平行四边形性质提高练习及答案

平行四边形性质提高练习及答案平行四边形性质提高练习及答案 1 如图 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O EF 过点 O 且与 AB CD 分别相交于点 E F 连 接 EC 1 求证 OE OF 2 若 EF AC BEC 的周长是 10 求 ABCD 的周长 2 在面积为 15 的 ABCD 中 过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E 作 AF 垂直于直线 CD 于点 F 若 AB 5 BC 6 求 CE CF 的值 3 如图 ABCD 中 点 E F 分别在 AD AB 上 依次连接 EB EC FC FD 图中阴影部分的 面积分别为 S S S S 已知 S 2 S 12 S 3 求 S 的值 12341234 4如图 ABCD中 M是BC的中点 且AM 9 BD 12 AD 10 求ABCD的面积 5 如图 在 ABCD 中 E F 分别为边 AD BC 的中点 对角线 AC 分别交 BE DF 于点 G H 求证 AG CH 6 如图 E F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB CD 上的点 AF 与 DE 相交于点 P BF 与 CE 相交于点 Q 若 S APD 15cm2 S BQC 25cm2 求阴影部分的面积 7 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 90 AC AD M N 分别为 AC CD 的中点 连接 BM MN BN 1 求证 BM MN 2 BAD 60 AC 平分 BAD AC 2 求 BN 的长 8 在 ABCD 中 ADC 的平分线交直线 BC 于点 E 交 AB 的延长线于点 F 连接 AC 1 如图 1 若 ADC 90 G 是 EF 的中点 连接 AG CG 求证 BE BF 请判断 AGC 的形状 并说明理由 2 如图 2 若 ADC 60 将线段 FB 绕点 F 顺时针 旋转 60 至 FG 连接 AG CG 那么 AGC 又是怎样的形 状 直接写出结论不必证明 答答 案案 1 如图 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O EF 过点 O 且与 AB CD 分别相交于点 E F 连接 EC 1 求证 OE OF 2 若 EF AC BEC 的周长是 10 求 ABCD 的周长 考点 平行四边形的性质 分析 根据平行四边形的性质得出 OD OB DC AB 推出 FDO EBO 证出 DFO BEO 即可 2 由平行四边形的性质得出 AB CD AD BC OA OC 由线段垂直平分线的性质得出 AE CE 由已知条件得出 BC AB 10 即可得出 ABCD 的周长 解答 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 OD OB DC AB FDO EBO 在 DFO 和 BEO 中 FDO EBO OD OB FOD EOB DFO BEO ASA OE OF 2 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD AD BC OA OC EF AC AE CE BEC 的周长是 10 BC BE CE BC BE AE BC AB 10 ABCD 的周长 2 BC AB 20 点评 本题考查了平行四边形的性质 平行线的性质 全等三角形的性质和判定 线段垂直平分线的性质 熟练掌 握平行四边形的性质 证明三角形全等是解决问题的关键 2 在面积为 15 的 ABCD 中 过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E 作 AF 垂直于直线 CD 于点 F 若 AB 5 BC 6 求 CE CF 的值 2 平行四边形的性质和面积 勾股定理 依题意 有如图的两种情况 设 BE x DF y 如图 1 由 AB 5 BE x 得 由平行四边形 ABCD 的面积为 15 BC 6 得 解得 负数舍去 由 BC 6 DF y 得 由平行四边形 ABCD 的面积为 15 AB 5 得 解得 负数舍去 CE CF 6 5 11 如图 2 同理可得 BE DF CE CF 6 5 11 故选 C 3 如图 ABCD 中 点 E F 分别在 AD AB 上 依次连接 EB EC FC FD 图中阴影部分的面积分别为 S S S S 已知 S 2 S 12 S 