三等角型相似初三压轴题

中考热点中考热点 5 三等角型相似三角形三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形 等腰梯形 或者等边三角形为背景 一个与等腰三角形的底 角相等的顶点在底边所在的直线上 角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同 当顶点移动到底边的延长线时 形成 变式图形 图形虽然变化但是求证的方法不变 此规律需通过认真做题 细细体会 典型例题典型例题 例例 1 如图 等边 ABC 中 边长为 6 D 是 BC 上动点 EDF 60 1 求证 BDE CFD 2 当 BD 1 FC 3 时 求 BE 思路分析思路分析 本题属于典型的三等角型相似 由题意可得 B C EDF 60 再用外角可证 BED CDF 可证 BDE 与 CFD 相似排出相似比便可 求得线段 BE 的长度 解 解 1 ABC 是等边三角形 EDF 60 B C EDF 60 EDC EDF FDC B BED BED FDC BDE CFD 2 BDE CFD BE CD BD FC BD 1 FC 3 CD 5 BE 3 5 点评 点评 三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边 例例 2 如图 等腰 ABC 中 AB AC D 是 BC 中点 EDF B 求证 BDE DFE 思路分析思路分析 比较例 1 来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点 所以 BDE 与 CFD 相似的结论依然成立 用相似后的对应边成比例 以及 BD CD 的条件 可证得 BDE 和 DFE 相似 解 解 AB AC EDF B B C EDF EDC EDF FDC B BED BED FDC BDE CFD 又 BD CD DF DE CD BE 即 DF DE BD BE DF BD DE BE EDF B C A DB E F C D E A B F BDE DFE 点评 点评 三等角型相似中若点 D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形 若点 D 是底边中点 则有三对相似三角形 BDE 与 CFD 相似后若得加上 BD CD 可证得 CFD 与 DFE 相 DF DE CF BD 似 例例 3 如图 在 ABC 中 AB AC 5cm BC 8 点 P 为 BC 边上一动点 不与点 B C 重合 过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M 使 APM B 1 求证 ABP PCM 2 设 BP x CM y 求 y 与 x 的函数解析式 并写出函数的定义域 3 当 APM 为等腰三角形时 求 PB 的长 思路分析思路分析 第 1 2 小题都是用常规的三等角型相似的方法 对 APM 进行等腰三角形的分类讨论时 可将条件转化成与 ABP PCM 相关的结论 解 解 1 AB AC APM B APM B C APC APM MPC B BAP BAP MPC ABP PCM 2 BP x CM y CP 8 x MC BP PC AB y x x 8 5 xxy 5 8 5 1 2 80 x 3 当 AP PM 时 PC AB 5 AB PC PA PM BP 3 当 AP AM 时 APM B C PAM BAC 即点 P 与点 B 重合 P 不与点 B C 重合 舍去 当 MP AM 时 MAP MPA MAP ABC 8 5 BC AB AP MP 即 8 5 AB PC PA PM 8 5 5 8 x BP 8 39 点评 点评 等腰三角形分类讨论需要灵活应用 可采用的方法添底边上的高 将等腰的条件进行转化 三等 角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至 ABP 和 PCM 中简化运算 A B P C M A BCP M A BC P M 例例 4 1 在中 点 分别在射线 上 点不与点ABC 5 ACAB8 BCPQCBACP 点重合 且保持 CBABCAPQ 若点在线段上 如图 10 且 求线段的长 PCB6 BPCQ 若 求与之间的函数关系式 并写出函数的 xBP yCQ yx 定义域 2 正方形的边长为 如图 12 点 分别在直线 ABCD5PQCB 上 点不与点 点重合 且保持 DCPCB 90APQ 当时 写出线段的长 不需要计算过程 请直接写出结果 1 CQBP 思路分析思路分析 本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不 仅在线段上还可以运动至线段的延长线上 这类变式问题是上海中考中最常 见的 虽然图形改变 但是方法不变 依旧是原来的两个三角形相似列出比 例式后求解 当等腰三角形变式为正方形时 依然沿用刚才的方法便可破解 此类问题 解 解 1 BAPBCPQAPQ ABCAPQ CQPBAP 又 ACAB CB QCP ABP AB CP BP CQ 5 ACAB8 BC6 BP268 CP 5 2 6 CQ 5 12 CQ 2 若点在线段上 由 1 知 PCB AB CP BP CQ xBP 8 BCxBPBCCP 8 又 即 yCQ 5 AB 5 8x x