万有引力与天体运动--最全讲义

万有引力与天体运动讲义万有引力与天体运动讲义 本章要点综述 本章要点综述 1 开普勒第三定律开普勒第三定律 行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量 3 2 r k T K 值只与中心天体的质量有关 2 万有引力定律 万有引力定律 12 2 m r FG m 万 1 赤道上万有引力 FmgFmgma 引向向 ga向和是两个不同的物理量 2 两极上的万有引力 Fmg 引 3 忽略地球自转 地球上的物体受到的重力等于万有引力 2 2 GMm mgGMgR R 黄金代换黄金代换 4 距离地球表面高为 h 的重力加速度 2 22 GMmGM mgGMgRhg RhRh 5 卫星绕地球做匀速圆周运动 万有引力提供向心力 2 GMm FF r 万向 1 22 GMmGM maa rr 轨道处的向心加速度向心加速度 a 等于轨道处的重力加速度重力加速度g轨 2 得 r 越大 v 2 2 GMmvGM mv rrr 2 2 Mmv Gm rr 3 由得 r 越大 2 2 Mm Gmr r 2 23 GMmGM mr rr 4 由得 r 越大 T 2 22 4Mm Gmr rT 2 23 2 24GMmr mrT rTGM 6 中心天体质量的计算 方法 1 2 2 gR GMgRM G 已知 R 和 g 方法 2 2 GMv r vM rG 已知卫星的 V 与 r 方法 3 23 3 GMr M rG 已知卫星的 与 r 方法 4 2323 2 44rr TM GMGT 已知卫星的周期 T 与 r 方法 5 已知 3 23 2 4 GM v rv T M G r T GM 已知卫星的 V 与 T 方法 6 已知 3 3 GM v vr M G GM r 已知卫星的 V 与 相当于已知 V 与 T 7 地球密度计算 球的体积公式 3 4 3 VR 2 2 3 3 2 3 23 2 2 3 4 3 4r MMr RV mM Gm GT R r r GT T M 近地卫星 2 3 GT r R 8 发射速度 发射速度 采用多级火箭发射卫星时 卫星脱离最后一级火箭时的速度 运行速度 运行速度 是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动时的线速度 当卫星 贴 着 地面运行时 运行速度等于第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度 环绕速度 7 9km s 卫星环绕地球飞行的最大运行速度最大运行速度 地球上发射卫 星的最小发射速度最小发射速度 第二宇宙速度第二宇宙速度 脱离速度 11 2km s 使人造卫星脱离地球的引力束缚脱离地球的引力束缚 不再绕地球 运行 从地球表面发射所需的最小速度 第三宇宙速度第三宇宙速度 逃逸速度 16 7km s 使人造卫星挣脱太阳引力的束缚挣脱太阳引力的束缚 飞到太阳系以 外的宇宙空间去 从地球表面发射所需要的最小速 度 要点精析 要点精析 1 人造卫星 人造卫星 万有引力提供向心力 同步卫星 地球同步卫星 是相对地面静止的 与地球自转具有相同的周期 周期一定 同步卫星绕地球的运动与地球自转同步 它的运动周期就等于地球自转的周 期 T 24 h 角速度一定 同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度 轨道一定 所有同步卫星的轨道必在赤道平面内 高度一定 所有同步卫星必须位于赤道正上方 且距离地面的高度是一定的 轨道半径 都相同 即在同一轨道上运动 其确定的高度约为 h 3 6 104 km 环绕速度大小一定 所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的 都是 3 08 km s 环绕方向与地球自转方向相同 2 卫星变轨和卫星的能量问题卫星变轨和卫星的能量问题 人造卫星在圆轨道变换时 总是主动或由于其他原因使速度发生变化 导致万有引力与 向心力相等的关系被破坏 继而发生近心运动或者离心运动 发生变轨 在变轨过程中 由于动能和势能的相互转化 可能出现万有引力与向心力再次相等 卫星即定位于新的圆 轨道 轨道半径越大 速度越小 动能越小 重力势能越大 但机械能并不守恒 且总机械能 也越大 也就是轨道半径越大的卫星 运行速度虽小 但发射速度越大 解卫星变轨问题 可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解 若 F 供 F 求 供求平衡 物体做匀速圆周运动 若 F 供 F 求 供不应求 物体做离心运动 若 F 供 F 求 供过于求 物体做向心运动 卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目 的 可以通过加速 离心 或减速 向心 实现 速率比较 同一点上 外轨道速率大 同一轨道上 离恒星 或 行星 越近速率越大 加速度与向心加速度比较 同一点上加速度相同 外轨道向心 加速度大 同一轨道上 近地点的向心加速度大于远地点的向心 