黑龙江省大庆外国语学校高中数学 第一章《立体几何》2009年高考题汇编 新人教A版必修2

1 黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第一章黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第一章 立体几何立体几何 2009 2009 年年 高考题汇编高考题汇编 一 选择 1 2009 年广东卷文 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 w w w zxxk c o m 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 2 2009 广东卷 理 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 3 2009 浙江卷理 在三棱柱 111 ABCABC 中 各棱长相等 侧掕垂直于底面 点D是侧 面 11 BBC C的中心 则AD与平面 11 BBC C所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 4 2009 浙江卷文 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 A 若 l 则l B 若 l 则l C 若 l 则l D 若 l 则l 5 2009 北京卷文 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面边长为 1 1 AB与底面 ABCD 成 60 角 则 11 AC到底面 ABCD 的距离为 A 3 3 B 1C 2D 3 6 2009 北京卷理 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面边长为 1 1 AB与底面 2 ABCD成 60 角 则 11 AC到底面ABCD的距离为 A 3 3 B 1 C 2 D 3 7 2009 山东卷理 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 8 2009 山东卷理 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的 一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 9 2009 山东卷文 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 10 2009 全国卷 文 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 AA 2AB E为 1 AA重点 则异面直线BE与 1 CD所形成角的余弦值为 A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 俯视图 3 11 2009 全国卷 文 设 OA 是球 O 的半径 M 是 OA 的中点 过 M 且与 OA 成 45 角的平面 截球 O 的表面得到圆 C 若圆 C 的面积等于 4 7 则球 O 的表面积等于 12 2009 全国卷 理 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面 ABC上的射影为BC的中点 则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 D A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 B C B C A1 1 1 A D 13 2009 全国卷 理 已知二面角 l 为60o 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为3 Q 到 的距离为2 3 则 P Q 两点之间距离的最小值为 C A B 2 C 2 3 D 4 14 2009 江西卷文 如图 在四面体ABCD中 截面PQMN是正方形 则在下列命题中 错误的为 A ACBD B AC 截面PQMN C ACBD D 异面直线PM与BD所成的角为45 15 2009 江西卷理 如图 正四面体ABCD的顶点A B C分 别在两两垂直的三条射线Ox Oy Oz上 则在下列命题中 错误的为 A OABC 是正三棱锥 B 直线OB 平面ACD C 直线AD与OB所成的角是45 P Q M N A B C D 4 D 二面角DOBA 为45 y x z O A B C D 16 2009 四川卷文 如图 已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形 ABPAABCPA2 平面则下列结论正确的是 A ADPB B PAB平面PBC平面 C 直线BC PAE平面 D 直线ABCPD与平面所成的角为 45 17 2009 四川卷文 如图 在半径为 3 的球面上有CBA 三点 ABC 90 BCBA 球心O到平面ABC的距离是 2 23 则CB 两点的球面距离是 A 3 B C 3 4 D 2 18 2009 全国卷 理 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2AAAB E为 1 AA中点 则异面直线BE与 1 CD所成的角的余弦值为 A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 19 2009 辽宁卷理 正六棱锥 P ABCDEF 中 G 为 PB 的中点 则三棱锥 D GAC 与三棱锥 P GAC 体积之比为 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 20 2009 宁夏海南卷理 如图 正方体 1111 ABCDABC D 棱线长为 1 线段 11 B D上有两 5 个动点 E F 且 2 2 EF 则下列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 D 异面直线 AE BF所成的角为定值 21 2009 宁夏海南卷理 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 c 2 m 为 A 48 122 B 48 242 C 36 122 D 36 242 解析 选 A 22 2009 湖北卷文 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 900 ACC1 600 BCC1 450 侧棱 CC1的长为 1 则该三棱柱 的高等于 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 