y xxy 5 8 5 1 2 故所求的函数关系式为 xxy 5 8 5 1 2 80 x 若点在线段的延长线上 如图 11 PCB CPQAPBAPQ PABAPBABC ABCAPQ PABCPQ 又 ABCABP 180 A BC 备用图 A BC P Q A BC D 图 12 A B C 备用图 P Q ACBPCQ 180ACBABC PCQABP QCP PBA PC AB CQ BP xBP xBPBCCP 85 AByCQ 即 xy x 8 5 xxy 5 8 5 1 2 0 x 2 当点在线段上 或 PBC 2 55 BP 2 55 BP 当点在线段的延长线上 则点在线段的延长线上 PBCQDC 2 535 BP 当点在线段的延长线上 则点在线段的延长线上 PCBQDC 2 535 BP 点评 点评 此题是典型的图形变式题 记住口诀 图形改变 方法不变 动点在线段上时 通过哪两个三 角形相似求解 当动点在线段的延长线上时 还是找原来的两个三角形 多数情况下这两个三角形还是 相似的 还是可以沿用原来的方法求解 强化训练 强化训练 1 如图 在 ABC 中 是边上的一个动点 点在边上 且8 ACAB10 BCDBCEAC CADE 1 求证 ABD DCE 2 如果 求与的函数解析式 并写出自变量的定义域 xBD yAE yxx 3 当点是的中点时 试说明 ADE 是什么三角形 并说明理由 DBC 2 已知 如图 在 ABC 中 点 D 在边 AB5 ACAB6 BC 上 点 E 在边 BC 上 又点 F 在边 AC 上 且ABDE BDEF 1 求证 FCE EBD 2 当点 D 在线段 AB 上运动时 是否有可能使 EBDFCE SS 4 如果有可能 那么求出 BD 的长 如果不可能请说明理由 3 如图 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 P 是 BC 上一点 且 BP 2 将一个大小与 B 相等的角的顶点放在 P 点 然后将这个角绕 P 点 转动 使角的两边始终分别与 AB AC 相交 交点为 D E 1 求证 BPD CEP 2 是否存在这样的位置 PDE 为直角三角形 C P E A B D A BC D E A BC D E F 若存在 求出 BD 的长 若不存在 说明理由 4 如图 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 P 是 BC 上的一个动点 与 B C 不重合 PE AB 与 E PF BC 交 AC 与 F 设 PC x 记 PE PF 1 y 2 y 1 分别求 关于 x 的函数关系式 1 y 2 y 2 PEF 能为直角三角形吗 若能 求出 CP 的长 若不能 请说明理 由 5 如图 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 P 是 BC 上的一个动点 与 B C 不重合 PE AB 与 E PF BC 交 AC 与 F 设 PC x PEF 的面积为 y 1 写出图中的相似三角形不必证明 2 求 y 与 x 的函数关系式 并写出 x 的取值范围 3 若 PEF 为等腰三角形 求 PC 的长 6 已知在等腰三角形中 是的中点 是上的动点 不与ABC4 6ABBCAC DACEBC 重合 连结 过点作射线 使 射线交射线于点 交BCDEDDFEDFA DFEBF 射线于点 ABH 1 求证 CED ADH 2 设 ECx BFy 用含的代数式表示 xBH 求关于的函数解析式 并写出的定义域 yxx 7 已知在梯形ABCD中 AD BC AD BC 且AD 5 AB DC 2 1 如图 8 P为AD上的一点 满足 BPC A 求证 ABP DPC 求AP的长 2 如果点P在AD边上移动 点P与点A D不重合 且满足 BPE A PE交直线BC 于点E 同时交直线DC于点Q 那么 当点Q在线段DC的延长线上时 设AP x CQ y 求y关于x的函数解析式 并写出函数的 定义域 当CE 1 时 写出AP的长 不必写出解题过程 C P E A B F C P E A B F H A B C D E F C D A B P 8 已知 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC AM DC E F 分别是线段 AD AM 上的动 90B8 AB12 AD 3 4 tan C 点 点 E 与 A D 不重合 且 设AMBFEM xDE yMF 1 求证 DMAM 2 求与的函数关系式并写出定义域 yx 3 若点 E 在边 AD 上移动时 为等腰三角形 求的值 EFM x 9 已知在梯形 ABCD 中 AD BC AD BC 且 BC 6 AB DC 4 点 E 是 AB 的中点 1 如图 P 为 BC 上的一点 且 BP 2 求证 BEP CPD 2 如果点 P 在 BC 边上移动 点 P 与点 B C 不重合 且满足 EPF C PF 交直线 CD 于点 F 同时交直线 AD 于点 M 那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时 设 BP DF 求关于的函数解析式 并写出函数的xyyx 定义域 当时 求 BP 的长 BEPDMF SS 4 9 10 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD