三角形知识点总结

第一章第一章 图形的初步认识图形的初步认识 考点一 线段垂直平分线 角的平分线 垂线考点一 线段垂直平分线 角的平分线 垂线 1 线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 2 角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 角的平分线有下面的性质定理 1 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 3 垂线的性质 性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 简称 垂线段最短 考点二 平行线考点二 平行线 1 平行线的概念 在同一个平面内 不相交的两条直线叫做平行线 同一平面内 两条直线的位置关系只有两种 相交 或平行 4 平行线的性质 1 两直线平行 同位角相等 2 两直线平行 内错角相等 3 两直线平行 同旁内角互补 考点三 投影与视图考点三 投影与视图 1 投影 投影的定义 用光线照射物体 在地面上或墙壁上得到的影子 叫做物体的投影 平行投影 由平行光线 如太阳光线 形成的投影称为平行投影 中心投影 由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影 2 视图 当我们从某一角度观察一个实物时 所看到的图像叫做物体的一个视图 物体的三视图特指主视图 俯视图 左视图 主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图 叫做主视图 俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图 叫做俯视图 左视图 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图 叫做左视图 有时也叫做侧视图 第二章第二章 三角形三角形 1 三角形的概念 三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 组成三角形的线段叫做三角形 的边 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角 简称三角形的角 2 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段 1 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平 分线 2 在三角形中 连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 3 从三角形一个顶点向它的对边做垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 简称三角形的 高 3 三角形的稳定性 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性 三角形的这个性质在生产生活中应 用很广 需要稳定的东西一般都制成三角形的形状 4 三角形的特性与表示 三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性 1 三角形有三条线段 2 三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 3 首尾顺次相接 三角形用符号 表示 顶点是 A B C 的三角形记作 ABC 读作 三角形 ABC 5 三角形的分类 三角形的分类 三角形按边的关系分类如下 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下 直角三角形 有一个角为直角的三角形 三角形 锐角三角形 三个角都是锐角的三角形 斜三角形 钝角三角形 有一个角为钝角的三角形 把边和角联系在一起 我们又有一种特殊的三角形 等腰直角三角形 它是两条直角边相等的直角三 角形 6 三角形的三边关系定理及推论 三角形的三边关系定理及推论 1 三角形三边关系定理 三角形的两边之和大于第三边 推论 三角形的两边之差小于第三边 2 三角形三边关系定理及推论的作用 判断三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时 可确定第三边的范围 证明线段不等关系 7 三角形的角关系 三角形的角关系 三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于 180 推论 直角三角形的两个锐角互余 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 注 注 在同一个三角形中 等角对等边 等边对等角 大角对大边 大边对大角 等角的补角相等 等 角的余角相等 8 三角形的面积 三角形的面积 三角形的面积 底 高 2 1 应用 经常利用两个三角形面积关系求底 高的比例关系或值 考点二 全等三角形考点二 全等三角形 1 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 两个三角形全等时 互相重合的顶点叫做对应顶点 互 相重合的边叫做对应边 互相重合的角叫做对应角 夹边就是三角形中相邻两角的公共边 夹角就是三角 形中有公共端点的两边所成的角 2 三角形全等的判定 三角形全等的判定定理 1 边角边定理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可简写成 边角边 或 SAS 2 角边角定理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成 