三角形等高模型与鸟头模型知识例题精讲

4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 1 of 16 例题精讲例题精讲 板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式 三角形面积底高 2 从这个公式我们可以发现 三角形面积的大小 取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变 高越大 小 三角形面积也就越大 小 如果三角形的高不变 底越大 小 三角形面积也就越大 小 这说明当三角形的面积变化时 它的底和高之中至少有一个要发生变化 但是 当三角形的底和高同时发生 变化时 三角形的面积不一定变化 比如当高变为原来的 3 倍 底变为原来的 则三角形面积与原来的一 1 3 样 这就是说 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积 而不仅仅取决于高或底的变化 同时 也告诉我们 一个三角形在面积不改变的情况下 可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中 我们还会常常用到以下结论 等底等高的两个三角形面积相等 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 如左图 12 SSa b ba S2S1 DC BA 夹在一组平行线之间的等积变形 如右上图 ACDBCD SS 反之 如果 则可知直线平行于 ACDBCD SS ABCD 等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 两个平行四边形高相等 面积比等于它们的底之比 两个平行四边形底相等 面积比等于它们的高之比 例例 1 你有多少种方法将任意一个三角形分成 你有多少种方法将任意一个三角形分成 3 个面积相等的三角形 个面积相等的三角形 4 个面积相等的三角形 个面积相等的三角形 6 个面积相等的三角形 个面积相等的三角形 例例 2 如图 如图 BD 长长 12 厘米 厘米 DC 长长 4 厘米 厘米 B C 和和 D 在同一条直线上 在同一条直线上 求三角形求三角形 ABC 的面积是三角形的面积是三角形 ABD 面积的多少倍 面积的多少倍 求三角形求三角形 ABD 的面积是三角形的面积是三角形 ADC 面积的多少倍 面积的多少倍 三角形等高模型与鸟头模型三角形等高模型与鸟头模型 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 2 of 16 例例 3 如右图 如右图 和和都是矩形 都是矩形 的长是的长是厘米 厘米 的长是的长是 厘米 那么图中阴影部分的面厘米 那么图中阴影部分的面ABFECDEFAB4BC3 积是积是 平方厘米 平方厘米 AB C D E F 例例 4 如图 长方形如图 长方形的面积是的面积是平方厘米 点平方厘米 点 分别是长方形分别是长方形边上的中点 边上的中点 为为ABCD56EFGABCDH 边上的任意一点 求阴影部分的面积 边上的任意一点 求阴影部分的面积 AD H G F E D CB A 例例 5 长方形长方形的面积为的面积为 36 为各边中点 为各边中点 为为边上任意一点 问阴影部分面边上任意一点 问阴影部分面ABCD 2 cmEFGHAD 积是多少 积是多少 H G F E D C B A 例例 6 长方形长方形的面积为的面积为 3636 为各边中点 为各边中点 为为边上任意一点 问阴影部分面积是边上任意一点 问阴影部分面积是ABCDEFGHAD 多少 多少 H G F E D C B A C D B A 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 3 of 16 H G F E D CB A 例例 7 如右图 如右图 E 在在 AD 上 上 AD 垂直垂直 BC 厘米 厘米 厘米 求三角形厘米 求三角形 ABC 的面积是三角形的面积是三角形12AD 3DE EBC 面积的几倍 面积的几倍 E D CB A 例例 8 如图 在平行四边形如图 在平行四边形 ABCD 中 中 EF 平行平行 AC 连结 连结 BE AE CF BF 那么与那么与BEC 等积的三角形等积的三角形A 一共有哪几个三角形 一共有哪几个三角形 F D E C B A 例例 9 第四届第四届 迎春杯迎春杯 试题试题 如图 三角形如图 三角形的面积为的面积为 1 其中 其中 三角形 三角形ABC3AEAB 2BDBC 的面积是多少 的面积是多少 BDE A B E C D D C E B A 例例 10 