三角形的证明(二)经典讲义

我努力追求 创造适合每一个孩子的教育 第 1 页 共 10 页 2 1 A B C D OO D C B A 第二章三角形的证明第二章三角形的证明 1 等腰三角形 一 主要知识点 1 证明三角形全等的判定方法 SSS SAS ASA AAS 证直角三角形全等除上述外还有 HL 及全等三角形 的性质是对应边相等 对应角相等 2 等腰三角形的有关知识点 等边对等角 等角对等边 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线 合一 3 等边三角形的有关知识点 判定 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都是 60 的三角形是等边三角形 有两个叫是 60 的三角形是等边三角形 性质 等边三角形的三边相等 三个角都是 60 4 反证法 先假设命题的结论不成立 然后推导出 与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结果 从而证明命题的结论一定成立 这种证明方法称为反证法反证法 二 重点例题分析 例 1 如下图 在 ABC 中 B 90 M 是 AC 上任意一点 M 与 A 不重合 MD BC 交 ABC 的平 分线于点 D 求证 MD M A 例 2 如右图 已知 ABC 和 BDE 都是等边三角形 求证 AE CD 例 3 如图 已知 AB AE BC ED B E AF CD F 为垂足 求证 AC AD CF DF 例 4 如图 1 图 2 AOB COD 均是等腰直角三角形 AOB COD 90 1 在图 1 中 AC 与 BD 相等吗 请说明理由 4 分 2 若 COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后 到达力 2 的位置 请问 AC 与 BD 还相等吗 为什么 我追求 创造适合每一个孩子的教育 第 2 页 共 10 页 例 5 如图 在 ABC 中 AB AC D 是 AB 上一点 E 是 AC 延长线上一点 且 CE BD 连结 DE 交 BC 于 F 1 猜想 DF 与 EF 的大小关系 2 请证明你的猜想 例 6 证明 在一个三角形中至少有两个角是锐角 2 直角三角形 一 主要知识点 1 直角三角形的有关知识 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 2 互逆命题 互逆定理 在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为互逆互逆 命题命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它也是一个定理 这两个定理称为互逆定理互逆定理 其中一个 定理称为另一个定理的逆定理逆定理 二 典型例题分析 例 1 说出下列命题的逆命题 并判断每对命题的真假 1 四边形是多边形 2 两直线平行 同旁内角互补 3 如果 ab 0 那么 a 0 b 0 4 在一个三角形中有两个角相等 那么这两个角所对的边相等 例 2 如图 中 求的长 ABC 35 90 12 22 CCDBD AC 例 3 如图所示的一块地 ADC 90 AD 12m CD 9m AB 39m BC 36m 求这块地的面积 我努力追求 创造适合每一个孩子的教育 第 3 页 共 10 页 C A D B 例 4 如图 一架 2 5 米长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AC 上 这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0 7 米 如果梯子的顶端沿墙下滑 0 4 米 那么梯足将向外移多少米 C A1 B1 A B 例 5 如图 2 5 所示 在等边三角形 ABC 中 AE CD AD BE 交于 P 点 BQ AD 于 Q 求证 BP 2PQ 3 线段的垂直平分线 4 角平分线 一 主要知识点 1 线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 2 角平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 三角形三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 3 逆命题 互逆命题的概念 及反证法 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为互逆命题 其中 一个命题称为另一个命题的逆命题 二 重点例题分析 例 1 1 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直平分线交 AB 于 N 交 BC 的延长线于 M A 求 0 40 NMB 的大小 我追求 创造适合每一个孩子的教育 第 4 页 共 10 页 2 如果将 1 中 A 的度数改为 其余条件不变 再求 NMB 的大小 0 70 3 你发现有什么样的规律性 试证明之 4 将 1 中的 A 改为钝角 对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 例 2 在 ABC 中 AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F 垂足为 D 若 AC 6 BC 4 求 BCF 的周长 E C F A D B 例 3 如图所示 AC AD BC BD AB 与 CD 相交于点 E 求证 直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线 A C D E B 例 4 如图所示 在 ABC 中 AB AC BAC 1200 D F 分别为 AB AC 的中点 DE ABFG AC E G 在 BC 上 BC 15cm 求 EG 的长度 A D F B E G C A B C N M A B C N M A B C N M 我努力追求 创造适合每一个孩子的教育 第 5 页 共 10 页 例 5 如图所示 Rt ABC 中 D 是 AB 上一点 BD BC 过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E CD 交 BE 于点 F 求证 BE 垂直平分 CD C E A D B F 例 6 在 ABC 中 点 O 是 AC 边上一动点 过点 O 作直线 MN BC 与 ACB 的角平分线交于点 E 与 ACB 的外角平分线交于点 F 求证 OE OF 例 7 如图所示 AB AC A的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D 自 D 作DE AB 于 E DF ACF 于 求证 BE CF A E B M C F D 相应练习相应练习 1 如图 在 ABC 中 AB AC BC AE CD AD BE 相交于点 P BQ AD 于 Q 求证 BP 2PQ P Q E D CB A 2 1 A O FE CB MN 我追求 创造适合每一个孩子的教育 第 6 页 共 10 页 2 如图 ABC 中 AB AC P Q R 分别在 