山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第七编 不等式 7.4 基本不等式（教案）理

用心 爱心 专心208 高三数学 理 一轮复习高三数学 理 一轮复习 教案教案 第七编第七编 不等式不等式 总第总第 3434 期期 7 47 4 基本不等式基本不等式 a ab b 2 b ba a 基础自测基础自测 1 已知 a 0 b 0 1 则 a 2b 的最小值为 a 1 b 3 答案答案 7 26 2 2009 2009 常州武进区四校高三期中联考 常州武进区四校高三期中联考 若 x y R R 且 x 4y 1 则 x y 的最大值是 答案答案 16 1 3 已知 x 0 y 0 x a b y 成等差数列 x c d y 成等比数列 则的最小值是 cd ba 2 答案答案 4 4 x 3y 2 0 则 3x 27y 1 的最小值为 答案答案 7 5 2008 2008 江苏 江苏 1111 x y z R R x 2y 3z 0 的最小值是 xz y2 答案答案 3 例题精讲例题精讲 例例 1 1 已知 x 0 y 0 z 0 求证 z y z x 8 x z x y y z y x 证明证明 x 0 y 0 z 0 x y 0 0 0 x z x yz2 y x y z y xz2 z x z y z xy2 8 当且仅当 x y z 时等号成立 x z x y y z y x z y z x xyz xyxzyz 8 例例 2 2 1 已知 x 0 y 0 且 1 求 x y 的最小值 x 1 y 9 2 已知 x 求函数 y 4x 2 的最大值 4 5 54 1 x 3 若 x y 0 且 2x 8y xy 0 求 x y 的最小值 解解 1 x 0 y 0 1 x y x y 10 6 10 16 x 1 y 9 yx 91 x y y x9 当且仅当 时 上式等号成立 又 1 x 4 y 12 时 x y min 16 x y y x9 x 1 y 9 2 x 5 4x 0 y 4x 2 3 2 3 1 4 5 54 1 x x x 45 1 45 用心 爱心 专心209 当且仅当 5 4x 即 x 1 时 上式等号成立 故当 x 1 时 ymax 1 x45 1 3 由 2x 8y xy 0 得 2x 8y xy 1 x y x y 10 y 2 x 8 yx 28 x y8 y x2 10 2 10 2 2 18 当且仅当 即 x 2y 时取等号 y x x y4 y x x y 4 x y4 y x 又 2x 8y xy 0 x 12 y 6 当 x 12 y 6 时 x y 取最小值 18 例例 3 3 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级 污水处理池 池的深度一定 平面图如图所示 如果池四周围墙建 造单价为 400 元 米 中间两道隔墙建造单价为 248 元 米 池底建造 单价为 80 元 米 2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过 16 米 试设计污水池的长和宽 使总 造价最低 并求出最低总造价 解解 1 设污水处理池的宽为 x 米 则长为米 则总造价 f x x 162 400 248 2x 80 162 x x 1622 2 1 296x 12 960 1 296 12 960 1 296 2 12 960 38 x 1002961 x x 100 x x 100 880 元 当且仅当 x x 0 即 x 10 时取等号 x 100 当长为 16 2 米 宽为 10 米时总造价最低 最低总造价为 38 880 元 2 由限制条件知 10 x 16 设 g x x 16 162 0 160 x x 8 1 x 100 16 8 1 10 x g x 在上是增函数 当 x 10时 此时 16 g x 有最小值 16 8 1 10 8 1 x 162 即 f x 有最小值 1 296 12 960 38 882 元 81 800 8 1 10 当长为 16 米 宽为 10米时 总造价最低 为 38 882 元 8 1 巩固练习巩固练习 1 已知 a b c 均为正数 且 a b c 1 求证 9 a 1 b 1 c 1 用心 爱心 专心210 证明证明 3 a 1 b 1 c 1 a cba b cba c cba b a a b c a a c c b b c 3 2 2 2 9 当且仅当 a b c 时取等号 3 1 2 若 4 x 1 求的最大值 22 22 2 x xx 解解 22 22 2 x xx 2 1 1 11 2 x x 2 1 1 1 1 x x 2 1 1 1 1 x x 4 x 1 x 1 0 0 从而 2 1 1 x 1 1 1 x x 1 当且仅当 x 1 即 x 2 舍 或 x 0 时取等号 2 1 1 1 1 x x 1 1 x 即 1 max 2 22 22 x xx 3 甲 乙两地相距 s 千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不超过 c 千米 小时 已知 汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度 v 千米 小时 的平方成正比 比例系数为 b 固定部分为 a 元 1 把全程运输成本 y 元 表示为速度 v 千米 小时 的函数 并指出这个函数的定 义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 解解 1 建模 依题意知 汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本 v s 为 y a bv2 sb v 0 c v