角边角 或 ASA 3 边边边定理 有三边对应相等的两个三角形全等 可简写成 边边边 或 SSS 直角三角形全等的判定 对于特殊的直角三角形 判定它们全等时 还有 HL 定理 斜边 直角边定理 有斜边和一条直角 边对应相等的两个直角三角形全等 可简写成 斜边 直角边 或 HL 3 全等变换 只改变图形的位置 不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换 全等变换包括一下三种 1 平移变换 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换 2 对称变换 将图形沿某直线翻折 180 这种变换叫做对称变换 3 旋转变换 将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置 这种变换叫做旋转变换 考点三 等腰三角形考点三 等腰三角形 1 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的性质定理及推论 定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 推论 1 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 即等腰三角形的顶角平分线 底边上的中 线 底边上的高重合 推论 2 等边三角形的各个角都相等 并且每个角都等于 60 2 等腰三角形的其他性质 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角 不能为钝角 或直角 但顶角可为钝角 或直角 等腰三角形的三边关系 设腰长为 a 底边长为 b 则 a 2 b 等腰三角形的三角关系 设顶角为顶角为 A 底角为 B C 则 A 180 2 B B C 2 180A 2 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论 定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简称 等角对等边 这个判定 定理常用于证明同一个三角形中的边相等 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 推论 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质等腰三角形判定 中 线 1 等腰三角形底边上的中线垂直底边 平分顶角 2 等腰三角形两腰上的中线相等 并且它们的交 点与底边两端点距离相等 1 两边上中线相等的三角形是等腰三角形 2 如果一个三角形的一边中线垂直这条边 平分这个边的对角 那么这个三角形是 等腰三角形 角 平 分 线 1 等腰三角形顶角平分线垂直平分底边 2 等腰三角形两底角平分线相等 并且它们的交 点到底边两端点的距离相等 1 如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的 对边 平分对边 那么这个三角形是等腰 三角形 2 三角形中两个角的平分线相等 那么这个 三角形是等腰三角形 高 线 1 等腰三角形底边上的高平分顶角 平分底边 2 等腰三角形两腰上的高相等 并且它们的交点 和底边两端点距离相等 1 如果一个三角形一边上的高平分这条边 平分这条边的对角 那么这个三角形是 等腰三角形 2 有两条高相等的三角形是等腰三角形 角等边对等角等角对等边 边底的一半 腰长BC 并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项 叫做把线段 AB 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 其中 AC AB0 618AB 2 15 考点二 平行线分线段成比例定理考点二 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 考点三 相似三角形考点三 相似三角形 1 相似三角形的概念 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似用符号 来表示 2 相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 相似三角形的等价关系 1 反身性 对于任一 ABC 都有 ABC ABC 2 对称性 若 ABC A B C 则 A B C ABC 3 传递性 若 ABC A B C 并且 A B C A B C 则 ABC A B C 3 三角形相似的判定 1 三角形相似的判定方法 定义法 对应角相等 对应边成比例的两个三角形相似 平行法 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角 形相似 判定定理 1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 可简述为两角对应相等 两三角形相似 判定定理 2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么 这两个三角形相似 可简述为两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 判定定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相 似 可简述为三边对应成比例 两三角形相似 2 直角三角形相似的判定方法 以上各种判定方法均适用 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例 