2008 年四中考题年四中考题 如右图 如右图 已知阴影部分面积为 已知阴影部分面积为 5 平方厘米 平方厘米 ADDB AEEFFC 的面积是的面积是 平方厘米 平方厘米 ABC FE D C B A 例例 11 如图如图 ABCD 是一个长方形 点是一个长方形 点 E F 和和 G 分别是它们所在边的中点 如果长方形的面积是分别是它们所在边的中点 如果长方形的面积是 36 个平方单位 求三角形个平方单位 求三角形 EFG 的面积是多少个平方单位 的面积是多少个平方单位 FE G D C B A 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 4 of 16 例例 12 如图 大长方形由面积是如图 大长方形由面积是 12 平方厘米 平方厘米 24 平方厘米 平方厘米 36 平方厘米 平方厘米 48 平方厘米的四个小长平方厘米的四个小长 方形组合而成 求阴影部分的面积 方形组合而成 求阴影部分的面积 48cm2 24cm2 36cm2 12cm2 M N DC BA 12cm2 36cm2 24cm2 48cm2 例例 13 如图 三角形如图 三角形中 中 三角形 三角形 ADE 的面积是的面积是 20 平方厘米 三角形平方厘米 三角形ABC2DCBD 3CEAE 的面积是多少 的面积是多少 ABC E D C B A 例例 14 2009 年第七届年第七届 希望杯希望杯 二试六年级二试六年级 如图 在三角形如图 在三角形中 已知三角形中 已知三角形 三角形 三角形ABCADE 三角形 三角形的面积分别是的面积分别是 89 28 26 那么三角形 那么三角形的面积是的面积是 DCEBCDDBE E D C B A 例例 15 第四届第四届 小数报小数报 数学竞赛数学竞赛 如图 梯形如图 梯形 ABCD 被它的一条对角线被它的一条对角线 BD 分成了两部分 三角形分成了两部分 三角形 BDC 的面积比三角形的面积比三角形 ABD 的面积大的面积大 10 平方分米 已知梯形的上底与下底的长度之和是平方分米 已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米 分米 它们的差是它们的差是 5 分米 求梯形分米 求梯形 ABCD 的面积 的面积 D C B A 例例 16 图中图中AOB 的面积为的面积为 线段 线段 OB 的长度为的长度为 OD 的的 3 倍 求梯形倍 求梯形 ABCD 的面积 的面积 A 2 15cm O CB DA 解析 在中 因为 且 所以有 ABDA 2 15cm AOB S A 3OBOD 2 35cm AODAOB SS AA 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 5 of 16 因为和等底等高 所以有 ABDAACDA ABDACD SS AA 从而 在中 所以梯形面积 2 15cm OCD S A BCDA 2 345cm BOCOCD SS AA 2 155154580 cm 例例 17 如图 把四边形如图 把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形 改成一个等积的三角形 D C B A 例例 18 第三届 第三届 华杯赛华杯赛 初赛试题 一个长方形分成初赛试题 一个长方形分成 4 个不同的三角形 绿色三角形面积占长方形个不同的三角形 绿色三角形面积占长方形 面积的面积的 黄色三角形面积是 黄色三角形面积是 问 长方形的面积是多少平方厘米 问 长方形的面积是多少平方厘米 15 2 21cm 红 绿 黄 红 例例 19 是长方形是长方形内一点 已知内一点 已知的面积是的面积是 的面积是的面积是 求 求的面的面OABCDOBC 2 5cmOAB 2 2cmOBD 积是多少 积是多少 P O D C B A 例例 20 如右图 过平行四边形如右图 过平行四边形内的一点内的一点作边的平行线作边的平行线 若 若的面积为的面积为 8 8 平方平方ABCDPEFGHPBD 分米 求平行四边形分米 求平行四边形的面积比平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米 的面积大多少平方分米 PHCFPGAE A BC D E F G H P 例例 21 如右图 正方形如右图 正方形的面积是的面积是 正三角形 正三角形的面积是的面积是 求阴影 求阴影的面积 的面积 ABCD20BPC 15BPD P D CB A 例例 22 在长方形在长方形内部有一点内部有一点 形成等腰 形成等腰的面积为的面积为 16 等腰 等腰的面积占长方形面的面积占长方形面ABCDOAOB DOC 积的积的 那么阴影 