一元二次方程根的分布情况归纳总结(2013.07.22)

一元二次方程根的分布情况0 2 cbxax 设方程的不等两根为且 相应的二次函数为 2 00axbxca 12 x x 12 xx 2 0f xaxbxc 方程的根即为二次函数图象与轴的交点 它们的分布情况见下面各表 每种情况对应的均是充要条件 x 表一 两根与 0 的大小比较即根的正负情况 分布情况 两个负根即两根都小于 0 12 0 0 xx 两个正根即两根都大于 0 12 0 0 xx 一正根一负根即一个根小于 0 一个大于 0 12 0 xx 大致图象 0 a得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 大致图象 0 a得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 综合结论 不讨论 a 0 0 2 00 b a a f 0 0 2 00 b a a f 00 fa 表二 两根与 的大小比较 k 分布情况 两根都小于即 k kxkx 21 两根都大于即 k kxkx 21 一个根小于 一个大于即k k 21 xkx 大致图象 0 a得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 大致图象 0 a得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 综合结论 不讨论 a 0 2 0 b k a a f k 0 2 0 b k a a f k 0 kfa k k k 表三 根在区间上的分布 分布情况 两根都在内 nm 两根有且仅有一根在内 nm 图象有两种情况 只画了一种 一根在内 另一根在 nm 内 qp qpnm 大致图象 0 a得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf 0 0 0 0 f m f n fp f q 大致图象 0 a得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf 0 0 0 0 f m f n fp f q 综合结论 不讨论 a 0 nfmf 0 0 qfpf nfmf 根在区间上的分布还有一种情况 两根分别在区间根在区间上的分布还有一种情况 两根分别在区间外 即在区间两侧外 即在区间两侧 图形分别如下 图形分别如下 nm 12 xm xn 需满足的条件是需满足的条件是 1 时 2 时 0a 0 0 f m f n 0a 0 0 f m f n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明 1 两根有且仅有一根在内有以下特殊情况 nm 若或 则此时不成立 但对于这种情况是知道了方程有一根为或1 0f m 0f n 0f mf n Am 可以求出另外一根 然后可以根据另一根在区间内 从而可以求出参数的值 如方程n nm 在区间上有一根 因为 所以 2 220mxmx 1 3 10f 2 2212mxmxxmx 另一根为 由得即为所求 2 m 2 13 m 2 2 3 m 方程有且只有一根 且这个根在区间内 即 此时由可以求出参数的值 然后再将参数2 nm 0 0 的值带入方程 求出相应的根 检验根是否在给定的区间内 如若不在 舍去相应的参数 如方程 有且一根在区间内 求的取值范围 分析 由即 2 4260 xmxm 3 0 m 300ff A 得出 由即得出或 当 141530mm 15 3 14 m 0 2 164 260mm 1m 3 2 m 时 根 即满足题意 当时 根 故不满足题意 1m 23 0 x 1m 3 2 m 33 0 x 3 2 m 综上分析 得出或 15 3 14 m 1m 函数与方程思想 若函数与方程思想 若 与与 轴有交点轴有交点 0y f xx 0 x f 0 x 若若 与与 有交点有交点 有解有解 yfxygx 0 x 0 y f x g x 0 x 根的分布练习题根的分布练习题 例 1 已知二次方程有一正根和一负根 求实数的取值范围 2 21210mxmxm m 解 由 即 从而得即为所求的范围 2100mf A 2110mm 1 1 2 m 例 2 已知二次函数与轴有两个交点 一个大于 1 一个小于 1 求实 2 22433ymxmxm x 数的取值范围 m 解 由 即 即为所求的范围 210mf A 2210mm A 1 2 2 m 例 3 已知二次方程只有一个正根且这个根小于 1 求实数的取值范围 2 2340mxmx m 解 由题意有方程在区间上只有一个正根 则 即为所求 0 1 010ff A 4 310m A 1 3 m 范围 注 本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内 由计算检验 均不复合 0 10 题 例 4 已知关于 x 的二次方程 x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求 m 的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求 m 的范围 1 若方程有两个不相同的实根 求的取值范围 4 3 20 xx mm m 2 已知函数有且只有一个零点 求的取值范围 并求出该零点421 xx ym m 3 关于的一元二次方程 当为何实数时 x