那么这两个直角三角形相似 4 相似三角形的性质 1 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 3 相似三角形周长的比等于相似比 4 相似三角形面积的比等于相似比的平方 5 相似多边形 1 如果两个边数相同的多边形的对应角相等 对应边成比例 那么这两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比 或相似系数 2 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等 对应边成比例 相似多边形周长的比 对应对角线的比都等于相似比 相似多边形中的对应三角形相似 相似比等于相似多边形的相似比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 6 位似图形 如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在直线都经过同一个点 那么这样的两个图形叫做 位似图形 这个点叫做位似中心 此时的相似比叫做位似比 性质 每一组对应点和位似中心在同一直线上 它们到位似中心的距离之比都等于位似比 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小 第五章第五章 三角形的五心三角形的五心 三角形中有许多重要的特殊点 特别是三角形的 五心 在解题时有很多应用 在本节中将分别给予 介绍 三角形的三角形的 五心五心 指的是三角形的外心 内心 重心 垂心和旁心指的是三角形的外心 内心 重心 垂心和旁心 1 三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点 这点称为三角形的外心 外接圆圆心 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 都等于三角形的外接圆半径 锐角三角形的外心在三角形内 直角三角形的外心在斜边中点 钝角三角形的外心在三角形外 2 三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点 这点称为三角形的内心 内切圆圆心 三角形的内心到三边的距离相等 都等于三角形内切圆半径 内切圆半径 r 的计算 设三角形面积为 S 并记 p a b c 则 r 1 2 S p 特别的 在直角三角形中 有 r a b c 1 2 3 三角形的重心 三角形的三条中线交于一点 这点称为三角形的重心 上面的证明中 我们也得到了以下结论 三角形的重心到边的中点与到相应 顶点的距离之比为 1 2 4 三角形的垂心 三角形的三条高交于一点 这点称为三角形的垂心 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中 任何三个为顶点的三角形的垂心就是第 A BC O A B C D E F G A B C D E F Ia I K H E F D A B C M 四个点 所以把这样的四个点称为一个 垂心组 5 三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点 称为三角形的旁心 旁切圆圆心 每个三角形都有三个旁切圆 A 类例题 例 1 证明重心定理 证法 1 如图 D E F 为三边中点 设 BE CF 交于 G 连接 EF 显然 EFBC 由三角形相似 1 2 可得 GB 2GE GC 2GF 又设 AD BE 交于 G 同理可证 G B 2G E G A 2G D 即 G G 都是 BE 上从 B 到 E 的三分之二处的 点 故 G G 重合 即三条中线 AD BE CF 相交于一点 G 证法 2 设 BE CF 交于 G BG CG 中点为 H I 连 EF FH HI IE 因为 EFBC HIBC 1 2 1 2 所以 EFHI 为平行四边形 所以 HG GE IG GF GB 2GE GC 2GF 同证法 1 可知 AG 2GD AD BE CF 共点 即定理证毕 链接 证明外心 内心定理是很容易的 外心定理的证明 如图 设 AB BC 的中垂线交于点 O 则有 OA OB OC 故 O 也在 AC 的中垂线上 因为 O 到三顶点的距离 相等 故点 O 是 ABC 外接圆的圆心 因而称为外心 内心定理的证明 如图 设 A C 的平分线相交于 I 过 I 作 ID BC IE AC IF AB 则有 IE IF ID 因此 I 也在 C 的平分线上 即三角形三内角平分线交于一点 上述定理的证法完全适用于旁心定理 请同学们自己完成 例 2 证明垂心定理 分析 我们可以利用构造外心来进行证明 证明 如图 AD BE CF 为 ABC 三条高 过点 A B C 分别作对边的平行线相交成 A B C 显然 AD 为 B C 的中垂线 同理 BE CF 也分别为 A C A B 的中垂线 由外心定理 它们交于一点 命题 得证 链接 1 对于三线共点问题还可以利用 Ceva 定理进行证明 同学们可以参考第十八讲的内容 Ceva 定理 设 X Y Z 分别为 ABC 的边 BC CA AB 上的一点 则 AX BY CZ 所在直线 A B C D E F G I H G E D F A BC F E B A C D C B A A BC O I K H E F D A B C M 交于一点的充要条件是 1 AZ ZB BX XC CY YA 2 对于三角形的五心 还可以推广到 n 边形 例如 如果我们称 n 3 边形某顶点同除该 点以外的 n 1 个顶点所决定的 n 1 边形的重心的连线 为 n 边形的中线 当 n 1 2 时 n 1 边 形退化成一线段 此时重心即为线段的中心 