加速度 3 近地卫星 赤道上物体及同步卫星的运行问题近地卫星 赤道上物体及同步卫星的运行问题 近地卫星 同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同 1 轨道半径 r 同 r 近 r 物 2 运行周期 T 同 T 物 T 近 3 向心加速度 a 近 a 同 a 物 4 双心问题双心问题 在天体运动中 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星 它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动 由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持 不变 已知两星质量分别为 M1 和 M2 相距 L 求它们的角速度 AB 3 22 33 R hR GTGT 远 近 如图 设 M1 的轨道半径为 r1 M2 的轨道半径为 r2 由于两星绕 O 点做匀速圆周运 动的角速度相同 都设为 根据万有引力定律有 1 双星系统模型的特点 1 两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动 故两星的角速度 周期相等 2 两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力 所以它们的向心力大小相 等 3 两星的轨道半径之和等于两星间的距离 即 r1 r2 L 2 双星系统模型的三大规律 1 双星系统的周期 角速度相同 2 轨道半径之比与质量成反比 3 双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关 而与双 星个体的质量无关 5 三星模型三星模型 宇宙中存在一些离其他恒星较远的 由质量相等的三颗星组成的三星系统 通常可忽略其 他星体对它们的引力作用 现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式 一种是 三颗星等间距地位于同一直线上 外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行 另一种形 式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上 并沿外接于等边三角形的圆轨道运行 附录 万有引力相关公式附录 万有引力相关公式 1 思路和方法 卫星或天体的运动看成匀速圆周运动 F心 F万 类似原子模型 2 公式 G man 又 an 则 v T 2 r Mm r T 2 r r v 22 2 r GM 3 r GM GM r 2 3 3 求中心天体的质量 M 和密度 由 G mr mM 2 r Mm 2 r T 2 2 2 32 GT r4 恒量 2 3 T r 当 r R 即近地卫星绕中心天体运行时 23 3 3 3 4 3 TGR r R M M V球 r3 s球面 4r2 s r2 光的垂直有效面接收 球体推 2 GT 3 3 4 进辐射 s球冠 2Rh 轨道上正常转 F引 G F心 ma心 m 2 R m m4n2 R 2 r Mm m R v 2 4 2 2 T R 2 地面附近 G mg GM gR2 黄金代换式 mg m v第一宇宙 2 R Mm R v2 gR v 7 9km s 题目中常隐含 地球表面重力加速度为 g 这时可能要用到上式与其它方程联立来求解 轨道上正常转 G m 2 r Mm R v2 r GM v 讨论 v 或 EK 与 r 关系 r最小时为地球半径时 v第一宇宙 7 9km s 最大的运行速度 最 小的发射速度 T最小 84 8min 1 4h 沿圆轨道运动的卫星的几个结论沿圆轨道运动的卫星的几个结论 v T r GM 3 r GM GM r 2 3 理解近地卫星 来历 意义 万有引力 重力 向心力 r最小时为地球半径 最大的运行速度 v第一宇宙 7 9km s 最小的发射速度 T最小 84 8min 1 4h 同步卫星几个一定 三颗可实现全球通讯 南北极仍有盲区 轨道为赤道平面 T 24h 86400s 离地高 h 3 56 104km 为地球半径的 5 6 倍 V同步 3 08km s V第一宇宙 7 9km s 15o h 地理上时区 a 0 23m s2 运行速度与发射速度 变轨速度的区别 卫星的能量 r 增v 减小 EK减小 Ep增加 所以 E总增加 需克服引力做功越多 地面上需 要的发射速度越大 卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态 与重力有关的实验不能进行 应该熟记常识 应该熟记常识 地球公转周期 1 年 自转周期 1 天 24 小时 86400s 地球表面半径 6 4 103km 表面重力加速度 g 9 8 m s2 月球公转周期 30 天 例题精讲例题精讲 1 对万有引力定律的理解对万有引力定律的理解 1 万有引力定律 自然界中任何两个物体都是相互吸引的 引力的大小跟这两个物体的 质量的乘积成正比 