湖南师大附中2013届高三数学第四次月考试卷 文（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年湖南师大附中高三第四次月考数学试卷 文科 学年湖南师大附中高三第四次月考数学试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 9 9 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 5 分 如果复数 z a i 1 i 为纯虚数 那么实数 a 等于 A 2B 1C 0D 1 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 专题 计算题 分析 利用复数的代数形式的乘除运算 解得 z a i 1 i a 1 1 a i 再 由复数 z a i 1 i 为纯虚数 知 由此能求出实数 a 解答 解 z a i 1 i a i ai i2 a 1 1 a i 复数 z a i 1 i 为纯虚数 解得 a 1 故选 D 点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 2 5 分 函数 f x x cosx 在 内 A 没有零点 B 有且仅有一个零点 C 有且仅有两个零点 D 有无究多个零点 考点 函数的零点 专题 函数的性质及应用 分析 函数 f x x cosx 的零点个数可转化为函数 y x 与 y cosx 的图象交点的个 数 结合它们的图象特征即可作出判断 解答 解 函数 f x x cosx 的零点个数 即方程 x cosx 0 的根的个数 也即函 数 y x 与 y cosx 的图象交点的个数 当 0 x 时 y x x 从 0 递增到 y cosx 从 1 递减到 0 所以两函数图象在 2 0 上只有一个交点 当 x 时 y x x 1 y cosx 1 所以两函数图象在 上没有 交点 所以 y x 与 y cosx 的图象在 0 上只有一个交点 又两函数均为偶函数 图象均关于 y 轴对称 所以它们在 0 上也只有一个 交点 综上 函数 y x 与 y cosx 的图象交点的个数是 2 故函数 f x x cosx 的零点个数为 2 故选 C 点评 本题考查函数的零点问题 即相应方程根的问题 注意体会转化思想与数形结合思 想在本题中的运用 3 5 分 2011 江西模拟 有一个几何体的三视图及其尺寸如图 单位 cm 则该几何体 的表面积为 A 12cm2B 15 cm2C 24 cm2D 36 cm2 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 由该几何体的三视图 我们易得到该几何体为圆锥 且该圆锥的底面直径为 6 圆锥 的母线长为 5 由已知中的数据我们易求出底面积和侧面积 进而得到该几何体的表 面积 解答 解 由几何体的三视图 我们可得 底面直径为 6 底面半径为 3 圆锥的母线长为 5 故几何体的表面积 S S底面积 S侧面积 32 3 5 24 故选 C 点评 本题考查的知识点是由三视图求面积 由三视图中的数据求出底面半径 进而求出 底面面积和侧面积是解答本题的关键 4 5 分 2012 黄州区模拟 已知三条不重合的直线 m n l 与两个不重合的平面 有下列命题 若 m n n 则 m 若 l m 且 l m 则 3 若 m n m n 则 若 m n n m 则 n 其中正确的命题个数是 A 1B 2C 3D 4 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 专题 综合题 分析 由线面关系得出 m 或 m 由垂直于同一直线的两个平面平行得到 由面面平行的判定定理得到 由面面垂直的性质定理得到 解答 解 对于 若 m n n 则 m 或 m 不正确 对于 若 l m 且 l m 则 显然成立 对于 若 m n m n 则 由面面平行的判定定理知它是不正确的 对于 若 m n n m 则 n 由面面垂直的性质定理知它是正确的 综上所述 正确命题的个数为 2 故选 B 点评 本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理 5 5 分 已知函数 则下列图象错误的是 A y f x 1 的图 象 B y f x 的图象 C y f x 的图象 D y f x 的图象 考点 函数的图象 专题 函数的性质及应用 分析 先作出的图象 再根据 A B C D 各函数的图象 与 f x 的图象的位置关系判断正误 对于 A y f x 1 的图象是由 f x 的图象向右平移一个单位得到 对于 B y f x 的图象由 f x 的图象横向对折变换得到 对于 C y f x 的图 象与 f x 的图象关于 y 