那么重心定理可推广如下 n 边形的各条中线 若 有重合 只算一条 相交于一点 各中线被该点分为 n 1 1 的两条线段 这点叫 n 边形 的重心 请同学们自己研究一下其他几个 心 的推广 情景再现 1 设 G 为 ABC 的重心 M N 分别为 AB CA 的中点 求证 四边 形 GMAN 和 GBC 的面积相等 2 三角形的任一顶点到垂心的距离 等于外心到对边的距离的二倍 B 类例题 例 3 过等腰 ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM CA 交 AB 于 M 引 PN BA 交 AC 于 N 作点 P 关于 MN 的对称点 P 试证 P 点在 ABC 外接圆上 杭州大学 中学数 学竞赛习题 分析 分析点 M 和 N 的性质 即能得到解题思路 证明 由已知可得 MP MP MB NP NP NC 故点 M 是 P BP 的外心 点 N 是 P PC 的外心 于是有 BP P BMP BAC 1 2 1 2 PP C PNC BAC 1 2 1 2 BP C BP P P PC BAC 从而 P 点与 A B C 共圆 即 P 在 ABC 外接圆上 例 4 AD BE CF 是 ABC 的三条中线 P 是任意一点 证明 在 PAD PBE PCF 中 其中一个面积等于另外两个面积的和 第 26 届莫斯科数学奥林匹克 证明 设 G 为 ABC 重心 直线 PG 与 AB BC 相交 从 A C D E F 分别作该直线的垂线 垂足为 A C D E F 易证 AA 2DD CC 2FF 2EE AA CC EE DD FF 有 S PGE S PGD S PGF 两边各扩大 3 倍 有 S PBE S PAD S PCF 链接 本题可以引出更多结论 例如 P P 平分 BP C P B P C BP PC 等等 A BC P P M N G N M CB A A A F F G E E D C P CB D 例 5 设 A1A2A3A4为 O 内接四边形 H1 H2 H3 H4依次为 A2A3A4 A3A4A1 A4A1A2 A1A2A3的 垂心 求证 H1 H2 H3 H4四点共圆 并确定出该圆的圆心位置 1992 全国高中联赛 证明 连接 A2H1 A1H2 H1H2 记圆半径为 R 由 A2A3A4知 2RA2H1 2Rcos A3A2A4 132 12 sinHAA HA 由 A1A3A4得 A1H2 2Rcos A3A1A4 但 A3A2A4 A3A1A4 故 A2H1 A1H2 易证 A2H1 A1A2 于是 A2H1A1H2 故得 H1H2A2A1 设 H1A1与 H2A2的交点为 M 故 H1H2与 A1A2关于 M 点成中心对称 同理 H2H3与 A2A3 H3H4与 A3A4 H4H1与 A4A1都关于 M 点成中心对称 故四边形 H1H2H3H4与四 边形 A1A2A3A4关于 M 点成中心对称 两者是全等四边形 H1 H2 H3 H4在同一个圆上 后者的圆 心设为 Q Q 与 O 也关于 M 成中心对称 由 O M 两点 Q 点就不难确定了 链接三角形的五心有许多重要性质 它们之间也有很密切的联系 如 1 三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等 2 三角形的外心到三顶点的距离相等 3 三角形的垂心与三顶点这四点中 任一点是其余三点所构成的三角形的垂心 4 三角形的内心 旁心到三边距离相等 5 三角形的垂心是它垂足三角形的内心 或者说 三角形的内心是它旁心三角形的垂 心 6 三角形的外心是它的中点三角形的垂心 7 三角形的重心也是它的中点三角形的重心 8 三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心 情景再现 3 在 ABC 的边 AB BC CA 上分别取点 P Q S 证明以 APS BQP CSQ 的外心为顶点的三角形与 ABC 相似 B 波拉索洛夫 中学数学奥林匹克 4 如果三角形三边的平方成等差数列 那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似 其逆亦真 C 类例题 例 6 H 为 ABC 的垂心 D E F 分别是 BC CA AB 的中心 一个以 H 为圆心的 H 交直线 EF FD DE 于 A1 A2 B1 B2 C1 C2 求证 AA1 AA2 BB1 BB2 CC1 CC2 1989 加拿大数学奥林匹克训练题 分析 只须证明 AA1 BB1 CC1即可 证明 设 BC a CA b AB c ABC 外接圆半径为 R H 的半径为 r 连 HA1 AH 交 EF 于 M A AM2 A1M2 AM2 r2 MH2 2 1 A r2 AM2 MH2 又 AM2 HM2 AH1 2 AH AH1 2 1 2 1 2 AH AH1 AH2 AH2 AB AH2 H H H M A B B AA B C C C F 1 2 1 1 1 2 2 2 D E O A A A A 1 2 3 4 H H 1 2 cosA bc AH2 而 2RAH2 4R2cos2A ABH AH sin 2Ra2 4R2sin2A A a sin AH2 a2 4R2 AH2 4R2 a2 由 有 A r2 bc 4R2 a2 2 1 A bc acb 2 222 a2 b2 c2 4R2 r2 1 2 同理 a2 b2 c2 4R2 r2 2 1 BB 2 1 a2 b2 c2 4R2 r2 2 1 CC 1 2 故有 AA1 BB1 CC1 例 7 已知 O 内接 ABC Q 切 AB AC 于 E F 且与 O 内切 试证 EF 中点 P 是 ABC 之内心 B 波拉索洛夫 中学数学奥林匹克 