中考专题复习之切线的判定与性质

1 中考专题复习之切线的判定与性质中考专题复习之切线的判定与性质 知识考点 1 掌握切线的判定及其性质的综合运用 在涉及切线问题时 常连结过切点的半径 切线的判定常用以下两种 方法 一是连半径证垂直 二是作垂线证半径 2 掌握切线长定理的灵活运用 掌握三角形和多边形的内切圆 三角形的内心 精典例题 例 1 如图 AC 为 O 的直径 B 是 O 外一点 AB 交 O 于 E 点 过 E 点作 O 的切线 交 BC 于 D 点 DE DC 作 EF AC 于 F 点 交 AD 于 M 点 1 求证 BC 是 O 的切线 2 EM FM 分析 1 由于 AC 为直径 可考虑连结 EC 构造直角三角形来解题 要证 BC 是 O 的切线 证到 1 3 900即可 2 可证到 EF BC 考虑用比例线段证线段相等 证明 1 连结 EC DE CD 1 2 DE 切 O 于 E 2 BAC AC 为直径 BAC 3 900 1 3 900 故 BC 是 O 的切线 2 1 3 900 BC AC 又 EF AC EF BC CD MF AD AM BD EM BD CD EM FM 例 2 如图 ABC 中 AB AC O 是 BC 的中点 以 O 为圆心的圆与 AB 相切于点 D 求证 AC 是 O 的切线 分析 由于 O 与 AC 有无公共点未知 因此我们从圆心O 向 AC 作垂线段 OE 证 OE 就是 O 的半径即可 证明 连结 OD OA 作 OE AC 于 E AB AC OB OC AO 是 BAC 的平分线 AB 是 O 的切线 OD AB 又 OE AC OE OD AC 是 O 的切线 例 3 如图 已知 AB 是 O 的直径 BC 为 O 的切线 切点为 B OC 平行于弦 AD OA r 1 求证 CD 是 O 的切线 2 求的值 OCAD 3 若 AD OC 求 CD 的长 r 2 9 分析 1 要证 CD 是 O 的切线 由于 D 在 O 上 所以只须连结 OD 证 OD DC 即可 2 求 的值 一般是利用相似把转化为其它线段长的乘积 若其它两条线段长的乘积能求出来 则可完OCAD OCAD 成 3 由 AD OC 可求出OCAD r 2 9 AD OC 根据勾股定理即可求出 CD 证明 1 连结 OD 证 ODC 900即可 2 连结 BD AB 为 O 的直径 ADB 900 OBC 900 ADB OBC 又 A 3 ADB OBC OC AB OB AD 2 2rABOBOCAD 例 1 图 3 2 1 M FO E D C B A 例 2 图 E O D CB A 例 3 图 3 2 1 O D C BA 2 3 由 2 知 又知 AD OC 2 2rOCAD r 2 9 AD OC 是关于的方程的两根x02 2 9 22 rrxx 解此方程得 2 1 r x rx4 2 OC OC rr4 CD rrrODOC1516 2222 探索与创新 问题一 如图 以正方形 ABCD 的边 AB 为直径 在正方形内部作半圆 圆心为 O CG 切半圆于 E 交 AD 于 F 交 BA 的延长线于 G GA 8 1 求 G 的余弦值 2 求 AE 的长 略解 1 设正方形 ABCD 的边长为 FA FE 6 a在 Rt FCD 中 解得 222 CDFDFC 222 ababa ba4 5 4 5 4 cos b b ba a FC CD FCD AB CD G FCD 5 4 cos G 2 连结 BE CG 切半圆于 E AEG GBE G 为公共角 AEG EBG 2 1 32 16 GB GE BE AE 在 Rt AEB 中 可求得5 5 24 AE 问题二 如图 已知 ABC 中 AC BC CAB 定值 O 的圆心 O 在 AB 上 并分别与 AC BC 相切于点 P Q 1 求 POQ 2 设 D 是 CA 延长线上的一个动点 DE 与 O 相切于点 M 点 E 在 CB 的延长线上 试判断 DOE 的大小 是否保持不变 并说明理由 分析 1 连结 OC 利用直角三角形的性质易求 POQ 2 试将 DOE 用含的式子表示出来 由于为 定值 则 DOE 为定值 解 1 连结 OC BC 切 O 于 P Q 1 2 OP CA OQ CB CA CB CO AB COP CAB COQ CBA CAB POQ COP COQ 2 2 由 CD DE CE 都与 O 相切得 ODE CDE OED CED 2 1 2 1 DOE 1800 ODE OED 1800 CDE CED 2 1 1800 1800 ACB 2 1 1800 1800 1800 2 1 2 问题一图 G F E O D CB A 问题二图 N Q P E O D C BA 3 0 180 DOE 为定值 跟踪训练 一 选择题 1 圆的切线垂直于经过切点的半径 的逆命题是 A 经过半径外端点的直线是圆的切线 B 垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线 