跟它们的距离的平方成反比 两物体间引力的方向沿着二者的连线 2 公式表示 F 2 21 r mGm 3 引力常量 G 适用于任何两物体 意义 它在数值上等于两个质量都是 1kg 的 物体 可看成质点 相距 1m 时的相互作用力 G 的通常取值为 G 6 67 10 11Nm2 kg2 是英国物理学家卡文迪许用实验测得 一个重要物理常量的意义 根据万有 引力定律和牛顿第二定律可得 G 2 r Mm mr 2 2 T k GM T r 22 3 4 这实际上是开普勒第 三定律 它表明k T r 2 3 是一个与行星无关的物理量 它仅仅取决于中心天体的质量 在 实际做题时 它具有重要的物理意义和广泛的应用 它同样适用于人造卫星的运动 在处 理人造卫星问题时 只要围绕同一星球运转的卫星 均可使用该公式 4 适用条件 万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算 当两物体间的距离远大 于每个物体的尺寸时 物体可看成质点 直接使用万有引力定律计算 当两物体是质 量均匀分布的球体时 它们间的引力也可以直接用公式计算 但式中的 r 是指两球心间的 距离 当所研究物体不能看成质点时 可以把物体假想分割成无数个质点 求出两个物 体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力 然后求合力 此方法仅给学生提供一种 思路 5 万有引力具有以下三个特性 普遍性 万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体 大到天体小到微观粒子 间的相互吸引力 它是自然界的物体间的基本相互作用之一 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力 符合牛顿第三定律 宏观性 通常情况下 万有引力非常小 只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存 在才有宏观的物理意义 在微观世界中 粒子的质量都非常小 粒子间的万有引力可以忽 略不计 天体间的主要作用力就是万有引力了 例 1 设地球的质量为 M 地球的半径为 R 物体的质量为 m 关于物体与地球间的万 有引力的说法 正确的是 A 地球对物体的引力大于物体对地球的引力 B 物体距地面的高度为 h 时 物体与地球间的万有引力为 F 2 h GMm C 物体放在地心处 因 r 0 所受引力无穷大 D 物体离地面的高度为 R 时 则引力为 F 2 4R GMm 答案 D 总结 1 物体与地球之间的吸引是相互的 由牛顿第三定律 物体对地球与地球对物 体的引力大小相等 2 F 2 21 r mGm 中的 r 是两相互作用的物体质心间的距离 不能误认为是两物体表面间 的距离 3 F 2 21 r mGm 适用于两个质点间的相互作用 如果把物体放在地心处 显然地球已不 能看为质点 故选项 C 的推理是错误的 例 2 对于万有引力定律的数学表达式 F 2 21 r mGm 下列说法正确的是 A 公式中 G 为引力常数 是人为规定的 B r 趋近于零时 万有引力趋于无穷大 C m1 m2之间的引力总是大小相等 与 m1 m2的质量是否相等无关 D m1 m2之间的万有引力总是大小相等 方向相反 是一对平衡力 答案 C 2 关于万有引力和重力的关系关于万有引力和重力的关系 地面上物体所受万有引力 F 可以分解为物体所受的重 力 mg 和随地球自转而做圆周运动的向心力 F 其中 2 R Mm GF 2 mrF 当物体在赤道上时 F mg F 三力同向 此时满足 F mg F 当物体在两极点时 F 0 F mg 2 R Mm G 当物体在地球的其他位置时 三力方向不同 例 3 地球赤道上的物体由于地球自转产生的向心加速度 a 3 37 10 2 m s2 赤道上重 力加速度 g 取 10m s2 试问 1 质量为 m kg 的物体在赤道上所受的引力为多少 2 2 要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重 地球自转的角速度应加快到实 际角速度的多少倍 解析 解析 1 物体所受地球的万有引力产生了两个效果 一是使物体竖直向下运动的重力 一是提供物体随地球自转所需的向心力 并且在赤道上这三个力的方向都相同 有 F引 mg F向 m g a m 9 77 3 37 10 2 9 804m N 2 设地球自转角速度为 半径为 R 则有 a R 欲使物体完全失重 即万有引力 完全提供了物体随地球自转所需的向心力 即 m R F引 9 804m 解以上两式得 17 1 3 计算重力加速度计算重力加速度 1 在地球表面附近的重力加速度 在忽略地球自转的情况下 可用万有引力定律来计算 g G 2 R M 6 67 11 10 23 24 10 6730 10 98 5 9 8 m 2 s 9 8N kg 即在地球表面附近 物体的重力加速度 g 9 8m 2 s 这一结果表明 在重力作用下 物体 加速度大小与物体质量无关 2 即算地球上空距地面 h 处的重力加速度 