湖南省邵阳云水中学2012届高三数学上学期第三次月考试题（解析版） 文 湘教版

用心 爱心 专心1 湖南省邵阳云水中学湖南省邵阳云水中学 20122012 届高三上学期第三次月考数学 文 试题届高三上学期第三次月考数学 文 试题 解析版 解析版 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 2 至 4 页 考试结束后 将答题卡交回 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 若集合 Ma axxN M 2210 则 NM A 0 B 10 C 21 D 20 答案 D 解析 解 因为集合 N 0 2 4 集合 M 0 1 2 所以MN 0 2 故选 D 2 函数 20 4 2 xxxxf的反函数是 A 2 142 2 xxy B 2 042 2 xxy C 2 142 2 xxy D 2 042 2 xxy 答案 B 解析 解 令 2 22 2222 22 4 02 0 2 4 2 4 4 2 02 24 24 0 2 则 两边平方 互换 f xyyxxxy yxx yxyxx xyx yyxx 3 设数列 n a是等差数列 则 A 5481 aaaa B 5481 aaaa C 5481 aaaa D 5481 aaaa 答案 B 解析 解 因为数列 n a 是等差数列 所以 18111 45111 7 27 3 4 27 aaaadad aaadadad 显然答案为 B 4 函数 4cos 3sin x x y的最大值是 用心 爱心 专心2 A 2 1 B 15 6212 C 3 4 D 15 6212 答案 D 解析 解 2 2 2 sin3 cos4 sin3 cos4 sincos43 1sin 43 43 tan sin 1 43 sin 1 1 1 1 1 2480 122 6122 6 1515 2 两边平方 解得15y x yyxx x xyxyyxy y yx y y x y y y 故答案为 D 5 函数sin2yx 的图象按向量a平移后 得到的函数解析式为12 xcosy 则 a等于 A 1 B 1 C 1 2 D 1 2 答案 B 解析 解 设向量 ah k 则sin2yx 的图象上任意一点 P x y 按照向量a 平移 后 则解析式变为 P x y 有 cos2 1 cos2 1 cos2 1sin2cos 2 cos 2 22 10 1 42 2 xxh yxykxh yyk yxhkxxx k kh h 6 到椭圆1 925 22 yx 右焦点的距离与到定直线6 x距离相等的动点轨迹方程是 A 5 4 2 xy B 5 4 2 xy C xy4 2 D xy4 2 答案 A 解析 解 利用抛物线的定义可知 点的轨迹方程为抛物线 抛物线的顶点坐标为 用心 爱心 专心3 5 0 设抛物线方程为 2 2 5 yp x 又因为定直线为准线 定点为焦点 故 p 2 所以所 求的方程为 2 4 5 yx 故选 A 7 在航天员进行的一项太空实验中 先后要实施 6 个程序 其中程序 A 只能出现在第一 步或最后一步 程序 B 和 C 实施时必须相邻 则实验顺序的编排方法共有 A 24 种 B 48 种 C 96 种 D 144 种 答案 C 解析 解 本题是一个分步计数问题 由题意知程序 A 只能出现在第一步或最后一步 从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列 有 1 2 A 2 种结果 程序 B 和 C 实施时必须相邻 9 三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA PB PC 两两互相垂直 且长度分别为 3 4 5 则三 棱锥 P ABC 外接球的表面积是 A 20 2 B 25 2 C 50 D 200 答案 C 解析 解 本试题可以把三棱锥看成是长方体的一个角 长方体的外接球就是三棱锥的 外接球 转化为求长方体的外接球的直径 即长方体的体对角线 用心 爱心 专心4 222 5 2 345505 2 2 5 2 450 2 2 则长方体的外接球的半径为 故球的表面积公式 S 10 已知双曲线 0 01 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为 0 60的直 线与双曲线右支有且仅有一个交点 则此双曲线的离心率的取值范围是 A 2 1 2 1 2 2 答案 C 解析 解 解 要使过点 F 且倾斜角为 60 度的直线与双曲线的右支只有一个交点 则需渐近线 y b a x 的斜率 b a 那条直线的斜率 即 b a tan60 12 已知函数 0 0 1 12 x x xf xf x 若方程axxf 有且只有两个不相等的 实数根 则实数a的取值范围是 A 1 B 0 1 C 1 D 0 答案 A 解析 解 解 函数 0 21 0 1 x x f x xf x 的图象如图所示 当 a 1 时 函数 y f x 的图象与函数 y x a 的图象有两个交点 用心 爱心 专心5 即方程 f x x a 有且只有两个不相等的实数根 故选 A 第 卷非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 如果实数xy 满足条件 01 01 01 yx y yx 则2xy 的最大值为 答案 1 4 解析 解 因为由二倍角的正弦公式 1111 cos15 sin15sin30 2224 用心 爱心 专心6 15 如图 正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A D 为椭圆的两个焦点 其余 4 个顶点在椭圆上 则该椭圆的离心率是 答案 31 解析 解 设正六边形的边长为 2c 则焦距为 2c 连接 EA ED 则在三角形 EAD 中 EA ED 2a 222 1 2 DEAEDEAEADDEAD 解得 3 32 31AEcccae 故答案为31 答案 解析 解 如下图所示 因为 ABCD 是正方形 故有BD AC 而 AC 是斜线 PA 在底面 的射影 则有三垂线定理 可知 正确 点 P 