2013届高考数学单元考点复习5 等差数列

1 3 13 1 等差数列 等差数列 1 1 教学目的 教学目的 1 明确等差数列的定义 掌握等差数列的通项公式 2 会解决知道中的三个 求另外一个的问题 ndaan 1 教学重点 教学重点 等差数列的概念 等差数列的通项公式 教学难点 教学难点 等差数列的性质 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 内容分析内容分析 本节是等差数列这一部分 在讲等差数列的概念时 突出了它与一次函数的联系 这 样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质 从图象上看 为什么表示等 差数列的各点都均匀地分布在一条直线上 为什么两项可以决定一个等差数列 从几何上看 两点可以决定一条直线 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的数列的几种方法 列举法 通项 公式 递推公式 图象法和前 n 项和公式 这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们 看这样一些例子 1 1 小明觉得自己英语成绩很差 目前他的单词量只 yes no you me he 5 个他决定从今 天起每天背记 10 个单词 那么从今天开始 他的单词量逐日增加 依次为 5 15 25 35 问 多少天后他的单词量达到 3000 2 2 小芳觉得自己英语成绩很棒 她目前的单词量多达 3000 她打算从今天起不再背单词 了 结果不知不觉地每天忘掉 5 个单词 那么从今天开始 她的单词量逐日递减 依次为 3000 2995 2990 2985 问 多少天后她那 3000 个单词全部忘光 从上面两例中 我们分别得到两个数列 5 15 25 35 和 3000 2995 2990 2980 请同学们仔细观察一下 看看以上两个数列有什么共同特征 共同特征 从第二项起 每一项与它前面一项的差等于同一个常数 即等差 误 每 相邻两项的差相等 应指明作差的顺序是后项减前项 我们给具有这种特征的数列一个 名字 等差数列等差数列 二 讲解新课 二 讲解新课 1 1 等差数列 等差数列 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的差等于同一个 常数 这个数列就叫做等差数列 这个常数就叫做等差数列的公差 常用字母 d 表示 公差 d 一定是由后项减前项所得 而不能用前项减后项来求 对于数列 若 d 与 n 无关的数或字母 n 2 n N 则此数列 n a n a 1 n a 是等差数列 d 为公差 2 2 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 或 dnaan 1 1 n admnam 2 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是 公差 n a 1 a 是 d 则据其定义可得 即 daa 12 daa 12 即 daa 23 dadaa2 123 即 daa 34 dadaa3 134 由此归纳等差数列的通项公式可得 dnaan 1 1 已知一数列为等差数列 则只要知其首项和公差 d 便可求得其通项 1 a n a 如数列 1 2 3 4 5 6 1 n 6 nnan 1 1 1 数列 10 8 6 4 2 n 1 nnan212 2 1 10 数列 n 1 1 5 4 5 3 5 2 5 1 55 1 1 5 1n nan 由上述关系还可得 dmaam 1 1 即 dmaa m 1 1 则 n adna 1 1 dmnadndma mm 1 1 即的第二通项公式 d nm aa nm n admnam 如 dadadadaa432 12345 三 例题讲解三 例题讲解 例 1 求等差数列 8 5 2 的第 20 项 401 是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 解 由35285 8 1 da n 20 得49 3 120 8 20 a 由4 5 9 5 1 da 得数列通项公式为 1 45 nan 由题意可知 本题是要回答是否存在正整数 n 使得成立解之得 1 45401 n 3 n 100 即 401 是这个数列的第 100 项 例 2 在等差数列中 已知 求 n a10 5 a31 12 a 1 ad n aa 20 解法一 则10 5 a31 12 a 3111 104 1 1 da da 3 2 1 d a 53 1 1 ndnaan 5519 120 