3 3 答案 A 23 2009 湖南卷文 平面六面体 1111 ABCDABC D 中 既与AB共面也与 1 CC共面的棱的 条数为 C A 3 B 4 C 5 D 6 C1D1 B1 A1 D C B A 24 2009 辽宁卷文 如果把地球看成一个球体 则地球上的北纬 0 60纬线长和赤道长的比 值为 6 A 0 8 B 0 75 C 0 5 D 0 25 25 2009 全国卷 文 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面 ABC上的射影为BC的中点 则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 26 2009 四川卷文 如图 已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形 ABPAABCPA2 平面则下列结论正确的是 A ADPB B PAB平面PBC平面 C 直线BC PAE平面 D 直线ABCPD与平面所成的角为 45 27 2009 四川卷文 如图 在半径为 3 的球面上有CBA 三点 ABC 90 BCBA 球心O到平面ABC的距离是 2 23 则CB 两点的球面距离是 A 3 B C 3 4 D 2 28 2009 陕西卷文 若正方体的棱长为2 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面 体的体积为 A 2 6 B 2 3 C 3 3 D 2 3 29 2009 宁夏海南卷文 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱线长为 1 线段 11 B D上有 两个动点 E F 且 1 2 EF 则下列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 7 D AEFBEF 的面积与的面积相等 30 2009 宁夏海南卷文 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 2 cm 为 A 48 12 2 B 4824 2 C 36 12 2 D 3624 2 31 2009 湖南卷理 正方体 ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D的棱上到异面 直线 AB C 1 C的距离相等的点的个数为 C A 2 B 3 C 4 D 5 32 2009 四川卷理 如图 已知六棱锥PABCDEF 的底面是正六 边形 2PAABC PAAB 平面 则下列结论正确的是 PBAD 平面PABPBC 平面 C 直线BC 平面PAE PDABC 直线与平面所成的角为45 考点定位 本小题考查空间里的线线 线面关系 基础题 同文 6 33 2009 四川卷理 如图 在半径为 3 的球面上有 A B C三点 90 ABCBABC 球心O到平面ABC的距离是 3 2 2 则 BC 两点的球面距离是 A 3 B C 4 3 D 2 考点定位 本小题考查球的截面圆性质 球面距 基础题 同文 9 34 2009 重庆卷理 已知二面角l 的大小为 0 50 P为空间中任意一点 则过点 P且与平面 和平面 所成的角都是 0 25的直线的条数为 8 A 2B 3C 4D 5 35 2009 重庆卷文 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 顶点 1 B到对角线 1 BD和到平面 11 ABCD的距离分别为h和d 则下列命题中正确的是 A 若侧棱的长小于底面的变长 则 h d 的取值范围为 0 1 B 若侧棱的长小于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 2 3 23 C 若侧棱的长大于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 3 2 3 D 若侧棱的长大于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 3 3 二 填空题 1 2009 浙江卷理 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 3 cm 2 2009 浙江卷理 如图 在长方形ABCD中 2AB 1BC E为DC的中点 F为线段 EC 端点除外 上一动点 现将AFD 沿AF折起 使 平面ABD 平面ABC 在平面ABD内过点D 作DKAB K为垂足 设AKt 则t的取值 范围是 答案 1 1 2 3 2009 浙江卷文 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 3 cm 9 4 2009 江苏卷 在平面上 若两个正三角形的边长的比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空间内 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它们的体积比为 5 2009 江苏卷 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 2 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 3 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 4 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号 写出所有真命题的序号 6 2009 全国卷 理 直三棱柱 111 ABCABC 的各顶点都在同一球面上 若 1 2ABACAA 120BAC 则此球的表面积等于 7 2009 安徽卷理 对于四面体 ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面 1 由顶点 A 作四面体的高 其垂足是 BCD 的三条高线的交点 2 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高 则这两条高所在直线异面 3 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 4 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 5 解析 8 2009 安徽卷文 在空间直角坐标系中 已知点 A 1 0 2 B 1 3 1 点 M 在 y 轴上 且 M 到 A 与到 B 的距离相等 则 M 的坐标是 9 2009 安徽卷文 对于四面体 ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的 