轴对称而得到 4 解答 解 先作出的图象 如图 对于 A y f x 1 的图象是由 f x 的图象向右平移一个单位得到 故其正确 对于 B 当 x 0 时 y f x 的图象与 f x 的图象相同 且函数 y f x 的 图象关于 y 轴对称 故其错误 对于 C y f x 的图象与 f x 的图象关于 y 轴对称而得到 故其正确 故选 B 点评 熟练掌握各种常用函数的图象变换是解决此类问题的关键 属于基础题 6 5 分 P 是双曲线的右支上一点 点 M N 分别是圆 x 5 2 y2 4 和 x 5 2 y2 1 上的动点 则 PM PN 的最小值为 A 1B 2C 3D 4 考点 圆与圆锥曲线的综合 专题 计算题 分析 先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心 再利用平面几何知识把 PM PN 转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求 PM PN 的最小值 解答 解 双曲线的两个焦点分别是 F1 5 0 与 F2 5 0 则这两点正好是两圆 x 5 2 y2 4 和 x 5 2 y2 1 的圆心 两圆 x 5 2 y2 4 和 x 5 2 y2 1 的半径分别是 r1 2 r2 1 PM min PF1 2 PN max PF2 1 PM PN 的最小值 PF1 2 PF2 1 6 3 3 故选 C 点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力 具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与双曲线的相关知识 解题时要注意合理地进行等价转化 5 7 5 分 2012 黄山模拟 某程序框图如图所示 现输入如下四个函数 则可以输出的 函数是 A f x x2 B C f x x2 D f x sinx 考点 程序框图 专题 操作型 分析 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作 用是输出满足条件 f x f x 0 即函数 f x 为奇函数 f x 存在零点 即函数图象与 x 轴有交点 逐一分析四个答案中给出的函数的性质 不难得到正确 答案 解答 解 A f x x2 C f x x2 不是奇函数 故不满足条件 又 B 的函数图象与 x 轴没有交点 故不满足条件 而 D f x sinx 既是奇函数 而且函数图象与 x 也有交点 故 D f x sinx 符合输出的条件 故答案为 D 点评 根据流程图 或伪代码 写程序的运行结果 是算法这一模块最重要的题型 其处 理方法是 分析流程图 或伪代码 从流程图 或伪代码 中即要分析出计算 的类型 又要分析出参与计算的数据 如果参与运算的数据比较多 也可使用表格 对数据进行分析管理 建立数学模型 根据第一步分析的结果 选择恰当的数 学模型 解模 8 5 分 如图所示 A B C 是圆 O 上的三个点 CO 的延长线与线段 AB 交于圆内一点 D 若 则 6 A 0 x y 1 B x y 1 C x y 1 D 1 x y 0 考点 向量的加法及其几何意义 专题 计算题 分析 如图所示由 可得 x 0 y 0 故 x y 0 故排除 A B 再由 x2 y2 2xy 得 1 x2 y2 2xy cos AOB 当 AOB 120 时 x y 2 1 3xy 1 可得 x y 1 从而得出结论 解答 解 如图所示 x 0 y 0 故 x y 0 故排除 A B OC OB OA x2 y2 2xy 1 x2 y2 2xy cos AOB 当 AOB 120 时 x2 y2 xy 1 即 x y 2 3xy 1 即 x y 2 1 3xy 1 故 x y 1 所以 x y 1 故选 C 点评 本题主要考查了平面向量的几何意义 平面向量加法的平行四边形法则 平面向量 基本定理 平面向量数量积运算的综合运用 排除法解选择题 属于中档题 9 5 分 如图 一个树形图依据下列规律不断生长 1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个 实心圆点 1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点 则第 11 行的实心 圆点的个数是 7 A 21B 34C 55D 89 考点 归纳推理 专题 压轴题 规律型 分析 根据 1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点 1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点 即可确定第 n 行与前两行的实心圆点的个数的关系 解答 解 