s bv a v 2 依题意 有 s b a v 都是正数 因此 y sb 2s bv a vab 若 c 则当且仅当 v v 时 y 取到最小值 b a bv a b a 若 c 则 y 在 0 c 上单调递减 所以当 v c 时 y 取到最小值 b a 综上所述 为了使全程运输成本最小 当 c 时 行驶速度应该为 v b a b a 当 c 时 行驶速度应该为 v c b a 回顾总结回顾总结 知识知识 方法方法 思想思想 用心 爱心 专心211 课后作业课后作业 一 填空题一 填空题 1 若不等式 x2 ax 4 0 对一切 x 0 1 恒成立 则 a 的取值范围是 答案答案 a 5 2 若a b c 0 且a a b c bc 4 23 则 2a b c的最小值为 答案答案 23 2 3 已知 0 x 1 则 x 3 3x 取得最大值时 x 的值为 答案答案 2 1 4 2008 2008 栟茶中学模拟 栟茶中学模拟 若直线 2ax by 2 0 a b R R 平分圆 x2 y2 2x 4y 6 0 则 的最小值是 a 2 b 1 答案答案 3 22 5 函数 y log2x logx 2x 的值域是 答案答案 1 3 6 某公司一年购买某种货物 400 吨 每次都购买 x 吨 运费为 4 万元 次 一年的总存储 费用为 4x 万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则 x 吨 答案答案 20 7 2008 2008 徐州调研 徐州调研 若实数 a b 满足 ab 4a b 1 0 a 1 则 a 1 b 2 的最小值为 答案答案 27 8 若 a b 是正常数 a b x y 0 则 当且仅当 时上式取 x a2 y b2 yx ba 2 x a y b 等号 利用以上结论 可以得到函数 f x 的最小值为 x 2 x21 9 2 1 0 x 取最小值时 x 的值为 答案答案 25 5 1 二 解答题二 解答题 9 1 已知 0 x 求 x 4 3x 的最大值 3 4 2 点 x y 在直线 x 2y 3 上移动 求 2x 4y的最小值 解解 1 已知 0 x 0 3x 4 x 4 3x 3x 4 3x 3 4 3 1 3 1 2 2 343 xx 3 4 当且仅当 3x 4 3x 即 x 时 成立 当 x 时 x 4 3x 的最大值为 3 2 3 2 3 4 2 已知点 x y 在直线 x 2y 3 上移动 所以 x 2y 3 2x 4y 2 2 2 yx4 2 yx 2 2 用心 爱心 专心212 4 3 22 当且仅当 即 x y 时 成立 当 x y 时 2x 4y的最小值为 4 32 42 yx yx 2 3 4 3 2 3 4 3 2 10 已知 a b 0 且 a b 1 求证 1 a2 b2 2 1 2 8 3 4 2 1 a 2 1 b 2 1 a a 2 1 b b 2 25 a a 1 b b 1 4 25 证明证明 由 a b 0 得 ab 4 ba ab ba 1 2ab 2 1 4 1 ab 1 当且仅当 a b 时取等号 2 1 1 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 1 2 a2 b2 4 1 2 1 2 1 2 8 8 2 1 a 2 1 b ab 2 2 1 a 2 1 b 3 由 1 2 的结论 知 a2 b2 4 4 8 2 1 a a 2 1 b b 2 1 a 2 1 b 2 1 2 25 2 1 a a 2 1 b b 2 25 4 ab 2 2 2 a a 1 b b 1 a b b a ab 1 a b b a 2 1 ab ab 2 2 1 2 4 25 11 设 a 0 b 0 a b 1 1 证明 ab 4 ab 1 4 1 2 探索猜想 并将结果填在以下括号内 a2b2 a3b3 22 1 ba 33 1 ba 3 由 1 2 归纳出更一般的结论 并加以证明 1 证明证明 方法一方法一 ab 44a2b2 17ab 4 0 4ab 1 ab 4 0 ab 1 4 1 ab 2 4ab 1 而又知 ab 4 因此 4ab 1 ab 4 0 成ab 2 2 ba 4 1 4 1 立 故 ab 4 ab 1 4 1 用心 爱心 专心213 方法二方法二 ab ab ab 4 ab 1 ab 2 4 1 ab 2 4 15 2 2 ba 4 1 ab 1 ab 2 4 15 4 15 当且仅当 a b 时取等号 又 ab 2 2 1 ab 2 4 1 ab ab 2 4 1 2 1 当且仅当 ab 即 4 a b 时取等号 故 ab 4 ab 2 4 1 ab 1 2 1 ab 1 4 2 4 15 4 1 当且仅当 a b 时 等号成立 2 1 2 解解 猜想 当 a b 时 2 1 不等式 a2b2 与 a3b3 取等号 故在括号内分别填 16与 64 22 1 ba 33 1 ba 16 1 64 1 3 解解 由此得到更一般性的结论 anbn 4n nnb a 1 n 4 1 证明如下 ab 4 anbn anbn 2 2 ba 4 1 ab 1 nnb a 1 nnn ba 2 4 1 nnn n ba 2 2 4 14 2 4 4n 当且仅当 ab 即 a b 时取 nnn nn ba ba 2 4 1 n n 2 2 4 14 n 4 2 n n 4 142 n 4 1 4 1 2 1 等号 12 某工厂统计资料显示 产品次品率 p 与日产量 x 单位 件 x N N 1 x 96 的关系 如下 又知每生产一件正品盈利 a a 为正常数 元 每生产一件次品就损失元 3 a 注 次品率 p 100 正品率 1 p 个个个个 个个个个 1 将该厂日盈利额 T 元 表示为日产量 x 的函数 2 为了获得最大盈利 该厂的日产量应定为多少件