那么阴影的面积是多少 的面积是多少 18 AOC 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 6 of 16 O D C BA 例例 23 20082008 年年 陈省身杯陈省身杯 国际青少年数学邀请赛六年级 如右图所示 在梯形国际青少年数学邀请赛六年级 如右图所示 在梯形中 中 ABCDE 分别是其两腰分别是其两腰 的中点 的中点 是是上的任意一点 已知上的任意一点 已知 的面积为的面积为 而 而FABCDGEFADG 2 15cm 的面积恰好是梯形的面积恰好是梯形面积的面积的 则梯形 则梯形的面积是的面积是 BCG ABCD 7 20 ABCD 2 cm A BC D EF G 例例 24 如图所示 四边形如图所示 四边形与与都是平行四边形 请你证明它们的面积相等 都是平行四边形 请你证明它们的面积相等 ABCDAEGF G F ED C BA 例例 25 如图 正方形如图 正方形 ABCD 的边长为的边长为 6 1 5 2 长方形 长方形 EFGH 的面积为的面积为 AE CF H G F E D C B A 例例 26 如图 如图 ABCD 为平行四边形 为平行四边形 EF 平行平行 AC 如果 如果ADE 的面积为的面积为 4 平方厘米 求三角形平方厘米 求三角形 CDFA 的面积 的面积 A E B F CD 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 7 of 16 例例 27 图中两个正方形的边长分别是图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和厘米和 4 厘米 则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘厘米 则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘 米 米 例例 28 如图 有三个正方形的顶点如图 有三个正方形的顶点 恰好在同一条直线上 其中正方形恰好在同一条直线上 其中正方形的边长为的边长为 10DGKGFEB 厘米 求阴影部分的面积 厘米 求阴影部分的面积 K O Q P H GF E DC BA 例例 29 2008 年年 华杯赛华杯赛 决赛决赛 右右图中 图中 和和是两个正方形 是两个正方形 和和相交于相交于 已知 已知ABCDCGEFAGCFH 等于等于的三分之一 三角形的三分之一 三角形的面积等于的面积等于 6 平方厘米 求五边形平方厘米 求五边形的面积 的面积 CHCFCHGABGEF H G FE D CB A 例例 30 第八届小数报数学竞赛决赛试题第八届小数报数学竞赛决赛试题 如下图 如下图 分别是梯形分别是梯形的下底的下底和腰和腰上的上的EFABCDBCCD 点 点 并且甲 乙 丙 并且甲 乙 丙 个三角形面积相等 已知梯形个三角形面积相等 已知梯形的面积是的面积是平方厘米 求平方厘米 求DFFC 3ABCD32 图中阴影部分的面积 图中阴影部分的面积 A BC D E F 丙 丙 丙 例例 31 如图 已知长方形如图 已知长方形的面积的面积 三角形 三角形的面积是的面积是 三角形 三角形的面积是的面积是 那么 那么ADEF16ADB3ACF4 三角形三角形的面积是多少 的面积是多少 ABC 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 8 of 16 F ED C B A 例例 32 如图 在平行四边形如图 在平行四边形中 中 求阴影面积与空白面积的比 求阴影面积与空白面积的比 ABCDBEEC 2CFFD H A BC D E F G 例例 33 第七届第七届 小机灵杯小机灵杯 数学竞赛五年级复赛数学竞赛五年级复赛 如图所示 三角形如图所示 三角形中 中 是是边的中点 边的中点 ABCDAB 是是边上的一点 且边上的一点 且 为为与与的交点 若的交点 若的面积为的面积为平方厘米 平方厘米 EAC3AEEC ODCBECEO a 的面积为的面积为平方厘米 且平方厘米 且是是平方厘米 那么三角形平方厘米 那么三角形的面积是的面积是 平方厘平方厘BDO bba 2 5ABC 米 米 E b a O D C B A 例例 34 如图 在梯形如图 在梯形中 中 且 且的面积比的面积比的面积小的面积小ABCD 4 3AD BE 2 3BE EC BOE AOD 10 平方厘米 梯形平方厘米 梯形的面积是的面积是 平方厘米 平方厘米 ABCD O A BC D E 例例 35 如右图所示 在长方形内画出一些直线 已知边上有三块面积分别是如右图所示 在长方形内画出一些直线 已知边上有三块面积分别是 