根据 1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点 1 个实心圆点到下一行生长 出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点 可得 第 1 行的实心圆点的个数是 0 第 2 行的实心圆点的个数是 1 第 3 行的实心圆点的个数是 1 0 1 第 4 行的实心圆点的个数是 2 1 1 第 5 行的实心圆点的个数是 3 1 2 第 6 行的实心圆点的个数是 5 2 3 第 7 行的实心圆点的个数是 8 3 5 第 8 行的实心圆点的个数是 13 5 8 第 9 行的实心圆点的个数是 21 8 13 第 10 行的实心圆点的个数是 34 13 21 第 11 行的实心圆点的个数是 55 21 34 故选 C 点评 本题考查归纳推理 考查学生分析解决问题的能力 属于基础题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 把答案填在答题卡中对应题号的横分 把答案填在答题卡中对应题号的横 线上 线上 10 5 分 2011 合肥模拟 将某班的 60 名学生编号为 01 02 60 采用系统抽 样方法抽取一个容量为 5 的样本 且随机抽得的一个号码为 04 则剩下的四个号码依次是 16 28 40 52 考点 系统抽样方法 专题 计算题 8 分析 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则 构造一个等差数列 将四个学生 的号码从小到大成等差数列 建立等式关系 解之即可 解答 解 用系统抽样抽出的 5 个学生的号码从小到大成等差数列 随机抽得的一个号码为 04 则剩下的四个号码依次是 16 28 40 52 故答案为 16 28 40 52 点评 系统抽样过程中 每个个体被抽取的可能性是相等的 系统抽样的原则是等距 抓 住这一原则构造等差数列 是我们常用的方法 11 5 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如图所示 垂直放置的标杆 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 据此算出 H 124 m 考点 正弦定理 专题 解三角形 分析 在 Rt ABE 中可得 AD 在 Rt ADE 中可得 AB BD 再根据 AD AB DB 即可得到 H 的表达式 代入 tan 1 24 tan 1 20 h 4m 可得答 案 解答 解 tan AD AB BD AD AB DB tan 1 24 tan 1 20 h 4m H 124 因此 算出的电视塔的高度 H 是 124m 故答案为 124 点评 本题主要考查解三角形的知识 由已知构造出未知的边长对应的方程是解答的关 9 键 12 5 分 在数列 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 则 S2013 2b 考点 数列递推式 数列的求和 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 数列 an 中 由 a1 a a2 b an 2 an 1 an 分别求出 a3 a4 a6 a7 a8 得 到数列 an 是以 6 为周期的周期数列 由此能求出 S2013 解答 解 数列 an 中 a1 a a2 b an 2 an 1 an a3 b a a4 b a b a a b a b a6 b a a b a7 a b b a a8 a a b b 数列 an 是以 6 为周期的周期数列 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a b b a a b a b 0 2013 335 6 3 S2013 335 0 a1 a2 a3 0 a b b a 2b 故答案为 2b 点评 本题考查数列的递推公式的应用 解题的关键是推导出数列 an 是以 6 为周期的周 期数列 且 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 13 5 分 已知二次函数 f x ax2 bx c 满足 f 1 0 a b c 则 的取值范围是 考点 二次函数的性质 专题 计算题 分析 函数 f x ax2 bx c 满足 f 1 0 则 a b c 0 a b c 中 2 正 1 负 1 正 2 负 1 正 1 负 1 零 根据 a b c 分情况进行讨论 能判断出 的取值范围 10 解答 解 函数 f x ax2 bx c 满足 f 1 0 则 a b c 0 a b c 中 2 正 1 负 1 正 2 负 1 正 1 负 1 零 根据 a b c 