编号 11 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线 22 由顶点 A 作四面体的高 其垂足是BCD 的三条高线的交点 33 若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高 则这两条高的垂足重合 44 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积 55 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 w w w zxxk c o m 解析 由空间四面体棱 面关系可判断 正确 可举例说明 错误 答案 10 10 2009 江西卷理 正三棱柱 111 ABCABC 内接于半径为2的球 若 A B两点的球面距 离为 则正三棱柱的体积为 答案 8 11 2009 四川卷文 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 M是侧棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角的大小是 12 2009 全国卷 理 设OA是球O的半径 M是OA的中点 过 M且与OA成 45 角的平面截球O的表面得到圆C 若圆C的面积 等于 7 4 则球O的表面积等于 8 13 2009 辽宁卷理 设某几何体的三视图如下 尺寸的长度单位为 m 则该几何体的体积为 3 m 解析 这是一个三棱锥 高为 2 底面三角形一边为 4 这 边上的高为 3 体积等于 1 6 2 4 3 4 答案 4 14 2009 全国卷 文 已知OA为球O的半径 过 OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆 M 若圆M的面积为3 则球O的表面积等于 15 2009 四川卷文 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 M是侧棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角的大小是 16 2009 陕西卷文 如图球 O 的半径为 2 圆 1 O是一小圆 1 2OO A B 是圆 1 O上两点 若 1 AO B 2 则 A B 两点间 的球面距离为 答案 2 3 17 2009 湖南卷理 在半径为 13 的球面上有 A B C 三点 AB 6 BC 8 CA 10 则 1 球心到平面 ABC 的距离为 12 2 过 B 两点的大圆面为平面 ABC 所成二面角为 锐角 的正切值为 3 AB O1 O 11 答案 1 12 2 3 18 2009 天津卷理 如图是一个几何体的三视图 若它的体积是3 3 则 a 考点定位 本小题考查三视图 三棱柱的体积 基础题 19 2009 四川卷理 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各 条棱长都相等 M是侧棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角的大小是 考点定位 本小题考查异面直线的夹角 基础题 20 2009 福建卷文 如右图 某几何体的正视图与侧视图都是 边长为 1 的正方形 且体积为 1 2 则该集合体的俯视图可以是 20 2009 年上海卷理 如图 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面连长为 2 高 为 4 则异面直线 1 BD与 AD 所成角的大小是 结果用反三角函数表示 答案 arctan5 21 2009 年上海卷理 已知三个球的半径 1 R 2 R 3 R满足 321 32RRR 则它们的表 面积 1 S 2 S 3 S 满足的等量关系是 12 答案 123 23SSS 二 填空题 1 2009 年广东卷文 本小题满分 13 分 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示 墩的上半部分是正四棱锥 P EFGH 下半部分是长方体 ABCD EFGH 图 5 图 6 分别是该标识墩的正 主 视图和俯视图 1 请画出该安全标识墩的侧 左 视图 2 求该安全标识墩的体积 3 证明 直线 BD 平面 PEG 解析 1 侧视图同正视图 如下图所示 该安全标识墩的体积为 P EFGHABCD EFGH VVV 22 1 40604020320003200064000 3 2 cm 如图 连结 EG HF 及 BD EG 与 HF 相交于 O 连结 PO 由正四棱锥的性质可知 PO 平面 EFGH POHF 又EGHF HF 平面 PEG 又BDHFP BD 平面 PEG 13 2 2009 广东卷 理 本小题满分 14 分 如图 6 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 2 点E是 正方形 11 BCC B的中心 点F G分别是棱 111 C D AA的中 点 设点 11 E G分别是点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面 11 DCC D内的 正投影为底面边界的棱锥的体积 2 证明 直线 1 FG平面 1 FEE 3 求异面直线 11 E GEA与所成角的正弦值 解 1 依题作点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 E 1 G 则 1 E 1 G分别为 1 CC 1 DD的中点 连结 1 EE 1 EG ED 1 DE 则所求为四棱锥 11FG DEE 的体积 其底 面 11FG DE面积为 111111 EDGRtFGERtFGDE SSS 221 2 1 22 2 1 又 1 EE面 11FG DE 1 1 EE 3 2 3 1 1 1111 EESV FGDEFGDEE 2 以D为坐标原点 DA DC 1 DD所在直线分别作x轴 y轴 z轴 得 1 2 0 1 E 1 0 0 1 G 又 1 0 2 G 2 1 0 F 1 2 1 E 则 1 1 0 1 FG 1 1 1 FE 1 1 0 1 FE 01 1 0 1 FEFG 01 1 0 11 FEFG 即FEFG 1 z y x E1G1 14 11 FEFG 又FFEFE 1 1 FG平面 1 FEE 3 0 2 0 11 GE 1 2 1 EA 则 6 2 cos 11 11 11 EAGE EAGE EAGE 设异面 直线 11 E GEA与所成角为 则 3 3 3 2 1sin 3 2009 浙江卷理 本题满分 15 分 如图 平面PAC 平面ABC ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形 E