3 求 S 的值 12341234 考点 平行四边形的性质 分析 影阴部分 S2 是三角形 CDF 与三角形 CBE 的公共部分 而 S1 S4 S3 这三块是平行四边形中没有被三角 形 CDF 与三角形 CBE 盖住的部分 故 CDF 面积 CBE 面积 S1 S4 S3 S2 平行四 边形 ABCD 的面积 而 CDF 与 CBE 的面积都是平行四边形 ABCD 面积的一半 据此求 得 S 的值 4 解答 解 设平行四边形的面积为 S 则 S CBE S CDF S 1 2 由图形可知 CDF 面积 CBE 面积 S1 S4 S3 S2 平行四边形 ABCD 的面积 S S CBE S CDF 2 S 3 12 4 即 S S S 2 S 3 12 1 2 1 2 4 解得 S 7 4 故选 D 点评 本题主要考查了平行四边形的性质 解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系 平行四边形 ABCD 的面积 CDF 面积 CBE 面积 S1 S4 S3 S2 4如图 ABCD中 M是BC的中点 且AM 9 BD 12 AD 10 求ABCD的面积 考点 平行四边形的性质 三角形的面积 勾股定理的逆定理 专题 压轴题 转化思想 分析 求 ABCD 的面积 就需求出 BC 边上的高 可过 D 作 DE AM 交 BC 的延长线于 E 那么四边形 ADEM 也是平行四边形 则 AM DE 在 BDE 中 三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理 因此 BDE 是直角三角形 可过 D 作 DF BC 于 F 根据三角形面积的不同表示方法 可求出 DF 的长 也就求出了 BC 边上的高 由此可求出四 边形 ABCD 的面积 解答 解 作 DE AM 交 BC 的延长线于 E 则 ADEM 是平行四边形 DE AM 9 ME AD 10 又由题意可得 BM 12BC 12AD 5 则 BE 15 在 BDE 中 BD2 DE2 144 81 225 BE2 BDE 是直角三角形 且 BDE 90 过 D 作 DF BE 于 F 则 DF BD DEBE 365 S ABCD BC FD 10 365 72 故选 D 点评 此题主要考查平行四边形的性质和勾股定理的逆定理 正确地作出辅助线 构造直角三角形是解题的关 键 5 2012 淄博模拟 则在 ABCD 中 BAD 的平分线交直线 BC 于点 E 交直线 DC 于点 F 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连接 DB DG BG BDG 的大小是 A 30 B 45 C 60 D 75 考点 平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 专题 压轴题 分析 分别连接 GB GC 求证四边形 CEGF 是平行四边形 再求证 ECG 是等边三角形 由 AD BC 及 AF 平分 BAD 可得 BAE AEB 则可证得 BEG DCG 然后即可求得答案 解答 解 延长 AB FG 交于 H 连接 HD AD GF AB DF 四边形 AHFD 为平行四边形 ABC 120 AF 平分 BAD DAF 30 ADC 120 DFA 30 DAF 为等腰三角形 AD DF 平行四边形 AHFD 为菱形 ADH DHF 为全等的等边三角形 DH DF BHD GFD 60 FG CE CE CF CF BH BH GF 在 BHD 和 GFD 中 BH GF BHD GFDDH DF BHD GFD SAS BDH GDF BDG BDH HDG GDF HDG 60 故选 C 点评 此题主要考查平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 菱形的判定与 性质等知识点 此题难度较大 注意掌握辅助线的作法 注意数形结合思想的应用 6 如图 E F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB CD 上的点 AF 与 DE 相交于点 P BF 与 CE 相交于点 Q 若 S APD 15cm2 S BQC 25cm2 求阴影部分的面积 考点 平行四边形的性质 专题 压轴题 分析 作出辅助线 因为 ADF 与 DEF 同底等高 所以面积相等 所以阴影图形的面积可解 解答 解 如图 连接 EF ADF 与 DEF 同底等高 S ADF S DEF 即 S ADF S DPF S DEF S DPF 即 S APD S EPF 15cm2 