知 若 a b 0 c a a c 0 c 1 1 0 2 1 若 a 0 b c a 0 a c c 1 0 1 1 若 a b 0 c a a c 0 c 1 0 1 综上所述 的取值范围是 2 点评 本题考查二次函数的性质和应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 注意 分类讨论思想的合理运用 14 5 分 2012 绍兴一模 设是奇函数 则使 f x 0 的 x 的取值范围是 1 0 考点 函数奇偶性的性质 对数的运算性质 分析 根据若 f x 是奇函数且在 x 0 有定义 则 f 0 0 即可解出 a 再根据对数函 数的单调性解不等式得到答案 解答 解 依题意 得 f 0 0 即 lg 2 a 0 所以 a 1 又 f x 0 所以 解得 1 x 0 故答案为 1 0 点评 本题主要考查函数的奇偶性和对数不等式的解法 在解对数不等式时注意对数函数 的单调性 即 底数大于 1 时单调递增 底数大于 0 小于 1 时单调递减 15 5 分 2011 江西模拟 设 xn 1 2 n n N 对 xn的任意非空子集 A 定义 f A 为 A 中的最小元素 当 A 取遍 xn的所有非空子集时 对应的 f A 的和为 Sn 则 S3 11 Sn 2n 1 n 2 考点 数列的求和 专题 计算题 压轴题 新定义 分析 由题意得 在所有非空子集中每个元素出现 2n 1次 即有 2n 1个子集含 1 有 2n 2 个子集不含 1 含 2 有 2n 3子集不含 1 2 含 3 有 2k 1个子集不含 1 2 3 k 1 而含 k 所以 Sn 2n 1 1 2n 2 2 21 n 1 n 进而利用错位相减法求出其和 解答 解 由题意得 在所有非空子集中每个元素出现 2n 1次 故有 2n 1个子集含 1 有 2n 2个子集不含 1 含 2 有 2n 3子集不含 1 2 含 3 有 11 2k 1个子集不含 1 2 3 k 1 而含 k 所以 Sn 2n 1 1 2n 2 2 21 n 1 n Sn n 1 n 1 2 2 2n 2 1 2n 1 所以 2Sn n 2 n 1 4 2 2n 1 1 2n 所以 可得 Sn n 2 4 2n 1 2n 所以 Sn 2n 1 n 2 所以 S3 11 故答案为 S3 11 Sn 2n 1 n 2 点评 解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意 结合数列求和的方法求其和即可 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 如图 一个几何体由圆柱 ADD1A1和三棱锥 E ABC 组合而成 点 A B C 在 O 的圆周上 E A D 三点共线 已知 AB AC AB AC AE AD 1 BC 2 1 求证 AC BD 2 求三棱锥 C BDE 的体积 考点 直线与平面垂直的性质 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 空间位置关系与距离 分析 1 由已知中 EA 平面 ABC 由线面垂直的性质可得 ED AC 结合 AC AB 由线 面垂直的判定定理可得 AC 平面 EBD 再由线面垂直的性质得到 AC BD 2 由 VC BDE VE ABC VD ABC 计算出底面 ABC 的面积 代入棱锥体积公式 可得答 案 解答 证明 1 因为 EA 平面 ABC AC 平面 ABC 所以 EA AC 即 ED AC 又因为 AC AB AB ED A 所以 AC 平面 EBD 因为 BD 平面 EBD 所以 AC BD 4 分 解 2 VC BDE VE ABC VD ABC 又 S ABC 2 1 1 VE ABC S ABC VA VD ABC S ABC DA 12 VC BDE 点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质 棱锥的体积 其中熟练掌握空间线面 垂直的判定及性质是解答的关键 17 12 分 2012 四川 函数 f x 6cos2sin x 3 0 在一个周期内 的图象如图所示 A 为图象的最高点 B C 为图象与 x 轴的交点 且 ABC 为正三角形 求 的值及函数 f x 的值域 若 f x0 且 x0 求 f x0 1 的值 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 三角函数的化简求值 正弦函数的 定义域和值域 专题 计算题 综合题 分析 将 f x 化简为 f x 2sin x 利用正弦函数的周期公式与性 质可求 的值及函数 f x 的值域 由 知x0 由 可求得即 sin x0 利用两角和的正弦公式即可求得 f x0 1 解答 解 