g 有万有引力定律可得 g 2 hR GM 又 g 2 R GM g g 2 2 hR R g 2 hR R g 3 计算任意天体表面的重力加速度 g 有万有引力定律得 g 2 R GM M 为星球质量 R 卫星球的半径 又 g 2 R GM g g 2 R R M M 4 估算中心天体的质量和密度估算中心天体的质量和密度 1 中心天体的质量 中心天体的质量 根据万有引力定律和向心力表达式可得 G 2 r Mm mr 2 2 T M 2 32 4 GT r 2 中心天体的密度中心天体的密度 方法一 中心天体的密度表达式 V M V 3 4 3 R R 为中心天体的半径 根据前面 M 的表达式可得 32 3 3 RGT r 当 r R 即行星或卫星沿中心天体表面运行时 2 3 GT 此时表面只要用一个计时工具 测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的 时间 周期 T 就可简捷的估算出中心天体的平均密度 方法二 由 g 2 R GM M G gR 2 进行估算 V M RG g 4 3 地球的同步卫星 通讯卫星 地球的同步卫星 通讯卫星 同步卫星 相对地球静止 跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星 同步卫星的运行方向与 地球自转方向相同 周期 T 24h 同步卫星又叫做通讯卫星 同步卫星必定点于赤道正上方 且离地高度 h 运行速率 v 是唯一确定的 设地球质量为 m 地球的半径为 6 R 6 4 10 m 卫星的质量为m 根据牛顿第二定律 2 2 m m2 G m R h T R h 设地球表面的重力加速度 2 g 9 8m s 则 2 Gm R g 以上两式联立解得 2 2 6 22 3 3 22 7 6 4 1024 36009 8 R T g R h m 4 4 3 14 4 2 10 m 同步卫星距离地面的高度为 767 h 4 2 106 4 10m 3 56 10 m 注意 赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别 在有的问题中 涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较 地球赤道上的物体 随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心 而且两者做匀速圆周运动的半 径均可看作为地球的 R 因此 有些同学就把两者混为一谈 实际上两者有着非常显著的 区别 地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供 但由于地球 自转角速度不大 万有引力并没有全部充当向心力 向心力只占万有引力的一小部分 万 有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力 请同学们思考 若地球自转角速度 逐渐变大 将会出现什么现象 而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星 万有引力全部 充当向心力 赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止 因此它做圆周 运动的周期应与地球自转的周期相同 即 24 小时 其向心加速度 2 2 4 R a T 2 0 034m s 而绕地球表面运行的近地卫星 其线速度即我们所说的第一宇宙速度 它的周期可以由下式求出 2 22 Mm4 G mR RT 求得 3 R T 2 GM 代入地球的半径 R 与质量 可求出地球近地卫星绕地球的运行周期 T 约为 84min 此值远小于地球自转周期 而向心加速度 2 2 GM a 9 8m s R 远大于自转时向 心加速度 例 4 已知引力常量 G 6 67 10 11N m2 kg2 重力加速度 g 9 8m s2 地球半径 R 6 4 104m 可求得地球的质量为多少 结果保留一位有效数字 解析 解析 在地球表面质量为 m 的物体所受的重力等于地球对物体的引力 有 得mg R Mm G 2 kgkg G R gM 24 11 262 106 106 67 106 48 9 例 5 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行 认为行星是密度均匀的球体 要确定该行星的密度 只需要测量 A 飞船的轨道半径 B 飞船的运行速度 C 飞船的运行周期 D 行星的质量 解析 解析 飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行 可以认为飞船的轨道半径与行星 的半径相等 飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供 由万有引力定律和牛 顿第二定律 R T m R Mm G 2 2 2 由上式可知 即行星的密度 2 2 3 3 4 4 3 4 GTR M 2 3 GT 上式表明 只要测得卫星