证明 如图 显然 EF 中点 P 圆心 Q 中点 K 都在 BAC 平分线上 易知 AQ BC sin r QK AQ MQ QN QK AQ QNMQ sin 2 r rrR 2 sinrR 由 Rt EPQ 知 PQ r sin PK PQ QK r sin 2 sinrR R2sin PK BK 利用内心等量关系之逆定理 即知 P 是 ABC 这内心 说明 在第 20 届 IMO 中 美国提供的一道题实际上是例 7 的一种特例 但它增加了条件 AB AC 例 8 在直角三角形中 求证 r ra rb rc 2p 式中 r ra rb rc分别表示内切圆半径及与 a b c 相切的旁 切圆半径 p 表示半周 杭州大学 中学数学竞赛习题 证明 设 Rt ABC 中 c 为斜边 先来证明一个特性 p p c p a p b p p c a b c a b c 1 2 1 2 a b 2 c2 1 4 ab 1 2 A M B C K N E R O Q F r P K r r r r O O O 2 1 3 A O E C B a b c p a p b a b c a b c 1 2 1 2 c2 a b 2 ab 1 4 1 2 p p c p a p b 观察图形 可得 ra AF AC p b rb BG BC p a rc CK p 而 r a b c p c 1 2 r ra rb rc p c p b p a p 4p a b c 2p 由 及图形易证 例 9 M 是 ABC 边 AB 上的任意一点 r1 r2 r 分别是 AMC BMC ABC 内切圆的半径 q1 q2 q 分别是上述三角形在 ACB 内部的旁切圆半径 证明 IMO 12 1 1 q r 2 2 q r q r 证明 对任意 A B C 由正弦定理可知 OD OA 2 sin A A B sin 2 sin BOA B 2 sin A A B 2 sin 2 sin 2 sin BA BA O E A B 2 sin 2 cos 2 cos BA BA 2 2 B tg A tg EO OD 亦即有 1 1 q r 2 2 q r 2222 B tg CNB tg CMA tg A tg 22 B tg A tg q r 例 10 锐角 ABC 中 O G H 分别是外心 重心 垂心 设外心到三边距离和为 d外 重心到三边距离和 为 d重 垂心到三边距离和为 d垂 求证 1 d垂 2 d外 3 d重 证明 设 ABC 外接圆半径为 1 三个内角记为 A B C 易知 d外 OO1 OO2 OO3 cosA cosB cosC 2d外 2 cosA cosB cosC A B C O O E D B C O I A OG H O G H G O GH 1 2 3 11 2 2 3 3 AH1 sinB AB sinB 2sinC 2sinB sinC 同样可得 BH2 CH3 3d重 ABC 三条高的和 2 sinB sinC sinC sinA sinA sinB 2 BCH BH sin HH1 cosC BH 2 cosB cosC 同样可得 HH2 HH3 d垂 HH1 HH2 HH3 2 cosB cosC cosC cosA cosA cosB 欲证结论 观察 须证 cosB cosC cosC cosA cosA cosB cosA cosB cosC sinB sinC sinC sinA sinA sinB 即可 说明 本题用了三角法 情景再现 5 设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中 AB BC CD DE EF FA 试证 1 AD BE CF 三条对角线交于 一点 2 AB BC CD DE EF FA AK BE CF 1991 国家教委数学试验班招生试题 6 ABC 的外心为 O AB AC D 是 AB 中点 E 是 ACD 的重心 证明 OE 丄 CD 加拿大数学奥林匹克训练题 7 ABC 中 C 30 O 是外心 I 是内心 边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD BE AB 求证 OI 丄 DE OI DE 1988 中国数学奥林匹克集训题 习题17 1 在 ABC 中 A 是钝角 H 是垂心 且 AH BC 则 cos BHC A B C D 1 2 2 1 2 2 1 2 2 如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分 则此直线一定通过三角形的 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心 1996 年全国初中联赛 3 1997 年安徽省初中数学竞赛 若 0 90 那么 以 sin cos tan cot 为三边的三角形有内切圆 外接圆的半径之和是 A B C 2sin cos D sin cos 2 tan cot 2 1 sin cos 4 ABC 中 A 45 BC a 高 BE CF 交于点 H 则 AH A a B a C a D a 1 2 1 2 2 2 5 下面三个命题中 设 H 为 ABC 的高 AD 上一点 BHC BAC 180 则点 H 是 ABC 的垂心 设 G 为 ABC 的中线 AD 上一点 且 S AGB S BGC 则点 G 是 ABC 的重心 设 E 是 ABC 的外角 BAK 的角平分线与 ABC 的外接圆 O 的交 点 ED 是 O 的直径 I 在线段 AD 上 且 DI DB 则 I 是 ABC 的内 心 正确命题的个数是 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 6 设 ABC 的 