由已知可得 f x 3cos x sin x 2sin x 又正三角形 ABC 的高为 2 从而 BC 4 函数 f x 的周期 T 4 2 8 即 8 数 f x 的值域为 2 2 6 分 f x0 由 有 f x0 2sin x0 即 sin x0 由 知x0 cos x0 13 f x0 1 2sin x0 2sin x0 2 sin x0 cos cos x0 sin 2 12 分 点评 本题考查由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 着重考查三角函数的化简 求值与正弦函数的性质 考查分析转化与运算能力 属于中档题 18 12 分 已知关于 x 的一元二次函数 f x ax2 4bx 1 1 设集合 P 1 2 3 和 Q 1 1 2 3 4 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作 为 a 和 b 求函数 y f x 在区间 1 上是增函数的概率 2 设点 a b 是区域内的随机点 记 A y f x 有两个零点 其中一 个大于 1 另一个小于 1 求事件 A 发生的概率 考点 几何概型 古典概型及其概率计算公式 专题 计算题 分析 1 确定基本事件总数 求出函数 y f x 在区间 1 上是增函数对应的事 件数 利用古典概型概率的计算公式 即可得到结论 2 以面积为测度 计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件 A 构成的区域 的面积 利用公式可得结论 解答 解 1 函数 f x ax2 4bx 1 的图象的对称轴为 要使 f x ax2 4bx 1 在区间 1 上为增函数 当且仅当 a 0 且 2 分 若 a 1 则 b 1 若 a 2 则 b 1 1 若 a 3 则 b 1 1 4 分 记 B 函数 y f x 在区间 1 上是增函数 则事件 B 包含基本事件的个数 是 1 2 2 5 6 分 2 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 14 其面积 8 分 事件 A 构成的区域 由 得交点坐标为 10 分 事件 A 发生的概率为 12 分 点评 本题考查概率的计算 明确概率的类型 正确运用公式是关键 19 13 分 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师 单个蜂巢可以近似地看作是一个正 六边形 如图为一组蜂巢的截面图 其中第一个图有 1 个蜂巢 第二个图有 7 个蜂巢 第 三个图有 19 个蜂巢 按此规律 以 f n 表示第 n 幅图的蜂巢总数 1 试给出 f 4 f 5 的值 并求 f n 的表达式 不要求证明 2 证明 考 点 数列的求和 专 题 综合题 分 析 1 根据图象的规律可得 f 4 和 f 5 的值 根据相邻两项的差的规律可分析得出 f n f n 1 6 n 1 进而根据合并求和的方法求得 f n 的表达式 2 根据 1 中求得的 f n 可得的表达式 进而利用裂项的方法证明原 式 解 答 解 1 f 4 37 f 5 61 由于 f 2 f 1 7 1 6 f 3 f 2 19 7 2 6 f 4 f 3 37 19 3 6 15 f 5 f 4 61 37 4 6 因此 当 n 2 时 有 f n f n 1 6 n 1 所以 f n f n f n 1 f n 1 f n 2 f 2 f 1 f 1 6 n 1 n 2 2 1 1 3n2 3n 1 又 f 1 1 3 12 3 1 1 所以 f n 3n2 3n 1 2 当 k 2 时 所以 点 评 本题主要考查了数列的求和问题 数列的求和是数列的重要内容之一 出等差数列和等 比数列外 大部分的数列求和都需要一定的技巧 如裂项法 倒序相加 错位相减 分 组求和等 20 13 分 已知 a R 函数 f x x2 ax 2 lnx 1 若函数 f x 在 1 上为增函数 求实数 a 的取值范围 2 若上任意两个自变量 x1 x2 都有 f x1 f x2 c 求实数 c 的取值范围 参考数据 ln3 1 0986 考点 利用导数研究函数的单调性 导数在最大值 最小值问题中的应用 专题 导数的综合应用 分析 1 先求导数 f x 2x a 由函数 f x 在 1 上为增函数 可得 f x 0 在 1 上恒成立 进而构造关于 a 的不等式 进而可求出实数 a 的取值范围 2 把 a 1 代入 结合 1 可判断出函数 f x 在区间 1 上的值域 进而可 得实数 c 的取值范围 解答 解 1 函数 f x 在 1 上为增函数 f x 2x a 0 在 1 上恒成立 即 a 2x 在 1 上恒成立 令 g x 2x 则函数 g x 在 1 上为减函数 当 x 1