在底面的射影在 AC 与 BD 的交点 O 处 则四个侧面三角形射影后的三角形为直角三角 形 因此 原三角形为锐角三角形 可知 正确 由因为侧面与底面所成的角为 侧棱与底面所成的角为PEOPBO OE BC OBOE 由正切函数定义 可知 tan tantantan0 POPO PEOPBOPEOPBO OEOB 故 正确 如图所示 相邻两侧面的二面角显然是钝角 因此 正确 用心 爱心 专心7 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 已知数列 n a是等比数列 n S是它的前n项和 若 132 2aaa 且 4 a与 7 2a的等差中项 为 4 5 求 5 S 16 2 1 8 1 1 4 7 3 aq a a q 31 2 1 1 2 1 116 5 5 S 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 在ABC 中 内角 A B C对边的边长分别是 a b c 已知2 3 cC 用心 爱心 专心8 若ABC 的面积等于3 求 a b 若sinsin 2sin2CBAA 求ABC 的面积 解题说明 本试题主要考查解三角形中正弦定理和余弦定理 以及三角形的面 积公式 两角和差的三角公式的综合运用 解决该试题的关键是余弦定理并能结合 面积公式求解a b 答案 2 2ab 2 3 3 解析 解 解 由余弦定理及已知条件得 22 4abab 又因为ABC 的面积等于3 所以 1 sin3 2 abC 得4ab 联立方程组 22 4 4 abab ab 解得2a 2b 6 分 由题意得sin sin 4sincosBABAAA 即sincos2sincosBAAA 当cos0A 时 2 A 6 B 4 3 3 a 2 3 3 b 当cos0A 时 得sin2sinBA 由正弦定理得2ba 联立方程组 22 4 2 abab ba 解得 2 3 3 a 4 3 3 b 所以ABC 的面积 12 3 sin 23 SabC 12 分 用心 爱心 专心9 解题说明 本试题考查了等可能事件的古典概率的求解 并结合组合数公式 对立事件的概率公式的综合运用 解决该试题的关键是弄清楚没有涂色的情况 一 面涂色的情况 以及两面涂色的情况 三面涂色的情况分别是多少 答案 1 27 40 117 解析 解 解 27 个小正方体中 表面没有涂色的有 1 个 有一面涂色的有 6 个 有两面涂色的有 12 个 有三面涂色的有 8 个 4 分 27 1 P 8 分 117 40 2 27 1 8 1 6 1 12 1 6 C CCCC P 12 分 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 在四棱锥ABCDP 中 底面ABCD是一直角梯形 90 BAD AD BC 21 AD BCAB PA 底面ABCD PD与底面 成 45角 点E是PD的中点 求证 PDBE 求二面角ACDP 的余弦值 用心 爱心 专心10 P A D B C E 解题说明 本试题主要考查了空间几何体中的线线的垂直和二面角的求解 解 决该试题的关键是运用向量的代数法来解决 或者利用几何方法来结合线面垂直的 判定定理和性质定理的综合运用 答案 略 3 3 解析 解 解法一 1 证明 连接 AE 因为 2 6 90 2 22 底面ABC D PD A是PD 与底面ABC D 的所成的角 PD A 45 分 面 由三垂线定理 得 连接AC 在直角梯形ABC D 中 AB BC 1 AD 2 AC C D 2 AC C D ACC D 又PA底面 为二面角的平面角 在 PA PADA BADBADABAPABAPDA BEPD AD ABCDPCCD PCAPCDART P 2 tan2 2 3 中 所以 所求的二面角的余弦值为 3 CA PA PCA CA 用心 爱心 专心11 解法二 1 如图 建立空间直角坐标系 由已知可得 A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 1 1 分6 0 2 12101 2 2 0 1 1 1 PDBE PDBE PDBE z y x A D BC P E 2 的法向量是平面平面ABCD2 0 0AP ABCDAP CDn PDnPCDz y xn 的法向量 则是平面设 由 2 2 0 PD 0 1 1C D 得 yx yz yx zy 0 022 令 y 1 则 n 1 1 1 用心 爱心 专心12 3 3 23 2 cos APn APn APn 所以 所求二面角的余弦值为 3 3 12 分 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 函数 dcxbxxxf 23 在 0 上是增函数 在 20 上是减函数 求b的取值范围 解关于x的不等式 b x xxf 12 462 2 解题说明 本试题主要考查了导数在研究函数中的应用 以及不等式的求解的 综合运用 解决该试题的关键是能够通过已知的单调区间找到极值点 0 12 46232 22 b x xbxx 7 分 0 12 42 0 12 244 x bbx x bbxbx 8 分 对应方程的根为 bb b x x 2 2 1 2 4 2 1 21 9 分 3 b 21 xx 10 分 用心 爱心 专心13 解集为 b xx 2 2 1 2 1 12 分 解题说明 本试题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系 向量的数量 积 向量的共线概念的的综合运用 解决该试题的关键是要求出椭圆的方程 并能 利用联立方程组和韦达定理求解m 的范围 答案 1 2 2 OA OB 22 4218 5525 xy 解析 解 1 2 22 22 1aab 所以椭圆的方程是 2 2 1 2 x y 联立直线方程 化简为 2222 21 4220kxk xk 设 A 11 x y B 22 xy 2 12121212 1 1 OA OBx xy yx xkxx OA OB 2 2 2 21 k k 令 2 2 2 21 k k m 则 2 2 1 2 m k m 0 1