2014高考数学一轮总复习 14.1 合情推理与演绎推理教案 理 新人教A版

1 第十四章第十四章 推理与证明推理与证明 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1 了解合情推理的含义 2 能利用归纳与类比等进行简单 的推理 3 体会并认识合情推理在数学发 现中的作用 4 了解演绎推理的重要性 5 掌握演绎推理的基本模式 三段论 6 能运用演绎推理进行简单的推 理 7 了解演绎推理 合情推理的联 系与区别 8 了解直接证明的两种基本方法 分析法与综合法 9 了解分析法与综合法的思维过 程 特点 10 了解反证法是间接证明的一种 基本方法及反证法的思维过程 特点 11 了解数学归纳法的原理 12 能用数学归纳法证明一些简单 的与自然数有关的数学命题 本章重点 1 利用归 纳与类比进行推理 2 利 用 三段论 进行推理与 证明 3 运用直接证明 分 析法 综合法 与间接证明 反证法 的方法证明一些 简单的命题 4 数学归纳 法的基本思想与证明步骤 运用数学归纳法证明与自 然数 n n N 有关的数学 命题 本章难点 1 利用归纳与 类比的推理来发现结论并 形成猜想命题 2 根据综 合法 分析法及反证法的 思维过程与特点选取适当 的证明方法证明命题 3 理解数学归纳法的思维实 质 特别是在第二个步骤 要根据归纳假设进行推理 与证明 推理与证明 是数学 的基本思维过程 也是人们 学习和生活中经常使用的思 维方式 本章要求考生通过对 已有知识的回顾与总结 进 一步体会直观感知 观察发 现 归纳类比 空间想象 抽象概括 符号表示 运算 求解 数据处理 演绎证明 反思与建构等数学思维过程 以及合情推理 演绎推理之 间的联系与差异 体会数学 证明的特点 了解数学证明 的基本方法 本章是新课程考纲中新增的 内容 考查的范围宽 内容 多 涉及数学知识的方方面 面 与旧考纲相比 增加了 合情推理等知识点 这为创 新性试题的命制提供了空间 知识网络 2 14 1 合情推理与演绎推理 典例精析 题型一 运用归纳推理发现一般性结论 例 1 通过观察下列等式 猜想出一个一般性的结论 并证明结论的真假 sin215 sin275 sin2135 3 2 sin230 sin290 sin2150 3 2 sin245 sin2105 sin2165 3 2 sin260 sin2120 sin2180 3 2 解析 猜想 sin2 60 sin2 sin2 60 3 2 左边 sin cos 60 cos sin 60 2 sin2 sin cos 60 cos sin 60 2 sin2 cos2 右边 3 2 3 2 点拨 先猜后证是一种常见题型 归纳推理的一些常见形式 一是 具有共同特征型 二是 递推型 三是 循环型 周期性 变式训练 1 设直角三角形的两直角边的长分别为 a b 斜边长为 c 斜边上的高为 h 则有 a b c h 成立 某同学通过类比得到如下四个结论 a2 b2 c2 h2 a3 b3 c3 h3 a4 b4 c4 h4 a5 b5 c5 h5 其中正确结论的序号是 进一步类比得到的一般结论是 解析 an bn cn hn n N 题型二 运用类比推理拓展新知识 例 2 请用类比推理完成下表 平面空间 三角形两边之和大于第三边 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个 面的面积 三角形的面积等于任意一边的长度与这边 上的高的乘积的一半 三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与 该底面上的高的乘积的三分之一 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形 周长的乘积的一半 解析 本题由已知的前两组类比可得到如下信息 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象 三角形各边的边长与三棱锥各面的面 积是类比对象 三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象 三角形的面积与三棱 锥的体积是类比对象 三角形的面积公式中的 二分之一 与三棱锥的体积公式中的 三分之一 是类比对象 由以上分析可知 3 故第三行空格应填 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 本题结论可以用等体积法 将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明 此处从略 点拨 类比推理的关键是找到合适的类比对象 平面几何中的一些定理 公式 结论等 可以类比到立体几何中 得到类似的结论 一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类 比列表如下 平面空间 点线 线面 圆球 三角形三棱锥 角二面角 面积体积 周长表面积 变式训练 2 面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai i 1 2 3 4 此四边 形内任一点 P 到第 i 条边的距离为 hi i 1 2 3 4 1 若 k 则 a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 4 1i i ih 2 类比以上性质 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si i 1 2 3 4 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi i 1 2 3 4 若 K 则 4 1i i iH S1 1 S2 2 S3 3 S4 4 解析 2S k 3V K 题型三 运用 三段论 进行演绎推理 例 3 已知函数 f x ln ax a 0 x a x 1 求此函数的单调区间及最值 2 求证 对于任意正整数 n 均有 1 ln 1 2 1 3 1 n en n 解析 1 由题意 f x x a x2 当 a 0 时 函数 f x 的定义域为 0 此时函数在 0 a 上是减函数 在 a 上是增函数 fmin x f a ln a2 无最大值 当 a 0 时 函数 f x 的定义域为 0 此时函数在 a 上是减函数 在 a 0 上是增函数 4 fmin x f a ln a2 无最大值 2 取 a 1 由 1 知 f x ln x f 1 0 x 1 x 故 1 ln x ln 1 x e x 取 x 1 2 3 n 则 1 ln e ln ln ln 1 2 1 3 1 n e 2 e n en n 点拨 演绎推理是推理证明的主要途径 而 三段论 是演绎推理的一种重要的推理形 式 在高考中以证明题出现的频率较大 变式训练 3 已知函数 f x eg x g x e 是自然对数的底数 kx 1 x 1 1 若对任意的 x 0 都有 f x x 1 求满足条件的最大整数 k 的值 2 求证 ln 1 1 2 ln 1 2 3 ln 1 n n 1 2n 3 n N 解析 1 由条件得到 f 1 2 1 1 2 e x x 2 k 2ln 2 1 3 猜测最大整数 k 2 现在证明 1 1 2 e x x x 1 对任意 x 0 恒成立 1 1 2 e x x x 1 等价于 2 ln x 1 ln x 1 2 3 x 1 3 x 1 设 h x ln x 1 则 h x 3 x 1 1 x 1 3 x 1 2 x 2 x 1 2 故 x 0 2 时 h x 0 当 x 2 时 h x 0 所以对任意的 x 0 都有 h x h 2 ln 3 1 2 即 1 1 2 e x x x 1 对任意 x 0 恒成立 所以整数 k 的最大值为 2 2 由 1 得到不等式 2 ln x 1 3 x 1 所以 ln 1 k k 1 2 2 3 k k 1 1 3 k k 1 ln 1 1 2 ln 1 2 3 ln 1 n n 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2n 3 2n 3 2n 3 3 n n 1 1 1 2 1 2 3 1 n n 1 3 n 1 所以原不等式成立 总结提高 合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式 尽管合情推理 归纳 类比 得到的结论未 必正确 但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论 探索和提供证明的新思路的 重要 作用 特别在数学学习中 我们可以由熟悉的 已知的知识领域运用归纳 类比思维获取 发现和创造的灵感去探索陌生的 未知的知识领域 演绎推理是数学逻辑思维的主要形式 担负着判断命题真假的重要使命 如果