BC 4 AD 2 点 M 为边 BC 的中点 以 M 为顶点作 EMF B 射线 ME 交边 AB 于点 E 射线 MF 交边 CD 于点 F 连结 EF 1 指出图中所有与 BEM 相似的三角形 并加以证明 2 设 BE x CF y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出定义域 答案 答案 1 解 1 AB AC B C ADC ADE CDE B BAD BAD CDE ABD DCE A E F D B M C E D CB A P 第 25 题图 E D CB A 备用图 A BC D M E F 2 ABD DCE AB CD BD CE xBD yAE xDC 10 y x x 810 8 8 4 5 8 1 2 xxy 100 x 3 是的中点 AD BC DAE ADE 90 ACAB DBCDEAE ADE 是直角三角形 2 解 1 AB AC B C BED DEF C EFC 90 又 BED EFCBDEF FCE EBD 2 BD x BE x 3 5 xEC 3 5 6 FCE EBD 若 2 BD EC S S BED FEC EBDFCE SS 44 3 5 6 2 x x 11 18 x BD 不存在3 11 36 3 5 6 x 3 解 1 AB AC B C DPC DPE EPC B BDP EPC BDP ABD DCE 2 DPE B90 若 PDE 90 在 Rt ABH 和 Rt PDE 中 cos ABH cos DPE 5 3 PE PD AB BH 5 3 PC BD PE PD PC 4 5 12 BD 若 PED 90 在 Rt ABH 和 Rt PDE 中 cos ABH cos PED 5 3 PD PE AB BH 3 5 PC BD PE PD PC 4 舍去 5 3 20 BD 综上所述 BD 的长为 5 12 4 解 1 5 24 5 4 6 5 4 1 xxyxy 3 4 2 2 FPE B90 若 PFE 90 在 Rt ABH 和 Rt PFE 中 cos ABH cos FPE 5 3 PE PF AB BH 5 3 1 2 y y 5 3 5 24 5 4 3 4 x x 17 27 x 若 PEF 90 在 Rt ABH 和 Rt PFE 中 C P E A B D H C P E A B D H C P E A B F H C P E A B F H cos ABH cos FPE 5 3 PE PF AB BH 3 5 1 2 y y 3 5 5 24 5 4 3 4 x x 3 x 5 解 1 PEB EPC 2 PC x xPF 3 4 6 5 4 xPE 6 25 16 5 4 xEPEH 6 75 32 6 25 16 3 4 2 1 2 1 xxxxEHPFy 即xxy 25 64 75 32 2 30 x 3 当 PE PF 时 EPC PEB PC BE x 5 3 6 x x 4 9 x 当 PE EF 时 cos EPH cosB xPFPH 3 2 2 1 5 3 6 5 4 3 2 x x 43 108 x 当 FE PF 时 cos FPM cosB 6 5 2 2 1 xEPPM 5 3 3 4 6 5 2 x x 2 x 综上所述 PC 的长分别为 4 9 x 43 108 2 6 解 1 ABBC AC CDEEDFAH 又 EDFA CDEH CED ADH 2 CED ADH CECD ADAH 是的中点 又 DAC6AC 3ADCD 4CEx AB 当点在线段的延长线上时 HAB 3 34 x BH 9 4BH x 当点在线段上时 HAB 3 34 x BH 9 4BH x 过点作 DG AB 交于点 DBCG 1 2 DGCGCD ABBCAC 2 2DGBG 当点在线段的延长线上时 HAB BHBF GDGF 9 4 22 y x y 1889 0 924 x yx x C P E A B F G H M 当点在线段上时 HAB BHBF GDGF 9 4 22 y x y 818 9 4 924 x yx x 7 解 1 证明 ABP 180 A APB DPC 180 BPC APB BPC A ABP DPC 在梯形ABCD中 AD BC AB CD A D ABP DPC 解 设AP x 则DP 5 x 由 ABP DPC 得 即 DC PD AP AB 2 52x x 解得x1 1 x2 4 则AP的长为 1 或 4 2 解 类似 1 易得 ABP DPQ DQ AP PD AB 即 得 1 x 4 y x x 25 2 2 2 5 2 1 2 xxy AP 2 或AP 3 5 8 证明 1 过点 M 作交于 GADMG AD AM DCCAMB 8AB 90B BM AB CAMB tantan BM 8 3 4 6BM AD BC AB MG AG BM 6 AD 12 AG GD AM DMAGM DGM 2 AMBFEM AFEAMB EFM AEM FM EM EM AM 2222 6 8EM1086AMx y x x 22 22 6 8 6 8 10 定义域为 10 5 6 10 1 y 2 xx120 x 3 EM FMFEMAEFMAEEFM 若为等腰三角形 则 EF EM 或 EF FMEFM 当 EF EM 时 12 10 2xx 当 EF F