同理可得 S BQC S EFQ 25cm2 阴影部分的面积为 S EPF S EFQ 15 25 40cm2 故答案为 40 点评 本题综合性较强 主要考查了平行四边形的性质 解答此题关键是作出辅助线 找出同底等高的三角 形 7 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 90 AC AD M N 分别为 AC CD 的中点 连接 BM MN BN 1 求证 BM MN 2 BAD 60 AC 平分 BAD AC 2 求 BN 的长 考点 三角形中位线定理 直角三角形斜边上的中线 勾股定理 分析 1 根据三角形中位线定理得 MN AD 根据直角三角形斜边中线定理得 BM 1 1 2 AD 根据直角三角形斜边中线定理得 BM AC 由此即可证明 1 2 首先证明 BMN 90 根据 BN2 BM2 MN2 即可解决问题 解答 1 证明 在 CAD 中 M N 分别是 AC CD 的中点 MN AD MN 12AD 在 RT ABC 中 M 是 AC 中点 BM 12AC AC AD MN BM 2 解 BAD 60 AC 平分 BAD BAC DAC 30 由 1 可知 BM 12AC AM MC BMC BAM ABM 2 BAM 60 MN AD NMC DAC 30 BMN BMC NMC 90 BN2 BM2 MN2 由 1 可知 MN BM 12AC 1 BN 2 点评 本题考查三角形中位线定理 直角三角形斜边中线定理 勾股定理等知识 解题的关键是灵活应用这些知识 解决问题 属于中考常考题型 8 2013 沈阳模拟 在 ABCD 中 ADC 的平分线交直线 BC 于点 E 交 AB 的延长线于点 F 连接 AC 1 如图 1 若 ADC 90 G 是 EF 的中点 连接 AG CG 求证 BE BF 请判断 AGC 的形状 并说明理由 2 如图 2 若 ADC 60 将线段 FB 绕点 F 顺时针旋转 60 至 FG 连接 AG CG 那么 AGC 又是怎样的 形状 直接写出结论不必证明 考点 平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定 等腰直角三角形 专题 压轴题 分析 1 先判定四边形 ABCD 是矩形 再根据矩形的性质可得 ABC 90 AB DC AD BC 然后根据 平行线的性质求出 F FDC BEF ADF 再根据 DF 是 ADC 的平分线 利用角平分线的定义得到 ADF FDC 从而得到 F BEF 然后根据等角对等边的性质即可证明 连接 BG 根据等腰直角三角形的性质可得 F BEF 45 再根据等腰三角形三线合一的性质求出 BG FG F CBG 45 然后利用 边角边 证明 AFG 和 CBG 全等 根据全等三角形对应边相等可得 AG CG 再求出 GAC ACG 90 然后求出 AGC 90 然后根据等腰直角三角形的定义判断即可 2 连接 BG 根据旋转的性质可得 BFG 是等边三角形 再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出 AF AD 平行四边形的对角相等求出 ABC ADC 60 然后求出 CBG 60 从而得到 AFG CBG 然后利用 边角边 证明 AFG 和 CBG 全等 根据全等三角形对应边相等可得 AG CG 全等三角形对应角相等可得 FAG BCG 然后求出 GAC ACG 120 再求出 AGC 60 然后根据等边三角形的判定方法判定即可 解答 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 ABC 90 四边形 ABCD 是矩形 ABC 90 AB DC AD BC F FDC BEF ADF DF 是 ADC 的平分线 ADF FDC F BEF BF BE AGC 是等腰直角三角形 理由如下 连接 BG 由 知 BF BE FBC 90 F BEF 45 G 是 EF 的中点 BG FG F CBG 45 FAD 90 AF AD 又 AD BC AF BC 在 AFG 和 CBG 中 AF BC F CBG 45 BG FG AFG CBG SAS AG CG FAG BCG 又 FAG GAC ACB 90 BCG GAC ACB 90 即 GAC ACG 90 AGC 90 AGC 是等腰直角三角形 2 连接 BG FB 绕点 F 顺时针旋转 60 至 FG BFG 是等边三角形 FG BG FBG 60 又 四边形 ABCD 是平行四边形 ADC 60 ABC ADC 60 CBG 180 FBG ABC 180 60 60 60