F O分别为PA PB AC的中点 16AC 10PAPC I 设G是OC的中点 证明 FG平面BOE II 证明 在ABO 内存在一点M 使FM 平面 BOE 并求点M到OA OB的距离 证明 I 如图 连结 OP 以 O 为坐标原点 分别以 OB OC OP 所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 Oxyz 则 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 8 0 OABC 0 0 6 0 4 3 PE 4 0 3F 由题意得 0 4 0 G因 8 0 0 0 4 3 OBOE 因此平面 BOE 的法向 量为 0 3 4 n 4 4 3FG 得0n FG 又直线FG不在 平面BOE内 因此有 FG平面BOE II 设点 M 的坐标为 00 0 xy 则 00 4 3 FMxy 因为 FM 平面 BOE 所以有 FMn 因此有 00 9 4 4 xy 即点 M 的坐标为 9 4 0 4 在平面直角坐标系xoy中 AOB 的内部区域满足不等式组 0 0 8 x y xy 经检验 点 M 的坐标满足上述不等式组 所以在ABO 内存在一点M 使 FM 平面BOE 由点 M 的坐标得点M到OA OB的距离为 9 4 4 4 2009 浙江卷文 本题满分 14 分 如图 DC 平面ABC EBDC 22ACBCEBDC 120ACB P Q分别为 AE AB的中点 I 证明 x y z 15 PQ平面ACD II 求AD与平面ABE所成角的正弦值 证明 连接CQDP 在ABE 中 QP 分别是ABAE 的中点 所以 BEPQ 2 1 又BEDC 2 1 所以DCPQ 又 PQ平面 ACD DC 平面 ACD 所 以 PQ平面 ACD 在ABC 中 BQAQBCAC 2 所以ABCQ 而 DC 平面 ABC DCEB 所以 EB平面 ABC 而 EB平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ABC 所以 CQ平面 ABE 由 知四边形 DCQP 是平行四边形 所以CQDP 所以 DP平面 ABE 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt 中 512 2222 DCACAD 1sin2 CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin AD DP DAP 5 2009 北京卷文 本小题共 14 分 如图 四棱锥PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 点 E 在棱 PB 上 求证 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 解法 1 本题主要考查直线和平面垂直 平面与平面垂直 直线 与平面所成的角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理 论证能力 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PDABCD 底面 PD AC AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 O E 分别为 DB PB 的中点 16 OE PD 1 2 OEPD 又 PDABCD 底面 OE 底面 ABCD OE AO 在 Rt AOE 中 12 22 OEPDABAO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 解法 2 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 设 ABa PDh 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDPh 0 0 0 0ACa aDPhDBa a 0 0AC DPAC DB AC DP AC DB AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 112 0 0 2 222 PaEaaa 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 1122 0 0 2222 EAaaaEOa 2 cos 2 EA EO AEO EAEO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 6 2009 北京卷理 本小题共 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 PA 底面 60 90ABC PAABABCBCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC 求证 BC 平面PAC 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大小 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说明理由 解法 1 本题主要考查直线和平面垂直 直线与平面所成的角 二面角等基础知识 考查 17 空间想象能力 运算能力和推理论证能力 PA 底面 ABC PA BC 又90BCA AC BC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC 1 2 DEBC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA 底面 ABC PA AB 又 PA AB ABP 为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC 中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE 中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD AD与平面PAC所成的角的大小 2 arcsin 4 AE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE 平面 PAC PE 平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角ADEP 的平面角 PA 底面 ABC PA AC 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时90AEP 故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角 