2013届高三数学配套月考（三）试题（B）新课标

用心 爱心 专心 1 20132013 届高三新课标数学配套月考试题三届高三新课标数学配套月考试题三 B B 适用地区 新课标地区 考查范围 集合 逻辑 函数 导数 三角 向量 数 列 不等式 立体几何 解析几何 建议使用时间 2012 年 10 月底 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 考生作答时 将答案答在答题卡上 在 本试卷上答题无效 考试结束后 将本 试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生务必先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真核对条形码上的 姓名 准考证号 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 2 选择题答案使用 2B 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 非 选择题答案使用 0 5 毫米的黑色中性 签字 笔或碳素笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域书写的答案无效 4 保持卡面清洁 不折叠 不破损 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 2012 太原二模 函数的定义域为 全集 2 1 4 y x M 2 log11Nxx 则图形中阴影部分表示的集合是 U R A B 21xx 22xx C D 12xx 2x x 图 1 2 2012 银川一中第三次月考 若 则的值是 sincos2 tan 3 A B C D 23 23 23 23 3 2012 郑州质检 一个几何体的三视图如图 2 所示 则这个几何体的表面积为 A B C D 56 526 58 528 用心 爱心 专心 2 图 2 4 理 2012 浙江卷 设a R 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0 与直线 l2 x a 1 y 4 0 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 文 2012 浙江卷 设a R 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0 与直线 l2 x 2y 4 0 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 2012 哈尔滨第六中学三模 若是异面直线 a ba b 则下列命题中是真命题的为 l A 与分别相交 B 与都不相交 a b a b C 至多与中的一条相交 D 至少与中的一条相交 a b a b 6 2012 琼海一模 等比数列的前项和为 则实数的值是 n anaS n n 1 3a A 3 B 3 C 1 D 1 用心 爱心 专心 3 7 2012 山东卷 圆 x 2 2 y2 4 与圆 x 2 2 y 1 2 9 的位置关系为 A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 8 2012 昆明第一中学一摸 已知 其中为正数 若 1 1 1ambn m n 则的最小值是 0 Aa b 11 mn A 2B C D 82 24 9 2012 湖南卷 某几何体的正视图和侧视图均如图 3 所示 则该几何体的俯视图不可能 是 图 3 10 2012 课标全国卷 等轴双曲线C的中心在原点 焦点在x轴上 C与抛物线y2 16x 的准线交于A B两点 AB 4 则C的实轴长为 3 A B 2 C 4 D 8 22 11 2012 银川一中第三次月考 已知函数若 3 0 ln1 0 xx f x xx 2 2fxf x 则实数的取值范围是 x A 1 2 B 2 1 C 1 2 D 2 1 12 2012 郑州质检 如图 4 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点 2 20ypx p A B 交其准线于点C 若 且 则此抛物线方程为 2BCBF 3AF 用心 爱心 专心 4 A B C D 2 9yx 2 6yx 2 3yx 2 3yx 图 4 第 II 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在答题卷相应位置上 13 2012 江西卷 椭圆 1 a b 0 的左 右顶点分别是A B 左 右焦点分别是 x2 a2 y2 b2 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 14 2012 山东卷 如图 5 正方体的棱长为 1 分别为线段 1111 ABCDABC D E F 11 AA BC上的点 则三棱锥的体积为 1 DEDF 图 5 15 2012 辽宁卷 已知正三棱锥ABC 点P A B C都在半径为的求面上 若P 3 PA PB PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 