二元函数的泰勒公式

10 4 10 4 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式 一 高阶偏导数一 高阶偏导数 二元函数的两个 一阶 偏导数仍是与的二元函数 yxfz y z x z xy 若它们存在关于和的偏导数 即xy y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数的二阶偏导 函 数二阶偏导 函 数 二阶偏导数至多有个 通 yxfz 2 2 常将它们表为 表为 或 x z x z 2 2 x z yxfxx 表为 或 混合偏导数 x z y z yx z 2 yxfxy 表为 或 混合偏导数 y z x z xy z 2 yxfyx 表为 或 y z y z 2 2 y z yxfyy 一般地 二元函数的阶偏导函数的偏导数称为二元函数的 yxfz 1 n n n 阶偏导数阶偏导数 二元函数的 n 阶偏导数至多有个 二元函数的 n 阶偏 n 2 yxfz 导数的符号与二阶偏导数类似 例如 符号 或 kkn n yx z yxf n yx kkn 表示二元函数的 n 阶偏导数 首先对求阶偏导数 其次接着 yxfz xkn 对求阶偏导数 yk 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数 类似可定义三元函数 一般 n 元函数的高阶偏导数 例例 1 1 求函数 的二阶偏导数 33 2233 xyyxyxz 解 解 233 63 223232 xyxyx y z yxyyx x z 2 66 3 2 2 yxy x z 269 22 2 yxyx xy z 269 22 2 yxyx yx z xy z yx z 22 26 3 2 2 xyx y z 例例 2 2 证明 若则 1 222 czbyaxr r u 0 2 2 2 2 2 2 z u y u x u 证明 证明 由 10 3 例 2 有 333 r cz z u r by y u r ax x u 6 23 2 2 3 r x r raxr x u r ax x r 6 23 3 r r ax raxr 31 2 53 ax rr 同样 可得 31 31 2 532 2 2 532 2 cz rrz u by rry u 于是 33 222 532 2 2 2 2 2 czbyax rrz u y u x u 0 33 33 rr 定理定理 1 1 若函数在点的邻域 G 存在二阶混合偏导数 yxf 00 yxP 与 并且它们在点连续 则 yxfxy yxfyx 00 yxP 0000 yxfyxf yxxy 1 证明证明 令 yxF 0000 yxxfyyxxf 0000 yxfyyxf 3 令 对在上应用拉格朗日中 00 yxfyyxfx x 00 xxx 值定理 得 xxxyxF 10 xyxxfyyxxf xx 010010 yxyyxxfxy 2010 令 同样方法可以得到 00 yxfyxxfy 于是有yxxyxxfyxF yx 4030 2010 yyxxfxy 4030 xyxxfyx 令 取极限得 1 式 0 0 yx 例例 3 3 证明 若则 sin cos yxyxfz 11 2 2 22 2 2 2 2 2 fff y f x f 证明 y y fx x ff sincos y f x f y y fx x ff cossin y f x f sincos 2 2 y f x fffff sincossincossincos 2 2 222 2 2 2 y f xy f yx f x f cossin 2 2 y f x fffff coscossinsin 2 2 22 2 2 x f yx f x f sincoscossin 22 2 2 2 2 y f y f xy f 于是 cos sin sin cos 11 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 y f x ffff 4 sincossincos y f x f y f x f 2 2 2 2 y f x f 即 11 2 2 22 2 2 2 2 2 fff y f x f 说明 说明 定理 1 的结果可推广到 n 元函数的高阶混合偏导数上去 例如 三 