解法 2 如图 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系Axyz 设PAa 由已知可得 133 0 0 0 0 0 0 0 0 222 ABaaCaPa 1 0 0 0 0 2 APaBCa 0BC AP BC AP 又 90BCA BC AC BC 平面 PAC 18 D 为 PB 的中点 DE BC E 为 PC 的中点 13131 0 44242 DaaaEaa 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 13131 0 44242 ADaaaAEaa 14 cos 4 AD AE DAE ADAE AD与平面PAC所成的角的大小 14 arccos 4 同解法 1 7 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F 分别是棱 AD AA1 AB 的中点 1 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 求二面角 B FC1 C 的余弦值 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中点 F1 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E1分别是棱 AD AA1的中点 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因为 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的中 点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 CC1 平面 ABCD 所以 CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC1 C 的一 个平面角 在 BCF 为正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 19 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP 在 Rt OPF 中 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所以 二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因为 ABCD 为 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC 设平面 CC1F 的法向量为 nx y z 则 1 0 0 n CF n CC 所以 30 0 xy z 取 1 3 0 n 则 1 31 131 00 22 n EE 所以 1 nEE 所以直 线 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB 设平面 BFC1的法向量为 1111 nx y z 则 1 11 0 0 n FB n FC 所以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n 则 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 由图可知二面角 B FC1 C 为锐角 所以二面角 B FC 1 C 的余弦值为 7 7 命题立意 本题主要考查直棱柱的概念 线面位置关系的判定和二面角的计算 考查空间 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 20 想象能力和推理运算能力 以及应用向量知识解答问题的能力 8 2009 全国卷 文 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC D E 分别为 AA1 B1C 的中点 DE 平面 BCC1 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 60 求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 解析 本题考查线面垂直证明线面夹角的求法 第一问可取 BC 中点 F 通过证明 AF 平面 BCC1 再证 AF 为 BC 的垂直平分线 第二问先作出线面夹角 即证四边形 AFED 是正方形可证 平面 DEF 平面 BDC 从而找到线面夹角求解 此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法 求解 解法一 取 BC 中点 F 连接 EF 则 EF 1 2 1 B B 从而 EFDA 连接 AF 则 ADEF 为平行四边形 从而 AF DE 又 DE 平面 1 BCC 故 AF 平面 1 BCC 从 而 AF BC 即 AF 为 BC 的垂直平分线 所以 AB AC 作 AG BD 垂足为 G 连接 CG 由三垂线定理知 CG BD 故 AGC 为二面角 A BD C 的平面角 由题设知 AGC 600 设 AC 2 则 AG 2 3 又 AB 2 BC 2 2 故 AF 2 由AB ADAG BD 得 2AD 22 2 2 3 AD 解得 AD 2 故 AD AF 又 AD AF 所以四边形 ADEF 为正方形 因为 BC AF BC AD AF AD A 故 BC 平面 DEF 因此平面 BCD 平面 DEF 连接 AE DF 设 AE DF H 则 EH DF EH 平面 BCD A C B A1 B1 C1 D E 21 连接 CH 则 ECH 为 1 BC与平面 BCD 所成的角 因 ADEF 为正方形 AD 2 故 EH 1 又 EC 1 1 2 BC 2 所以 ECH 300 即 1 BC与平面 BCD 所成的角为 300 解法二 以 A 为坐标原点 射线 AB 为 x 轴的正半轴 建立如图所示 的直角坐标系 A xyz 设 B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 则 1 B 1 0 2c E 1 2 2 b c 于是DE 1 2 2 b 0 BC 1 b 0 由 DE 平面 1 BCC知 DE BC DE BC 0 求得 b 1 所以 AB AC 设平面 BCD 的法向量 ANx y z 则0 0 AN BCAN BD 又BC 1 1 0 BD 1 0 c 故 0 0 xy xcz 令 x 1 则 y 1 z 1 c AN 1 1 1 c 又平面ABD的法向量AC 0 1 0 由二面角CBDA 为 60 知 ACAN 60 故 60cos ACANACAN 求得 2 1 c 于是 211 AN 211 1 