那么图中 那么图中133549 阴影部分的面积是多少 阴影部分的面积是多少 A BC D E 49 35 13 例例 36 图中是一个各条边分别为图中是一个各条边分别为 5 厘米 厘米 12 厘米 厘米 13 厘米的直角三角形 将它的短直角边对折到斜厘米的直角三角形 将它的短直角边对折到斜 边上去与斜边相重合 那么图中的阴影部分边上去与斜边相重合 那么图中的阴影部分 即未被盖住的部分即未被盖住的部分 的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 9 of 16 例例 37 如图 长方形如图 长方形的面积是的面积是 2 2 平方厘米 平方厘米 是是的中点 阴影部分的面积是的中点 阴影部分的面积是ABCD2ECDE FDG 多少平方厘米 多少平方厘米 G F E D CB A 例例 38 2007 年六年级希望杯二试试题年六年级希望杯二试试题 如图 三角形田地中有两条小路如图 三角形田地中有两条小路和和 交叉处为 交叉处为 张 张AECFD 大伯常走这两条小路 他知道大伯常走这两条小路 他知道 且且 则两块地 则两块地和和的面积比是的面积比是DFDC 2ADDE ACFCFB F E D CB A 例例 39 年第一届年第一届 学而思杯学而思杯 综合素质测评六年级综合素质测评六年级试试 如图 如图 被被2008245BC 21AC ABC 分成分成个面积相等的小三角形 那么个面积相等的小三角形 那么 9DIFK K J I H G F E D C B A 例例 40 2007 年人大附中分班考试题年人大附中分班考试题 已知已知为等边三角形 面积为为等边三角形 面积为 400 分别为三边分别为三边ABCDEF 的中点 已知甲 乙 丙面积和为的中点 已知甲 乙 丙面积和为 143 求阴影五边形的面积 求阴影五边形的面积 丙是三角形丙是三角形 HBC 丙 丙丙 H N M JIF E D CB A 例例 41 2009 年四中入学测试题年四中入学测试题 如图 已知如图 已知 线段 线段将图形将图形5CD 7DE 15EF 6FG AB 分成两部分 左边部分面积是分成两部分 左边部分面积是 38 右边部分面积是 右边部分面积是 65 那么三角形 那么三角形的面积是的面积是 ADG 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 10 of 16 G FEDC B A 例例 42 2008 年仁华考题年仁华考题 如图 正方形的边长为如图 正方形的边长为 10 四边形 四边形的面积为的面积为 5 那么阴影部分的面 那么阴影部分的面EFGH 积是积是 H G A B C D E F 例例 43 2008 年走美六年级初赛年走美六年级初赛 如图所示 长方形如图所示 长方形内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70 ABCD8AB 四边形 四边形的面积为的面积为 15AD EFGO O G F E D CB A 例例 44 清华附中分班考试题清华附中分班考试题 如图 如果长方形如图 如果长方形的面积是的面积是平方厘米 那么四边形平方厘米 那么四边形的的ABCD56MNPQ 面积是多少平方厘米 面积是多少平方厘米 6 5 2 3 N M Q P DC BA 3 3 6 5 2 3 N M Q P DC BA 例例 45 2008 年日本第年日本第 12 届小学算术奥林匹克大赛初赛届小学算术奥林匹克大赛初赛 如图 阴影部分四边形的外接图形是边长为如图 阴影部分四边形的外接图形是边长为 的正方形 则阴影部分四边形的面积是的正方形 则阴影部分四边形的面积是 10cm 2 cm 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 11 of 16 1cm 4cm 例例 46 如图 三角形如图 三角形的面积是的面积是 的长度分别为的长度分别为11 3 求长方形 求长方形的面积 的面积 AEF17DEBFABCD AB CD E F 例例 47 2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛 如图 长方形如图 长方形中 中 ABCD67AB 分别是分别是边上的两点 边上的两点 那么 三角形 那么 三角形面积的最小值面积的最小值30BC EFABBC 49BEBF DEF 是是 AB CD E F 例例 48 2007 2007 首届全国资优生思维能力测试首届全国资优生思维能力测试 是边长为是边长为 1212 的正方形 如图所示 的正方形 如图所示 是内部任意是内部任意ABCDP 一点 一点 那么阴影部分的面积是 那么阴影部分的面积是 