daa 解法二 3710317 512 dddaa 558 1220 daa53 12 12 ndnaan 小结 第二通项公式 dmnaa mn 例 3 将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中 设数列的第 s 项和第 t 项分别为 n u 和 计算的值 你能发现什么结论 并证明你的结论 s u t u ts uu ts 解 通过计算发现的值恒等于公差 ts uu ts 证明 设等差数列 的首项为 末项为 公差为 d n u 1 u n u 2 1 1 1 1 1 dtuu dsuu t s 得 dtsuu ts d ts uu ts 小结 这就是第二通项公式的变形 几何特征 直线的斜率 例 4 梯子最高一级宽 33cm 最低一级宽为 110cm 中间还有 10 级 各级的宽度成等差 数列 计算中间各级的宽度 解 设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列 n a 由已知条件 可知 33 110 n 12 1 a 12 a 即 10 33 11 解得 daa 112 112 d7 d 因此 61 54 47740 40733 5432 aaaa 103 96 89 82 75 68 11109876 aaaaaa 4 答 梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm 47cm 54cm 61cm 68cm 75cm 82cm 89cm 96cm 103cm 例 5 已知数列 的通项公式 其中 是常数 那么这个数列是否一定是 n aqpnan pq 等差数列 若是 首项与公差分别是什么 分析 由等差数列的定义 要判定是不是等差数列 只要看 n 2 是不 n a 1 nn aa 是一个与 n 无关的常数 解 当 n 2 时 取数列中的任意相邻两项与 n 2 n a 1 n a n a 为常数 1 1 qnpqpnaa nn pqppnqpn 是等差数列 首项 公差为 p n aqpa 1 注 若 p 0 则 是公差为 0 的等差数列 即为常数列 q q q n a 若 p 0 则 是关于 n 的一次式 从图象上看 表示数列的各点均在一次函数 n a y px q 的图象上 一次项的系数是公差 直线在 y 轴上的截距为 q 数列 为等差数列的充要条件是其通项 pn q p q 是常数 称其为第 3 通项公 n a n a 式 判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个 四 练习四 练习 1 1 求等差数列 3 7 11 的第 4 项与第 10 项 分析 根据所给数列的前 3 项求得首项和公差 写出该数列的通项公式 从而求出所求 项 解 根据题意可知 3 d 7 3 4 1 a 该数列的通项公式为 3 n 1 4 即 4n 1 n 1 n N N n a n a 4 4 1 15 4 10 1 39 4 a 10 a 评述 关键是求出通项公式 2 求等差数列 10 8 6 的第 20 项 解 根据题意可知 10 d 8 10 2 1 a 该数列的通项公式为 10 n 1 2 即 2n 12 n a n a 2 20 12 28 20 a 评述 要注意解题步骤的规范性与准确性 3 100 是不是等差数列 2 9 16 的项 如果是 是第几项 如果不是 说明 5 理由 分析 要想判断一数是否为某一数列的其中一项 则关键是要看是否存在一正整数n值 使得等于这一数 n a 解 根据题意可得 2 d 9 2 7 1 a 此数列通项公式为 2 n 1 7 7n 5 n a 令 7n 5 100 解得 n 15 100 是这个数列的第 15 项 4 20 是不是等差数列 0 3 7 的项 如果是 是第几项 如果不是 2 1 说明理由 解 由题意可知 0 d 3 1 a 2 1 此数列的通项公式为 n n a 2 7 2 7 令 n 20 解得n 2 7 2 7 7 47 因为 n 20 没有正整数解 所以 20 不是这个数列的项 2 7 2 7 2 在等差数列 中 1 已知 10 19 求与d n a 4 a 7 a 1 a 2 已知 9 3 求 3 a 9 a 12 a 解 1 由题意得 解之得 196 103 1 1 da da 3 1 1 d a 2 解法一 由题意可得 解之得 38 92 1 1 da da 1 11 1 d a 该数列的通项公式为 11 n 1 1 12 n 0 n a 12 a 解法二 由已知得 6d 即 3 9 6d d 1 9 a 3 a 又 3d 3 3 1 0 12 a