16 2012 银川一中第三次月考 给出下列四个命题 已知都是正数 且 则 a b m ama bmb ab 用心 爱心 专心 5 若函数的定义域是 则 1lg axxf 1 xx1 a 已知x 0 则的最小值为 2 sin sin yx x 2 2 已知a b c成等比数列 a x b成等差数列 b y c也成等差数列 则 的值等于 2 y c x a 其中正确命题的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 本小题满分 10 分 2012 银川一中第三次月考 已知a 2 cos x cos x b cos x sin x 3 其中 0 0 的焦点为F 准线为l A为C上一点 已知以F为圆心 FA为半径的圆F交l于B D两点 1 若 BFD 90 ABD的面积为 4 求p的值及圆F的方程 2 2 若A B F三点在同一直线m上 直线n与m平行 且n与C只有一个公共点 求 坐标原点到m n距离的比值 22 本小题满分 12 分 理 2012 浙江卷 已知a 0 b R 函数f x 4ax3 2bx a b 1 证明 当 0 x 1 时 用心 爱心 专心 9 i 函数f x 的最大值为 2a b a ii f x 2a b a 0 2 若 1 f x 1 对x 0 1 恒成立 求a b的取值范围 文 2012 浙江卷 已知a R 函数f x 4x3 2ax a 1 求f x 的单调区间 2 证明 当 0 x 1 时 f x 2 a 0 试卷类型 B 2013 届高三新课标原创月考试题三 答案 数学 1 C 解析 由图可知 阴影部分表 2 4022 M xxx 或 13Nxx 示的集合是 22 1312MNxxxxxx R 2 B 解析 由解得 所以 所 22 sincos2 sincos1 2 sincos 2 sin tan1 cos 以 tan 3 tantan 13 3 23 1 13 1tantan 3 3 D 解析 由三视图可知 该几何体是一个横放的三棱柱 底面是直角边长分别为 1 2 的 直角三角形 高为 2 故这个几何体的表面积为 22 1 1 2 22 2 1 212282 5 2 S 4 理 A 解析 当a 1 时 直线l1 x 2y 1 0 与直线l2 x 2y 4 0 显然平行 用心 爱心 专心 10 所以条件具有充分性 若直线l1与直线l2平行 则有 解之得 a 1 或 a 1 2 a 1 a 2 经检验 均符合 所以条件不具有必要性 故条件是结论的充分不必要条件 文 C 解析 若a 1 则直线l1 ax 2y 1 0 与l2 x 2y 4 0 平行 若直线 l1 ax 2y 1 0 与l2 x 2y 4 0 平行 则 2a 2 0 即a 1 所以 a 1 是 l1 ax 2y 1 0 与l2 x 2y 4 0 平行 的充要条件 5 D 解析 若与a b都不相交 则a b与已知矛盾 故B C错误 直线可与直线a b 中的一条平行 另一条相交 也可以与两条直线都相交 但不交于同一个点 所以 A 错误 D 正确 6 B 解析 因为为等比数列 所以 所以 33 3 n n a S n a1 3 a 3a 7 B 解析 因为两圆的圆心距为 又因为 2 2 2 1 0 217 3 2 0 易知抛物线y2 16x的准线方程 x2 a2 y2 a2 为x 4 联立Error Error 得16 y2 a2 因为 AB 4 所以y 2 代入 式 得 33 16 2 2 a2 解得a 2 a 0 所以C的实轴长为2a 4 故选C 3 11 D 解析 当时 有 此时因为2x 2 20 x 3 2 2ln1xx 所以不等式无解 当时 有 3 2 20 ln10 xx 02x 2 20 x 用心 爱心 专心 11 等价于解得 结合前提条件得 2 ln 21ln1xx 2 2 211 10 30 xx x x 11x 当时 有 此时因为01x 20 x 2 20 x 23 ln 21xx 不等式恒成立 故有 当 223 ln 21ln 3ln10 0 xxx 20 x 时 有 即 解得 结合前提条件2x 2 20 x 3 23 2xx 2 2xx 21x 得 综上 得 22x 21x 12 C 解析 作准线交准线于点 由抛物线的定义得 故由BD DBDBF 得 所以 故直线的倾斜角为 所以直线的方程2BCBF 2BCBD 30BCD 60 为 联立消去得 解得3 2 p yx 2 3 2 2 p yx ypx y22 122030 xpxp 故由抛物线的定义得 所以此抛物线的方程 3 26 AB pp xx 3 23 22 pp AFp 为 2 3yx 13 解析 由椭圆的定义知 AF1 a c F1F2 2c BF1 a c 因为 5 5 AF1 F1F2 BF1 成等比数列 因此 4c2 a c a c 整理得 5c2 a2 两边同除以 a2得 5e2 1 解得e 5 5 14 解析 法一 因为点在线段上 所以 又因为点在 6 1 E 1 AA 2 1 11 2 1 1 DED SF 线段上 所以点到平面的距离为 1 即 所以CB1F 1 DED1 h 6 1 1 2 1 3 1 3 1 111 hSVV DEDDEDFEDFD 法二 使用特殊点的位置进行求解 令点在点处 点在点处 则EAFC 6 1 111 2 1 3 1 3 