A 60 求证 ABC 的外心 O 内心 I 垂心 H 及点 B C 五点在同一个圆上 7 已知 P 是 ABCD 内的一点 O 为 AC 与 BD 的交点 M N 分别为 PB PC 中点 Q 为 AN 与 DM 的交点 求证 P Q O 三点在一条直线上 PQ 2OQ 8 I 为 ABC 之内心 射线 AI BI CI 交 ABC 外接圆于 A B C 则 AA BB CC ABC 周长 1982 澳大利亚数学奥林匹克 9 T 的三边分别等于 T 的三条中线 且两个三角形有一组角相等 求证这两个三角形相似 1989 捷 克数学奥林匹克 10 I 为 ABC 的内心 取 IBC ICA IAB 的外心 O1 O2 O3 求证 O1O2O3与 ABC 有公共的外 心 1988 美国数学奥林匹克 11 AD 为 ABC 内角平分线 取 ABC ABD ADC 的外心 O O1 O2 则 OO1O2是等腰三角形 12 ABC 中 C 90 从 AB 上 M 点作 CA CB 的垂线 MP MQ H 是 CPQ 的垂心 当 M 是 AB 上动 点时 求 H 的轨迹 IMO 7 r R I O C BA A B C D E F H AB CD O P N M Q 本节 情景再现 解答 1 证明 如图 连 GA 因为 M N 分别为 AB CA 的中点 所以 AMG 的面积 GBM 的面积 GAN 的面积 GNC 的面积 即四边形 GMAN 和 GBC 的面积相等 2 证明 如图 O 为 ABC 的外心 H 为垂心 连 CO 交 ABC 外接圆于 D 连 DA DB 则 DA AC BD BC 又 AH BC BH AC 所以 DA BH BD AH 从而四边形 DAHB 为平行四边形 又显然 DB 2OM 所以 AH 2OM 同理可证 BH 2ON CH 2OK 证毕 3 提示 设 O1 O2 O3是 APS BQP CSQ 的外心 作出 六边形 O1PO2QO3S 后再由外心性质可知 PO1S 2 A QO2P 2 B SO3Q 2 C PO1S QO2P SO3Q 360 从而又知 O1PO2 O2QO3 O3SO1 360 将 O2QO3绕着 O3点旋转到 KSO3 易判断 KSO1 O2PO1 同时可得 O1O2O3 O1KO3 O2O1O3 KO1O3 O2O1K 1 2 O2O1S SO1K O2O1S PO1O2 PO1S A 1 2 1 2 1 2 同理有 O1O2O3 B 故 O1O2O3 ABC 4 提示 将 ABC 简记为 由三中线 AD BE CF 围成的三角形简记为 G 为重心 连 DE 到 H 使 EH DE 连 HC HF 则 就是 HCF 1 a2 b2 c2成等差数列 若 ABC 为正三角 形 易证 不妨设 a b c 有 CF BE AD 222 22 2 1 cba 222 22 2 1 bac 222 22 2 1 acb 将 a2 c2 2b2 分别代入以上三式 得 CF BE AD a 2 3 b 2 3 c 2 3 CF BE AD a b c 故有 a 2 3 b 2 3 c 2 3 2 a2 b2 c2成等差数列 当 中 a b c 时 中 CF BE AD 2 S S a CF 据 三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 有 4 3 S S 4 3 3a2 4CF2 2a2 b2 c2a2 c2 2b2 2 2 a CF 4 3 G N M CB A N D O M K H A B C 5 证明 连接 AC CE EA 由已知可证 AD CF EB 是 ACE 的三条内角平分线 I 为 ACE 的内心 从 而有 ID CD DE IF EF FA IB AB BC 再由 BDF 易证 BP DQ FS 是它的三条高 I 是它的垂心 利用 不等 式有 BI DI FI 2 IP IQ IS 不难证明 IE 2IP IA 2IQ IC 2IS BI DI FI IA IE IC AB BC CD DE EF FA 2 BI DI FI IA IE IC BI DI FI AD BE CF I 就是一点两心 6 提示 设 AM 为高亦为中线 取 AC 中点 F E 必在 DF 上且 DE EF 2 1 设 CD 交 AM 于 G G 必为 ABC 重心 连 GE MF MF 交 DC 于 K 易证 DG GK DC DC 2 1 3 1 3 1 2 1 DG GK DE EFGE MF OD 丄 AB MF AB OD 丄 MFOD 丄 GE 但 OG 丄 DEG 又是 ODE 之垂心 易证 OE 丄 CD 7 提示 辅助线如图所示 作 DAO 平分线交 BC 于 K 易证 AID AIB EIB AID AIB EIB 利用内心张角公式 有 AIB 90 C 105 1 2 DIE 360 105 3 45 AKB 30 DAO 30 BAC BAO 30 1 2 1 2 1 2 BAC 60 BAC BAI BEI 1 2 AK IE 由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK DO 丄 IE 即 DF 是 DIE 的一条高 同理 EO 是 DIE 之垂心 OI 丄 DE 由 DIE IDO 易知 OI DE 习题 17 解答 1 B 2 A 3 A 4 C 5 选 B 只有 3 是对的 6 略 7 略 8 略 9 略 10 略 11 略 12 H 的轨迹是一条线段 补充 第五讲第五讲 三角形的五心三角形的五心 三角形的外心 重心 垂心 内心及旁心 统称为三角形的五心 一 外心 三角形外接圆的圆心 简称外心 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理 