CB 2 1 cos 1 1 1 CBAN CBAN CBAN 60 1 CBAN 所以CB1与平面BCD所成的角为 30 22 9 2009 江苏卷 本小题满分 14 分 如图 在直三 棱柱 111 ABCABC 中 E F 分别是 1 AB 1 AC的中 点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF 平面 ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBC C 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面得位置关系 考查空间想象能力 推理论 证能力 满分 14 分 10 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SD 底面ABCD 2AD 2DCSD 点 M 在侧棱SC上 ABM 60 I 证明 M 在侧棱SC的中点 II 求二面角SAMB 的大小 I 解法一 作MN SD交CD于 N 作NEAB 交AB于 E 连 ME NB 则MN 面ABCD MEAB 2NEAD 设MNx 则NCEBx 在RT MEB 中 60MBE 3MEx 在RT MNE 中由 222 MENEMN 22 32xx 解得1x 从而 1 2 MNSD M 为侧棱SC的中点 M 解法二 过M作CD的平行线 解法三 利用向量处理 详细可见 09 年高考参考答案 II 分析一 利用三垂线定理求解 在新教材中弱化了 三垂线定理 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定 理的方法求作二面角 23 过M作MJ CD交SD于J 作SHAJ 交AJ于H 作HKAM 交AM于K 则 JM CD JM 面SAD 面SAD 面MBA SH 面AMB SKH 即为所求二面角 的补角 分析二 利用二面角的定义 在等边三角形ABM中过点B作BFAM 交AM于点 F 则点F为 AM 的中点 取 SA 的中点 G 连 GF 易证GFAM 则GFB 即为所求二 面角 分析三 利用空间向量求 在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可 另外 利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等 这些方法也能奏效 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况 命题人在这里一定会照顾双方的利益 11 2009 安徽卷理 本小题满分 13 分 如图 四棱锥 F ABCD 的底面 ABCD 是菱形 其对角线 AC 2 BD 2 AE CF 都与平面 ABCD 垂直 AE 1 CF 2 I 求二面角 B AF D 的大小 II 求四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 公共部分的体积 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 相交平面所成二面角以 及空间几何体的体积计算等知识 考查空间想象能力和推理论证能力 利用综合法或向量法 解决立体几何问题的能力 本小题满分 13 分 解 I 综合法 连接 AC BD 交于菱形的中心 O 过 O 作 OG AF G 为垂足 连接 BG DG 由 BD AC BD CF 得 BD 平面 ACF 故 BD AF 于是 AF 平面 BGD 所以 BG AF DG AF BGD 为二面角 B AF D 的平面角 由FCAC 2FCAC 得 4 FAC 2 2 OG 由 2 2 OBOG OBOD 得2 2 BGDBGO 24 向量法 以 A 为坐标原点 BD AC AE 方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空 间直角坐标系 如图 设平面 ABF 的法向量 1 nx y z 则由 1 1 0 0 nAB nAF 得 2 0 2 220 xy yz 令1z 得 2 1 x y 1 2 1 1 n 同理 可求得平面 ADF 的法向量 2 2 1 1 n 由 12 0n n 知 平面 ABF 与平面 ADF 垂直 二面角 B AF D 的大小等于 2 II 连 EB EC ED 设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H 则四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 的公共部分为四棱锥 H ABCD 过 H 作 HP 平面 ABCD P 为垂足 因为 EA 平面 ABCD FC 平面 ABCD 所以平面 ACFE 平面 ABCD 从而 PAC HPAC 由1 HPHPAPPC CFAEACAC 得 2 3 HP 又因为 1 2 2 ABCD SAC BD 菱形 故四棱锥 H ABCD 的体积 12 2 39 ABCD VSHP 菱形 13 2009 安徽卷文 本小题满分 13 分 如图 ABCD 的边长为 2 的正方形 直线 l 与平面 ABCD 平行 g 和 F 式 l 上的两个不同点 且 EA ED FB FC 和是平面 ABCD 内的两点 和都与平面 ABCD 垂直 25 证明 直线垂直且平分线段 AD w w w zxxk c o m 若 EAD EAB 60 EF 2 求多面 体 ABCDEF 的体积 思路 根据空间线面关系可证线线垂直 由分割法可求得多面体体积 体现的是一种部分 与整体的基本思想 解析 1 由于 EA ED 且 EDABCDE DE C 面 点 E 在线段 AD 的垂直平分线上 同理点 F 在线段 BC 的垂直平分线上 又 ABCD 是四方形 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 E F 都居线段 AD 的垂直平分线上 所以 直线 E F 垂直平分线段 AD 2 连接 EB EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E ABCD 和正四面体 E BCF 两部分 设 AD 中点为 M 在 Rt MEE 中 由于 ME 1 3 2MEEE E V ABCD 2 114 2 22 333 SABCD EE 四方形 又 E V BCF VC BEF VC BEA VE ABC 2 1112 2 22 3323 ABC SEE A 多面体 ABCDEF 的体积为 VE ABCD VE BCF 2 2 14 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以BD的中点O为球心 BD为直径的球面交PD于 点M 