AB BC AC 上 且 BP CQ BQ CR 求证 点 Q 在 PR 的垂直平分线上 3 如图 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F 连接 AF 求证 B CAF 4 已知 如图 AB CD BAC 的角平分线与 DCA 的角平分线交于点 M 经过 M 的直线 EF 与 AB 垂 直 垂足为 F 且 EF 与 CD 交于 E 求证 点 M 为 EF 的中点 E DFCB A Q R P BC A E C M A D FB 我努力追求 创造适合每一个孩子的教育 第 7 页 共 10 页 第二章三角形的证明单元训练题第二章三角形的证明单元训练题 一 精心一 精心选选一一选选 慧眼 慧眼识识金 每小金 每小题题 3 分 共分 共 30 分 分 1 如图 1 某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片 现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃 那么最 省事的办法是带 去配 A B C D 和 2 下列说法中 正确的是 A 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C 两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D 面积相等的两个三角形全等 3 如图 2 AB CD ABD BCE 都是等腰三角形 如果 CD 8cm BE 3cm 那么 AC 长为 A 4cm B 5cm C 8cm D cm34 4 如图 3 在等边中 分别是上的点 且 AD 与 BE 相交于点 P 则ABC D E BC ACBDCE 的度数是 12 A B C D 0 45 0 55 0 60 0 75 5 如图 4 在中 AB AC BD 和 CE 分别是和的平分线 且相交于点ABC 0 36A ABC ACB P 在图 4 中 等腰三角形 不再添加线段和字母 的个数为 A 9 个 B 8 个 C 7 个 D 6 个 6 如图 5 表示三条相互交叉的公路 现在要建一个加油站 要求它到三条公路的距离相等 则可 123 l l l 供选择的地址有 A 1 处 B 2 处 C 3 处 D 4 处 7 如图 6 A C E 三点在同一条直线上 DAC 和 EBC 都是 等边三角形 AE BD 分别与 CD CE 交于点 M N 有如下结 论 ACE DCB CM CN AC DN 其中 正确结 论的个数是 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 8 要测量河两岸相对的两点 A B 的距离 先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C D 使 CD BC 再作出 BF 的 垂线 DE 使 A C E 在同一条直线上 如图 7 可以证明 ABC 得 ED AB 因此 测得 DE 的长就是 AB 的长 在这里判定EDC 我追求 创造适合每一个孩子的教育 第 8 页 共 10 页 的条件是 ABC EDC A ASA B SAS C SSS D HL 9 如图 8 将长方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折 点 C 落在点 E 的 位置 BE 交 AD 于点 F 求证 重叠部分 即 是等腰三角形 BDF 证明 四边形 ABCD 是长方形 AD BC 又 与关于 BD 对称 BDE BDC 是等腰三角形 23 BDF 请思考 以上证明过程中 涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项 12 13 34 BDCBDE A B C D 10 如图 9 已知线段 a h 作等腰 ABC 使 AB AC 且 BC a BC 边上的高 AD h 张红的作法是 1 作线段 BC a 2 作线段 BC 的垂直平分线 MN MN 与 BC 相 交于点 D 3 在直线 MN 上截取线段 h 4 连结 AB AC 则 ABC 为所求的等腰三角形 上述作法的四个步骤中 有错误的一步你认为是 A 1 B 2 C 3 D 4 二 二 细细心填一填 一心填一填 一锤锤定音 每小定音 每小题题 3 分 共分 共 30 分 分 1 如图 10 已知 在 ABC 和 DCB 中 AC DB 若不增加任何字母与辅助线 要使 ABC DCB 则还需增加一个条件是 2 如图 11 在中 分别过点作经过点 A 的直线的垂线段Rt ABC 0 90 BACABAC B C BD CE 若 BD 3 厘米 CE 4 厘米 则 DE 的长为 3 如图 12 P Q 是 ABC 的边 BC 上的两点 且 BP PQ QC AP AQ 则 ABC 等于 度 4 如图 13 在等腰中 AB 27 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D 交 AC 于点 E 若 的周长ABC BCE 为 50 则底边 BC 的长为 5 在中 AB AC AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 则ABC 0 50 底角 B 的大小为 6 在 证明二 一章中 我们学习了很多定理 例如 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方 全等三角形的对应角相等 等腰三角形的两个底角相等 线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 角平分线上的点到这个角两边的 距离相等 在上述定理中 存在逆定理的是 填序号 7 如图 14 有一张直角三角形纸片 两直角边 AC 5cm BC 10cm 将 ABC 折叠 点 B 与点 A 重合 折痕为 DE 则 CD 的长为 图 8 我努力追求 创造适合每一个孩子的教育 第 9 页 共 10 页 8 如图 15 在中 AB AC D 是 BC 上任意一点 分别做 DE AB 于 E DF ACABC 0 120A 于 F 如果 BC 20cm 那么 DE DF cm 9 如图 16 在 Rt ABC 中 C 90 B 15 DE 是 AB 的中垂线 垂足为 D 交 BC 于点 若 则 E4BE AC 10 如图 17 有一块边长为 24m 的长方形绿地 在绿地旁边 B 处有健身 器材 由于居住在 A 处的居民践踏了绿地 小颖想在 A 处立一个标 牌 少走 步 踏之何忍 但小颖不知在 处应填什么 数字 请你帮助她填上好吗 假设两步为 1 米 三 耐心做一做 三 耐心做一做 马马到成功 本大到成功 本大题题共共 48 分 分 1 7 分 如图 18 在中 CD 是 AB 边上的高 ABC 0 90ACB 求证 AB 4BD 0 30A 2 7 分 如图 19 在中 AC BC AD 平分 ABC 0 90C CAB 交 BC 于点 D DE AB 于点 E 若 AB 6cm 你能否求出的BDE 周长 若能 请求出 若不能 请说明理由 3 10 分 如图 20 D E 分别为 ABC 的边 AB AC 上的点 BE 与 CD 相交于 O 点 现有四个条件 AB AC OB