4BLDM 5BKDN P N M L K DC BA P A B CD K L M N 例例 49 如图所示 在四边形如图所示 在四边形中 中 分别是分别是各边的中点 求阴影部分与四各边的中点 求阴影部分与四 ABCDEFGHABCD 边形边形的面积之比 的面积之比 PQRS 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 12 of 16 S R Q P H G F E D C B A 例例 50 如图 四边形如图 四边形中 中 已知 已知ABCD 3 2 1DE EF FC 3 2 1BG GHAH 1 2AD BC 四边形四边形的面积等于的面积等于 4 则四边形 则四边形的面积的面积 ABCDEFHG H G F E D C BA 例例 51 2008 年日本小学算数奥林匹克大赛决赛年日本小学算数奥林匹克大赛决赛 有正三角形有正三角形 在边 在边 的正中间分的正中间分ABCABBCCA 别取点别取点 在边 在边 上分别取点上分别取点 使 使 当 当和和LMNALBMCNPQRLPMQNR PM 和和 和和的相交点分别是的相交点分别是 时 使时 使 RLPMQNQNRLXYZXYXL 这时 三角形这时 三角形的面积是三角形的面积是三角形的面积的几分之几 请写出思考过程 的面积的几分之几 请写出思考过程 XYZABC A BC N MQ R P L X Y Z 例例 52 如图 已知在梯形如图 已知在梯形中 上底是下底的中 上底是下底的 其中 其中是是边上任意一点 三角形边上任意一点 三角形 ABCD 2 3 FBCAME 三角形三角形 三角形 三角形的面积分别为的面积分别为 求三角形求三角形的面积的面积 BMFNFC142012NDE CD N F E M BA 例例 53 如图 已知如图 已知是梯形 是梯形 ABCDADBC 1 2AD BC 1 3 AOFDOE SS 2 24cm BEF S 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 13 of 16 求求的面积的面积 AOF O F D E CB A 例例 54 2009 年迎春杯决赛高年级组 年迎春杯决赛高年级组 如图 如图 是一个四边形 是一个四边形 分别是分别是 的中的中ABCDMNABCD 点 如果点 如果 与与的面积分别是的面积分别是 6 7 和和 8 且图中所有三角形的面积均为整数 且图中所有三角形的面积均为整数 ASM MTB DSN 则四边形则四边形的面积为的面积为 ABCD MN T S D C B A 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补 这两个三角形叫做共角三角形 两个三角形中有一个角相等或互补 这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角相等角或互补角 两夹边的乘积之比 两夹边的乘积之比 如图在如图在中 中 分别是分别是上的点如图上的点如图 或或在在的延长线上 的延长线上 在在上上 ABC D E AB ACDBAEAC 则则 ABCADE SSABACADAE E D C B A E D CB A 图图 图图 例例 55 如图在如图在中 中 分别是分别是上的点 且上的点 且 ABC D E AB AC 2 5AD AB 4 7AE AC 平方厘米 求平方厘米 求的面积 的面积 16 ADE S ABC 4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 14 of 16 E D C B A 例例 56 如图在如图在中 中 在在的延长线上 的延长线上 在在上 且上 且 ABC DBAEAC 5 2AB AD 平方厘米 求平方厘米 求的面积 的面积 3 2AE EC 12 ADE S ABC E D CB A 例例 57 如图所示 在平行四边形如图所示 在平行四边形 ABCD 中 中 E 为为 AB 的中点 的中点 三角形 三角形 AFE 图中阴影部分图中阴影部分 的的2AFCF 面积为面积为 8 平方厘米 平行四边形的面积是多少平方厘米 平方厘米 平行四边形的面积是多少平方厘米 E F D C BA 例例 58 已知已知的面积为的面积为平方厘米 平方厘米 求 求的面积 的面积 DEF 7 2 3BECE ADBD CFAF ABC F E D C B A 例例 59 如图 三角形如图 三角形的面积为的面积为 3 平方厘米 其中平方厘米 其中 三角形 三角形的的ABC 2 5AB BE 3 2BC CD BDE 面积是多少 面积是多少 A B E C D D C E B A 例例 60 2007 年年 走美走美