例 1 过等腰 ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM CA 交 AB 于 M 引 PN BA 交 AC 于 N 作点 P 关于 MN 的对称点 P 试证 P 点在 ABC 外接圆上 杭州大学 中学数学竞赛习题 分析 由已知可得 MP MP MB NP NP Erdos I P A B C D E F Q S A BC D E F O K G O A B C D E F I K 30 A BC P P M N NC 故点 M 是 P BP 的外心 点 N 是 P PC 的外心 有 BP P BMP BAC 2 1 2 1 PP C PNC BAC 2 1 2 1 BP C BP P P PC BAC 从而 P 点与 A B C 共圆 即 P 在 ABC 外接圆上 由于 P P 平分 BP C 显然还有 P B P C BP PC 例 2 在 ABC 的边 AB BC CA 上分别取点 P Q S 证明以 APS BQP CSQ 的外 心为顶点的三角形与 ABC 相似 B 波拉索洛夫 中学数学奥林匹克 分析 设 O1 O2 O3是 APS BQP CSQ 的外心 作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知 PO1S 2 A QO2P 2 B SO3Q 2 C PO1S QO2P SO3Q 360 从而又知 O1PO2 O2QO3 O3SO1 360 将 O2QO3绕着 O3点旋转到 KSO3 易判断 KSO1 O2PO1 同时可得 O1O2O3 O1KO3 O2O1O3 KO1O3 O2O1K 2 1 O2O1S SO1K 2 1 O2O1S PO1O2 2 1 PO1S A 2 1 同理有 O1O2O3 B 故 O1O2O3 ABC 二 重心 三角形三条中线的交点 叫做三角形的重心 掌握重心将每 条中线都分成定比 2 1 及中线长度公式 便于解题 例 3 AD BE CF 是 ABC 的三条中线 P 是任意一点 证明 在 PAD PBE PCF 中 A B C Q K P O O O S 1 2 3 A A F F G E E D C P CB D 其中一个面积等于另外两个面积的和 第 26 届莫斯科数学奥林匹克 分析 设 G 为 ABC 重心 直线 PG 与 AB BC 相交 从 A C D E F 分别 作该直线的垂线 垂足为 A C D E F 易证 AA 2DD CC 2FF 2EE AA CC EE DD FF 有 S PGE S PGD S PGF 两边各扩大 3 倍 有 S PBE S PAD S PCF 例 4 如果三角形三边的平方成等差数列 那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相 似 其逆亦真 分析 将 ABC 简记为 由三中线 AD BE CF 围成的三角形简记为 G 为重心 连 DE 到 H 使 EH DE 连 HC HF 则 就是 HCF 1 a2 b2 c2成等差数列 若 ABC 为正三角形 易证 不妨设 a b c 有 CF 222 22 2 1 cba BE 222 22 2 1 bac AD 222 22 2 1 acb 将 a2 c2 2b2 分别代入以上三式 得 CF BE AD a 2 3 b 2 3 c 2 3 CF BE AD a 2 3 b 2 3 c 2 3 a b c 故有 2 a2 b2 c2成等差数列 当 中 a b c 时 中 CF BE AD 2 S S a CF 据 三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 有 4 3 S S 4 3 3a2 4CF2 2a2 b2 c2 2 2 a CF 4 3 a2 c2 2b2 三 垂心 三角形三条高的交战 称为三角形的垂心 由三角形的垂心造成的四个等 外接 圆三角形 给我们解题提供了极大的便利 例 5 设 A1A2A3A4为 O 内接四边形 H1 H2 H3 H4依次为 A2A3A4 A3A4A1 A4A1A2 A1A2A3的垂心 求证 H1 H2 H3 H4四点共圆 并确定出该圆的圆心位置 1992 全国高中联赛 分析 连接 A2H1 A1H2 H1H2 记圆半径 为 R 由 A2A3A4知 2RA2H1 2Rcos A3A2A4 132 12 sinHAA HA 由 A1A3A4得 A1H2 2Rcos A3A1A4 但 A3A2A4 A3A1A4 故 A2H1 A1H2 易证 A2H1 A1A2 于是 A2H1 A1H2 故得 H1H2 A2A1 设 H1A1与 H2A2的交点为 M 故 H1H2与 A1A2关于 M 点成中心对称 同理 H2H3与 A2A3 H3H4与 A3A4 H4H1与 A4A1都关于 M 点成中心对称 故四边形 H1H2H3H4与四边形 A1A2A3A4关于 M 点成中心对称 两者是全等四边形 H1 H2 H3 H4在同一个圆上 后者的圆心设为 Q Q 与 O 也关于 M 成中心对称 由 O M 两点 Q 点就不难确定了 例 6 H 为 ABC 的垂心 D E F 分别是 BC CA AB 的中心 一个以 H 为圆心的 H 交 直线 EF FD DE 于 A1 A2 B1 B2 C1 C2 求证 AA1 AA2 BB1 BB2 CC1 CC2 1989 加拿大数学奥林匹克训练题 分析 只须证明 AA1 BB1 CC1即可 设 BC a CA b AB c ABC 外 接圆半径为 R H 的半径为 r 连 HA1 AH 交 EF 于 M A AM2 A1M2 AM2 r2 MH2 2 1 A r2 AM2 MH2 又 AM2 HM2 AH1 2 AH AH1 2 2 1 2 1 AH