元函数关于的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个 zyxfzyx 333333 xyz f yxz f yzx f xzy f zxy f zyx f 若它们在点都连续 则它们相等 若二元函数所有的混合高阶偏 zyx yxf 导数都连续 则偏导数 亦称一阶偏导数 有二个 二阶偏导数只有三个 三阶偏导数只有四个 一般情况 n 阶偏导数只有个 yxxy ff 1 n 二 二元函数的泰勒公式二 二元函数的泰勒公式 讨论二元函数泰勒公式的方法是 作一个辅助函数 将二元函数化为一元 函数 应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒 公式 为了将二元函数在点的函数值在点 yxf kbhaQ kbhaf 展成泰勒公式 作辅助函数 baP 10 tktbhtaft 即 1 0 tktbyhtaxyxft 显然 于是 函数 1 1 0 0kbhaftbaft 在点展成的泰勒公式就是一元函数在点 0 的泰勒公式 kbhaf baP t 即麦克劳林公式 在的值 1 t 定理定理 2 2 若函数在点的邻域 G 存在 n 1 阶连续的偏导数 则 yxf baP 有 GkbhaQ 5 2 1 1 1 2 baf y k x hbaf y k x hbafkbhaf 10 1 1 1 1 kbhaf y k x h n baf y k x h n nn 4 其中符号表示偏导数在的值 baf yx l i li li yx f baP 0 baf yx khCbaf y k x h imi m imi m i i m m 4 式称为二元函数在的泰勒公式泰勒公式 yxf baP 在泰勒公式 4 中 令 就得到二元函数的麦克劳林公麦克劳林公0 0 ba yxf 式式 将与分别用与表示 hkxy 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 2 f y y x xf y y x xfyxf 10 1 1 0 0 1 1 yxf yx x n f y y x x n nn 5 在泰勒公式 4 中 当时 有0 n kkbhafhkbhafbafkbhaf yx 或 10 kkbhafhkbhafbafkbhaf yx 6 6 式二元函数中值定理中值定理的另一种形式 这里只有一个 在泰勒公式 4 中 当时 有1 n kkbhafhkbhafbafkbhaf yx 7 1 0 2 2 1 2 2 kkbhaf hkkbhafhkbhaf yy xyxx 例例 4 4 将函数展成麦克劳林公式 yx eyxf 解 函数在存在任意阶连续偏导数 且 yx eyxf 2 R 6 1 0 0 f yx e yx f lm lm yx lm lm 与 是任意非负整数 由公式 5 有ml 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 yxn nyx eyx n yx n yxyxe 三 二元函数的极值三 二元函数的极值 1 极值点的定义极值点的定义 定义定义 设函数在点的邻域 G 有定义 若 有 f x y P a b ah bkG f ah bkf a bf ah bkf a b 则称是函数的极大点 极小点 极大点 极小点 极大点 极小点 的函数值 P a b f x y 称为函数的极大值 极小值 极大值 极小值 f a b f x y 极大点与极小点统称为极值点极值点 极大值与极小值统称为极值极值 例如 点是函数的极小点 极小值是 1 2 22 1 2 1f x yxy 1 2 1f 事实上 有 x y 22 1 2 0 xy 于是 1 2 f x yf 2 极值点的必要条件极值点的必要条件 定理定理 3 若函数在点存在两个偏导数 且是函数 f x y P a b P a b 的极值点 则 f x y 与 0 x fa b 0 y fa b 证明 已知是函数的极值点 即是一元函数的 P a b f x yxa f x b 极值 根据一元函数极值的必要条件 a 是一元函数的稳定点 即 f x b 0 x fa b 7 同法可证 0 y fa b 方程组 的解 坐标平面上某些点 称为函数的稳定稳定 0 0 x y fx y fx y f x y 点点 定理 3 指出 可微函数可微函数的极值点一定是稳定点的极值点一定是稳定点 反之 稳定点不一反之 稳定点不一 