5 VA PCD VP ACD S ACD PO 2 1 3 1 33 2 3 3 2 18 2012 河南豫东 豫北十所名校联考 如图所示的七面体是由三棱台ABC A1B1C1和四棱 锥D AA1C1C对接而成 四边形ABCD是边长为 2 的正方形 BB1 平面ABCD BB1 2A1B1 2 1 求证 平面AA1C1C 平面BB1D 2 求二面角A A1D C1的余弦值 解析 因为BB1 平面ABCD且ABCD是边长为 2 的正方形 所以以B为原点建立如图 所示的空间直角坐标系B xyz 则有A 2 0 0 B 0 0 0 C 0 2 0 D 2 2 0 A1 1 0 2 B1 0 0 2 C1 0 1 2 1 证明 0 0 2 2 2 0 0 BB1 AC 2 2 0 2 2 0 0 BD AC BB1 AC BD AC BB1 AC BD AC BB1与DB是平面BB1D内的两条相交直线 19 AC 平面BB1D 又AC 平面AA1C1C 平面AA1C1C 平面BB1D 2 1 0 2 0 2 0 1 1 0 1 2 2 AA1 AD A1C1 A1D 设n n x1 y1 z1 为平面A1AD的一个法向量 则n n x1 2z1 0 n n 2y1 0 AA1 AD 于是y1 0 取z1 1 则x1 2 n n 2 0 1 设m m x2 y2 0 m m x2 2y2 2z2 0 A1C1 A1D 可得 3y2 2z2 取z2 3 则x2 y2 2 m m 2 2 3 cos m m n n m m n n m m n n 7 5 17 7 85 85 由图知二面角A A1D C1为钝角 所以其余弦值为 7 85 85 3 2012 石家庄市一模 四棱锥A BCDE的正视图和俯视图如下 其中俯视图是直角 梯形 1 若正视图是等边三角形 F为AC的中点 当点M在棱AD上移动时 是否总有BF丄 CM 请说明理由 2 若AB AC 平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为 45 求直线AD与平面ABE所 成角的正弦值 解析 1 总有BF CM 理由如下 法一 取BC的中点O 连接AO 20 由俯视图可知 AO 平面BCDE CD 平面BCDE 所以AO CD 又CD BC 所以CD 平面ABC 故CD BF 因为 ABC为正三角形 F是AC的中点 所以BF AC 又AC CD D 故BF 平面ACD 因为CM 平面ACD 所以BF CM 法二 取BC的中点O 连接AO 由俯视图可知 AO 平面BCDE 取DE中点H 连接 OH OH BC 以OC OH OA分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系O xyz 则A 0 0 B 1 0 0 C 1 0 0 D 1 2 0 可求得F 0 3 1 2 3 2 设点M的横坐标为x 可求得点M x 2x 1 x 3 21