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线PC与平面ABM所成的角 3 求点O到平面ABM的距离 解 方法 一 1 证 依题设 在以 为直径的球面上 则 因为 平面 则 又 所以 平面 则 因此有 平面 所以平面 平面 设平面 与 交于点 因为 所以 平面 则 由 1 知 平面 则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影 所以 PNM 就是PC与平面ABM所成的角 且PNMPCD O A P B C M D O N A P B C M D z x y 26 tantan2 2 PD PNMPCD DC 所求角为arctan2 2 3 因为 O 是 BD 的中点 则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半 由 1 知 平面 于 M 则 DM 就是 D 点到平面 ABM 距离 因为在 Rt PAD 中 4PAAD PDAM 所以M为PD中点 2 2DM 则 O 点到平面 ABM 的距离等于2 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 设平面ABM的一个法向量 nx y z 由 nAB nAM 可得 20 220 x yz 令 1z 则1y 即 0 1 1 n 设所求角为 则 2 2 sin 3 PC n PC n 所求角的大小为 2 2 arcsin 3 3 设所求距离为h 由 1 2 0 1 2 0 OAO 得 2 AO n h n 15 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以AC的中点O为球心 AC为直径的球面交PD于 点M 交PC于点N 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线CD与平面ACM所成的角的大小 3 求点N到平面ACM的距离 解 方法一 1 依题设知 AC 是所作球面的直径 则 AM MC 又因为 P A 平面 ABCD 则 PA CD 又 CD AD 所以 CD 平面 则 CD AM 所以 A M 平面 PCD 所以平面 ABM 平面 PCD 2 由 1 知 AMPD 又PAAD 则M是PD的中点可得 N O D M C B P A 27 2 2AM 22 2 3MCMDCD 则 1 2 6 2 ACM SAM MC 设 D 到平面 ACM 的距离为h 由 D ACMMACD VV 即2 68h 可求得 2 6 3 h 设所求角为 则 6 sin 3 h CD 6 arcsin 3 1 可求得 PC 6 因为 AN NC 由 PNPA PAPC 得 PN 8 3 所以 5 9NC PC 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 5 9 又因为 M 是 PD 的中点 则 P D 到平面 ACM 的距离相等 由 2 可知所求距离为 510 6 927 h 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 设平面ACM的一 个法向量 nx y z 由 nAC nAM 可得 240 220 xy yz 令 1z 则 2 1 1 n 设所求角为 则 6 sin 3 CD n CD n 所以所求角的大小为 6 arcsin 3 3 由条件可得 ANNC 在Rt PAC 中 2 PAPN PC 所以 8 3 PN 则 10 3 NCPCPN 5 9 NC PC 所以所求距离等于点P到平面 CA M距离的 5 9 设点P到平面CA M距离为h则 2 6 3 AP n h n 所以所求距离为 510 6 h 927 16 2009 湖北卷理 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 SD 平面 ABCD SD 2a 2ADa 点 E 是 SD 上的点 且 02 DEa y x z D M C B P A A N A O 28 求证 对任意的 0 2 都有ACBE 设二面角 C AE D 的大小为 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 若 tantan1 g 求 的值18 证法 1 如图 1 连接 BE BD 由地面 ABCD 是正方形 可得 AC BD SD 平面 ABCD BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影 AC BE 解法 1 如图 1 由 SD 平面 ABCD 知 DBE SD 平面 ABCD CD 平面 ABCD SD CD 又底面 ABCD 是正方形 CD AD 而 SD AD D CD 平面 SAD 连接 AE CE 过点 D 在平面 SAD 内作 DE AE 于 F 连接 CF 则 CF AE 故 CDF 是二面角 C AE D 的平面角 即 CDF 在 Rt BDE 中 BD 2a DE a tan 2 DE BD 在 Rt ADE 中 2 2 2ADa DEaAEa 从而 2 2 2 AD DEa DF AE 在Rt CDF 中 2 2 tan CD DF 由tantan1 得 2 22 2 1222 2 由 0 2 解得2 即为所求 I 证法 2 以 D 为原点 DA DC DS 的方向分别作为 x y z 轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系 则 29 D 0 0 0 A 2 0 0 B 2a 2a 0 C 0 2a 0 E 0 0a 2 2 0 2 2 ACaaBEaaa 22 2200AC BEaaa 即ACBE II 解法 2 由 I 得 2 0 0 2 2 2 EAaa ECaa BEaaa 设平面 ACE 的法向量为 n x y z 则由nEAEC n得 0 2xz0 z2n 2 0 2yz0 n EA n EC 即取 得 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 0 0 2 DCaDSa 与 0 2 0 22 sin cos 422 DC n DS BE DSBEDCn 0 0 2 2 22 tantansincos2 2 422 由于 0 2 解得2 即为所求 19 2009 四川卷文 本小题满分 12 分 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直 ABE是等腰 直角三角形 45ABAE FAFEAEF I 求证 EFBCE 平面 II 设线段CD AE的中点分别为P M 求证 PM BCE平面 III 求二面角FBDA 的大小 解析 解法一 因为平面 ABEF 平面 ABCD BC 平面 ABCD BC AB 平面 ABEF 平面 ABCD AB 所