f x y 定是极值点定是极值点 例如 函数 双面抛物面 22 f x yxy 2 2 xy fxfy 显然 点是函数的稳定点 但点并不是函数 0 0 22 f x yxy 0 0 的极值点 22 f x yxy 3 极值点的充分条件极值点的充分条件 定理定理 4 设函数有稳定点 且在点的邻域 G 存在二阶连 f x y P a b P a b 续偏导数 令 xxxyyy Afa bBfa bCfa b 2 BAC 1 若 则是函数的极值点 0 P a b f x y 是函数的极小点 0 A 或C 0 P a b f x y 是函数的极大点 0 A 或C 0 P a b f x y 2 若 则不是函数的极值点 0 P a b f x y 注 注 当判别式当判别式时 稳定点时 稳定点可能是函数可能是函数的极值点 也可的极值点 也可0 P a b f x y 能不是函数能不是函数的极值点的极值点 例如 函数 f x y 2222222 123 f x yxyfx yxyfx yx y 不难验证 是每个函数唯一的稳定点 且在稳定点每个函数 0 0 P 0 0 P 的判别式 显然 稳定点是函数的极小 2 0BAC 0 0 P 222 1 f x yxy 点 是函数的极大点 却不是函数的极值点 222 2 fx yxy 2 3 fx yx y 8 求可微函数求可微函数 f x y 的极值点的步骤 的极值点的步骤 1 求偏导数 解方程组求稳定点 设其中一个稳定点是 0 0 x y fx y fx y P a b 2 求二阶偏导数 写出 2 xyxxyy fx yfx y fx y 3 将稳定点的坐标代入上式 得判别式 P a b 2 xyxxyy fa bfa b fa b 再由的符号 根据下表判定是否是极值点 P a b 2 BAC 0 A 或 C P a b 是极小点是极大点 不是极值点不定 例例 6 求函数的极值 33 3zxyxy 解 解 解方程组 2 2 320 330 x y fx yxy fx yyx 解得两个稳定点 0 0 与 1 1 求二阶偏导数 6 3 6 xxxyyy fx yxfx yfx yy 2 936 xyxxyy fx yfx y fx yxy 在点不是函数的极值点 0 0 90 0 0 在点且是函数的极小点 极小值是 1 1 270 60 1 1 A 33 1 1 3 1xyxy 4 二元函数二元函数 f x y 在实际问题中的最大 最小值 在实际问题中的最大 最小值 一般来说 求函数在 D 的边界上的最大 小 值是很困难的 但是 f x y 在很多实际问题 根据问题的实际意义 函数的最大 小 值必在区域 f x y D D 可以是无界区域 内某点 P 取得 又函数在 D 内只有一个稳定点 f x y P 那么函数必在这个稳定点 P 取得最大 小 值 f x y 9 例例 7 用钢板制造容积为 V 的无盖长方形水箱 问怎样选择水箱的长 宽 高才最省钢板 解 解 设水箱长 宽 高分别是 已知 从而高 水箱表 x y zxyzV V z xy 面的面积 11 22 2 V SxyxyxyV xyxy S 的定义域 0 0Dx yxy 这个问题就是求函数 S 在区域 D 内的最小值 解方程组 22 22 12 20 12 20 SV yVy xxx SV xVx yyy 在区域 D 内解得唯一稳定点 求二阶偏导数 33 2 2 VV 2 23 4 SV xx 2 1 S x y 2 23 4SV yy 2 2222 2233 16 1 SSSV x yxyx y 在稳定点 且 从而 稳定点 33 2 2 VV30 20A 是 S 的极小点 因此 函数 S 在点取最小值 当 33 2 2 VV 33 2 2 VV 时 33 2 2xV yV 3 33 2 222 VV z VV 即无盖长方形水箱 所需钢板最省 3 3 2 2 2 V xyV z 例例 8 在已知周长为的一切三角形中 求出面积为最大的三角形 2p 解 解 设三角形的三个边长分别是 面积是 由海伦公式 有 x y z 8 p pxpypz 已知 将它代入 8 式之中 有22xyzpzpxy 或 10 p pxpy xyp 因为三角形的每边是正数而且小于半周长 所以的定义域p 0 0 Dx yxpyp xyp 已知的稳定点与的稳定点相同 为计算方便 求 2 p 2 pxpy xyp p 的稳定点 解方程组 22 0 22 0 x