1 1 11 DDSVV ADCADCDEDFD 15 解析 因为在正 3 3 三棱锥ABC中 P PA PB PC两两互相垂直 所以可以把该正三棱锥看 作为一个正方体的一部分 如图所示 此正方体 内接于球 正方体的体对角线为球的直径 球心为正 方体体对角线的中点 球心到截面ABC的距离为球的 用心 爱心 专心 12 半径减去正三棱锥ABC面ABC上的高 已知球的半径为 所以正方体的棱长为 2 可P 3 求得正三棱锥ABC面ABC上的高为 所以球心到截面ABC的距离为P 2 3 3 2 33 3 33 16 解析 对于 由 得 又都是正数 所以 ama bmb 0 m ba bm b a b m 即 故 正确 对于 令 此时函数的定义域0ba ab 2a lg 21 f xx 是 不是 故 错误 对于 设 则 因 1 2 x x 1 xx sin0 1xt 2 yt t 为在区间上单调递减 所以的最小值是 即 2 yt t 0 1 2 yt t 13f 的最小值为3 故 错误 对于 由题意 2 sin sin yx x 所以 2 2 2bacxabybc 22 22 acacac abbc xyabbc 故 正确 422acabbc abbc 2 422422 2 2 acabbcacabbc abacbbcacabbc 17 解 1 f x a b 2 cos x cos x cos x sin x 3 2cos2 x 2cos xsin x 3 用心 爱心 专心 13 1 cos2 x sin2 x 1 2sin 2 x 3 6 因为直线x 是函数f x 图象的一条对称轴 所以 sin 1 3 2 3 6 所以 k k Z 2 3 6 2 所以 k 3 2 1 2 因为 所以 又 所以k 0 01 11 33 k k Z 1 2 2 由 1 知 f x 1 2sin x 6 列表 x 6 5 6 2 0 2 7 6 x 2 3 6 3 5 6 y0 1 1310 描点作图 函数f x 在 上的图象如图所示 用心 爱心 专心 14 18 理 解 1 证明 因为四边形ABCD是等腰梯形 AB CD DAB 60 所以 ADC BCD 120 又CB CD 所以 CDB 30 因此 ADB 90 AD BD 又AE BD 且AE AD A AE AD 平面AED 所以BD 平面AED 2 解法一 取BD的中点G 连接CG FG 由于CB CD 因此CG BD 又FC 平面ABCD BD 平面ABCD 所以FC BD 由于FC CG C FC CG 平面FCG 所以BD 平面FCG 故BD FG 所以 FGC为二面角F BD C的平面角 在等腰三角形BCD中 由于 BCD 120 因此CG CB 1 2 用心 爱心 专心 15 又CB CF 所以GF CG CG2 CF25 故 cos FGC 5 5 因此二面角F BD C的余弦值为 5 5 解法二 由 1 知AD BD 所以AC BC 又FC 平面ABCD 因此CA CB CF两两垂直 以C为坐标原点 分别以CA CB CF 所在的直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设CB 1 则C 0 0 0 B 0 1 0 D F 0 0 1 3 2 1 2 0 因此 0 1 1 BD 3 2 3 2 0 BF 设平面BDF的一个法向量为m x y z 则m 0 m 0 BD BF 所以x y z 取z 1 则m 1 1 333 由于 0 0 1 是平面BDC的一个法向量 CF 则 cos m CF m CF m CF 1 5 5 5 所以二面角F BD C的余弦值为 5 5 文 解 1 证明 取BD的中点O 连接CO EO 用心 爱心 专心 16 由于CB CD 所以CO BD 又EC BD EC CO C CO EC 平面EOC 所以BD 平面EOC 因此BD EO 又O为BD的中点 所以BE DE 2 证法一 取AB的中点N 连接DM DN MN 因为M是AE的中点 所以MN BE 又MN 平面BEC BE 平面BEC 所以MN 平面BEC 又因为 ABD为正三角形 所以 BDN 30 又CB CD BCD 120 因此 CBD 30 所以DN BC 又DN 平面BEC BC 平面BEC 所以DN 平面BEC 又MN DN N 故平面DMN 平面BEC 又DM 平面DMN 所以DM 平面BEC 证法二 延长AD BC交于点F 连接EF 因为CB CD BCD 120 所以 CBD 30 因为 ABD为正三角形 所以 BAD 60 ABC 90 因此 AFB 30 所以AB AF 1 2 又AB AD 所以D为线段AF的中点 用心 爱心 专心 17 连接DM 由点M是线段AE的中点 因此DM EF 又DM 平面BEC EF 平面BEC 所以DM 平面BEC 19 解 1 设数列的公比为 n bq 因为 所以由 得 3 n a n b 1 1 n n bbq 1 1 33 n aan q 两边取以 3 为底的对数 得 13 1 log n aanq 所以数列是以为公差的等差数列 n a 3 log q 2 因为 813 aam 所以由等差中项的性质 得 120813 aaaam 所以 120 1220 20 10 2 aa aaam 所以 1220 10 1 220 33 aaam