AH1 AH2 AH2 AB AH2 cosA bc AH2 O A A A A 1 2 3 4 H H 1 2 H H H M A B B AA B C C C F 1 2 1 1 1 2 2 2 D E 而 2RAH2 4R2cos2A ABH AH sin 2Ra2 4R2sin2A A a sin AH2 a2 4R2 AH2 4R2 a2 由 有 A r2 bc 4R2 a2 2 1 A bc acb 2 222 a2 b2 c2 4R2 r2 2 1 同理 a2 b2 c2 4R2 r2 2 1 BB 2 1 a2 b2 c2 4R2 r2 2 1 CC 2 1 故有 AA1 BB1 CC1 四 内心 三角形内切圆的圆心 简称为内心 对于内心 要掌握张角公式 还要记住下面一个极为 有用的等量关系 设 I 为 ABC 的内心 射线 AI 交 ABC 外接圆于 A 则有 A I A B A C 换言之 点 A 必是 IBC 之外心 内心的等量关系之逆同样有用 例 7 ABCD 为圆内接凸四边形 取 DAB ABC BCD CDA 的内心 O1 O2 O3 O4 求证 O1O2O3O4为矩形 1986 中国数学奥林匹克集训题 证明见 中等数学 1992 4 例 8 已知 O 内接 ABC Q 切 AB AC 于 E F 且与 O 内切 试证 EF 中点 P 是 ABC 之内心 B 波拉索洛夫 中学数学奥林匹克 分析 在第 20 届 IMO 中 美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例 但它增加了条件 AB AC 当 AB AC 怎样证明呢 如图 显然 EF 中点 P 圆心 Q BC 中点 K 都在 BAC 平分线上 易知 AQ sin r QK AQ MQ QN QK AQ QNMQ sin 2 r rrR 2 sinrR 由 Rt EPQ 知 PQ r sin AB C D O O O 2 3 4 O1 A M B C K N E R O Q F r P PK PQ QK r sin 2 sinrR R2sin PK BK 利用内心等量关系之逆定理 即知 P 是 ABC 这内心 五 旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点 是旁切圆的圆心 称为旁心 旁心常常与内心联系在一起 旁心还与三角形的半周长关系密切 例 9 在直角三角形中 求证 r ra rb rc 2p 式中 r ra rb rc分别表示内切圆半径及与 a b c 相切的旁切圆半径 p 表示半周 杭州大学 中学数学竞赛习题 分析 设 Rt ABC 中 c 为斜边 先来证明一个特性 p p c p a p b p p c a b c a b c 2 1 2 1 a b 2 c2 4 1 ab 2 1 p a p b a b c a b c 2 1 2 1 c2 a b 2 ab 4 1 2 1 p p c p a p b 观察图形 可得 ra AF AC p b rb BG BC p a rc CK p 而 r a b c 2 1 p c r ra rb rc p c p b p a p 4p a b c 2p 由 及图形易证 例 10 M 是 ABC 边 AB 上的任意一点 r1 r2 r 分别是 AMC BMC ABC 内切圆的 K r r r r O O O 2 1 3 A O E C B a b c 半径 q1 q2 q 分别是上述三角形在 ACB 内部的旁切圆半径 证明 1 1 q r 2 2 q r q r IMO 12 分析 对任意 A B C 由正弦定理可知 OD OA 2 sin A A B sin 2 sin BOA B 2 sin A A B 2 sin 2 sin 2 sin BA BA O E A B 2 sin 2 cos 2 cos BA BA 2 2 B tg A tg EO OD 亦即有 1 1 q r 2 2 q r 2222 B tg CNB tg CMA tg A tg 22 B tg A tg q r 六 众心共圆 这有两种情况 1 同一点却是不同三角形的不同的心 2 同一图形出现了同一三角形 的几个心 例 11 设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中 AB BC CD DE EF FA 试证 1 AD BE CF 三条对角线交于一点 2 AB BC CD DE EF FA AK BE CF 1991 国家教委数学试验班招生试题 分析 连接 AC CE EA 由已知可证 AD CF EB 是 ACE 的三条内角平分线 I 为 ACE 的内心 从而有 ID CD DE IF EF FA IB AB BC 再由 BDF 易证 BP DQ FS 是它的三条高 I 是它的垂心 利用 不等式有 BI DI FI 2 IP IQ IS 不难证明 IE 2IP IA 2IQ IC 2IS BI DI FI IA IE IC A B C O O E D Erdos I P A B C D E F Q S AB BC CD DE EF FA 2 BI DI FI IA IE IC BI DI FI AD BE CF I 就是一点两心 例 12 ABC 的外心为 O AB AC D 是 AB 中点 E 是 ACD 的重心 证明 OE 丄 CD 加拿大数学奥林匹克训练题 分析 设 AM 为高亦为中线 取 AC 中点 F E 必在 DF 上且 DE EF 2 1 设 CD 交 AM 于 G G 必为 ABC 重心 连 GE MF MF 交 DC 于 K 易证 DG GK DC DC 2 1 3 1 3 1 2 1 DG GK DE EFGE MF OD 丄 AB MF AB OD 丄 MFOD 丄