C 垂直于半径的直线是圆的切线 D 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 在 Rt ABC 中 A 900 点 O 在 BC 上 以 O 为圆心的 O 分别与 AB AC 相切于 E F 若 AB AC a 则 O 的半径为 b A B C D ab ab ba ba ab 2 ba 3 正方形 ABCD 中 AE 切以 BC 为直径的半圆于 E 交 CD 于 F 则 CF FD A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 5 4 如图 过 O 外一点 P 作 O 的两条切线 PA PB 切点分别为 A B 连结 AB 在 AB PB PA 上分别取一点 D E F 使 AD BE BD AF 连结 DE DF EF 则 EDF A 900 P B 900 P C 1800 P D 450 P 2 1 2 1 第 3 题图 O F E D C B A 第 4 题图 P O F E D B A 第 6 题图 C O E D BA 二 填空题 5 已知 PA PB 是 O 的切线 A B 是切点 APB 780 点 C 是 O 上异于 A B 的任一点 则 ACB 6 如图 AB BC DC BC BC 与以 AD 为直径的 O 相切于点 E AB 9 CD 4 则四边形 ABCD 的面积为 7 如图 O 为 Rt ABC 的内切圆 点 D E F 为切点 若 AD 6 BD 4 则 ABC 的面积为 8 如图 已知 AB 是 O 的直径 BC 是和 O 相切于点 B 的切线 过 O 上 A 点的直线 AD OC 若 OA 2 且 AD OC 6 则 CD 第 7 题图 F C O E D B A 第 8 题图 C O D BA 第 9 题图 C ODB A 9 如图 已知 O 的直径为 AB BD OB CAB 300 请根据已知条件和所给图形写出 4 个正确的结论 除 OA OB BD 外 10 若圆外切等腰梯形 ABCD 的面积为 20 AD 与 BC 之和为 10 则圆的半径为 三 计算或证明题 4 11 如图 AB 是半 O 的直径 点 M 是半径 OA 的中点 点 P 在线段 AM 上运动 不与点 M 重合 点 Q 在 半 O 上运动 且总保持 PQ PO 过点 Q 作 O 的切线交 BA 的延长线于点 C 1 当 QPA 600时 请你对 QCP 的形状做出猜想 并给予证明 2 当 QP AB 时 QCP 的形状是 三角形 3 则 1 2 得出的结论 请进一步猜想 当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置时 QCP 一定是 三角形 12 如图 割线 ABC 与 O 相交于 B C 两点 D 为 O 上一点 E 为的中点 OE 交 BC 于 F DE 交 AC BC 于 G ADG AGD 1 求证 AD 是 O 的切线 2 如果 AB 2 AD 4 EG 2 求 O 的半径 第 11 题图 M Q PCO B A 第 12 题图 D E F G C B A 第 13 题图 O D E C B A 13 如图 在 ABC 中 ABC 900 O 是 AB 上一点 以 O 为圆心 OB 为半径的圆与 AB 交于点 E 与 AC 切于点 D AD 2 AE 1 求 BCD S 14 如图 AB 是半圆 圆心为 O 的直径 OD 是半径 BM 切半圆于 B OC 与弦 AD 平行且交 BM 于 C 1 求证 CD 是半圆的切线 2 若 AB 长为 4 点 D 在半圆上运动 设 AD 长为 点 A 到直线 CD 的距离为 试求出与之间的函xyyx 数关系式 并写出自变量的取值范围 x 第 14 题图 M O D C BA 第 15 题图 T E P OC B A 15 如图 AB 是 O 的直径 点 C 在 O 的半径 AO 上运动 PC AB 交 O 于 E PT 切 O 于 T PC 2 5 1 当 CE 正好是 O 的半径时 PT 2 求 O 的半径 2 设 求出与之间的函数关系式 yPT 2 xAC yx 3 PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形 若能 请求出 PTC 的面积 若不能 请说明理由 跟踪训练参考答案 一 选择题 DCBB 二 填空题 5 51 或 129 6 78 7 24 8 32 5 9 ACB 900 AB 2BC DC 是 O 的切线 BD BC 等 10 2 三 计算或证明题 11 1 QCP 是等边三角形 2 等腰直角三角形 3 等腰三角形 12 1 证 OD AD 2 32 13 过 D 作 DF BC 于 F 5 18 BCD S 14 1 证 ODC 900 2 连结 BD 过 A 作 AE CD 于 E 证 ADB AED 则有 即 AD AB AE AD 4 x x y 2 4 1 x