bbb 20 理 解 方法一 如图所示 以点A为原点建立空间直角坐标系 依题意得A 0 0 0 D 2 0 0 C 0 1 0 B P 0 0 2 1 2 1 2 0 1 易得 0 1 2 2 0 0 于是 0 所以PC AD PC AD PC AD 2 0 1 2 2 1 0 设平面PCD的法向量n x y z PC CD 用心 爱心 专心 18 则Error Error 即Error Error 不妨令z 1 可得n 1 2 1 可取平面PAC的法向量m 1 0 0 于是 cos m n 从而 sin m n m n m n 1 6 6 6 30 6 所以二面角A PC D的正弦值为 30 6 3 设点E的坐标为 0 0 h 其中h 0 2 由此得 BE 1 2 1 2 h 由 2 1 0 故 cos CD BE CD BE CD BE CD 3 2 1 2 h2 5 3 10 20 h2 所以 cos30 解得h 即AE 3 10 20 h2 3 2 10 10 10 10 方法二 1 由PA 平面ABCD 可得PA AD 又由AD AC PA AC A 故AD 平面PAC 又PC 平面PAC 所以PC AD 2 如图所示 作AH PC于点H 连接DH 用心 爱心 专心 19 由PC AD PC AH 可得PC 平面ADH 因此DH PC 从而 AHD为二面角A PC D的平面角 在 Rt PAC中 PA 2 AC 1 由此得AH 2 5 由 1 知AD AH 故在 Rt DAH中 DH AD2 AH2 230 5 因此 sin AHD 所以二面角A PC D的正弦值为 AD DH 30 6 30 6 3 如图所示 因为 ADC 45 故过点B作CD的平行线必与线段AD相交 设交点为 F 连接BE EF 故 EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角 由BF CD 故 AFB ADC 在 Rt DAC中 CD sin ADC 故 sin AFB 5 1 5 1 5 用心 爱心 专心 20 在 AFB中 由 AB sin FAB sin135 可得BF BF sin FAB AB sin AFB 1 2 2 2 5 2 由余弦定理 BF2 AB2 AF2 2AB AF cos FAB 可得AF 1 2 设AE h 在 Rt EAF中 EF AE2 AF2 h2 1 4 在 Rt BAE中 BE AE2 AB2 h2 1 2 在 EBF中 因为EF BE 从而 EBF 30 由余弦定理得 cos30 可解得h BE2 BF2 EF2 2BE BF 10 10 所以AE 10 10 文 解 1 如图所示 在四棱锥P ABCD中 因为底面ABCD是矩形 所以AD BC且AD BC 又因为AD PD 故 PAD为异面直线PA与BC所成的角 在 Rt PDA中 tan PAD 2 PD AD 所以异面直线PA与BC所成角的正切值为 2 2 证明 由于底面ABCD是矩形 故AD CD 又由于AD PD CD PD D 因此AD 平面PDC 而AD 平面ABCD 所以平面PDC 平面ABCD 3 在平面PDC内 过点P作PE CD交直线CD于点E 连接EB 由于平面PDC 平面ABCD 而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线 故PE 平面ABCD 由此得 PBE为直线PB与平面ABCD所成的角 用心 爱心 专心 21 在 PDC中 由于PD CD 2 PC 2 可得 PCD 30 3 在 Rt PEC中 PE PCsin30 3 由AD BC AD 平面PDC 得BC 平面PDC 因此BC PC 在 Rt PCB中 PB PC2 BC213 在 Rt PEB中 sin PBE PE PB 39 13 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 39 13 21 解 1 由已知可得 BFD为等腰直角三角形 BD 2p 圆F的半径 FA p 2 由抛物线定义可知A到l的距离d FA p 2 因为 ABD的面积为 4 所以 BD d 4 即 2p p 4 2 1 22 1 222 解得p 2 舍去 p 2 所以F 0 1 圆F的方程为 x2 y 1 2 8 2 因为A B F三点在同一直线m上 所以AB为圆F的直径 ADB 90 由抛物线定义知 AD FA AB 1 2 所以 ABD 30 m的斜率为或 3 3 3 3 当m的斜率为时 由已知可设n y x b 代入x2 2py得 3 3 3 3 x2 px 2pb 0 23 3 用心 爱心 专心 22 由于n与C只有一个公共点 故 p2 8pb 0 解得b 4 3 p 6 因为m的截距b1 3 p 2 b1 b 所以坐标原点到m n距离的比值为 3 当m的斜率为 时 由图形对称性可知 坐标原点到m n距离的比值为 3 3 3 22 理 解 1 i f x 12ax2 2b 12a x2 b 6a 当b 0 时 有f x 0 此时f x 在 0 上单调递增 当b 0 时 f x 12a x b 6a x b 6a 此时f x 在上单调递减 在上单调递增 0 b 6a b 6a 所以当 0 x 1 时 f x max max f 0 f 1 max a b