二元一次方程组应用题-分类总结

二元一次方程组应用探索二元一次方程组应用探索 二元一次方程组是最简单的方程组 其应用广泛 尤其是生活 生产实践中的许多问 题 大多需要通过设元 布列二元一次方程组来加以解决 现将常见的几种题型归纳如下 一 数字问题一 数字问题 例 1 一个两位数 比它十位上的数与个位上的数的和大 9 如果交换十位上的数与个 位上的数 所得两位数比原两位数大 27 求这个两位数 分析 设这个两位数十位上的数为 x 个位上的数为 y 则这个两位数及新两位数及其 之间的关系可用下表表示 解方程组 109 101027 xyxy yxxy 得 1 4 x y 因此 所求的两位数是 14 点评 由于受一元一次方程先入为主的影响 不少同学习惯于只设一元 然后列一元 一次方程求解 虽然这种方法十有八九可以奏效 但对有些问题是无能为力的 象本题 如果直接设这个两位数为 x 或只设十位上的数为 x 那将很难或根本就想象不出关于 x 的 方程 一般地 与数位上的数字有关的求数问题 一般应设各个数位上的数为 元 然后 列多元方程组解之 二 利润问题二 利润问题 例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20 如果打八折出售可以盈利 10 元 问此商品的定价是多少 分析 商品的利润涉及到进价 定价和卖出价 因此 设此商品的定价为 x 元 进价 为 y 元 则打九折时的卖出价为 0 9x 元 获利 0 9x y 元 因此得方程 0 9x y 20 y 打八 折时的卖出价为 0 8x 元 获利 0 8x y 元 可得方程 0 8x y 10 解方程组 0 920 0 810 xyy xy 解得 200 150 x y 因此 此商品定价为 200 元 十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系 原两位数xy10 x y10 x y x y 9 新两位数y 10y x10y x 10 x y 27 点评 商品销售盈利百分数是相对于进价而言的 不要误为是相对于定价或卖出 价 利润的计算一般有两种方法 一是 利润 卖出价 进价 二是 利润 进价 利润率 盈利百分数 特别注意 利润 和 利润率 是不同的两个概念 三 配套问题三 配套问题 例 3 某厂共有 120 名生产工人 每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个 如果 一个螺栓与两个螺母配成一套 那么每天安排多名工人生产螺栓 多少名工人生产螺母 才能使每天生产出来的产品配成最多套 分析 要使生产出来的产品配成最多套 只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套 根 据题意 每天生产的螺栓与螺母应满足关系式 每天生产的螺栓数 2 每天生产的螺母数 1 因此 设安排 人生产螺栓 人生产螺母 则每天可生产螺栓 25 个 螺母 20 个 依题意 得 120 502201 xy xy 解之 得 20 100 x y 故应安排 20 人生产螺栓 100 人生产螺母 点评 产品配套是工厂生产中基本原则之一 如何分配生产力 使生产出来的产品恰 好配套成为主管生产人员常见的问题 解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等 关系 其中两种最常见的配套问题的等量关系是 1 二合一 问题 如果 件甲产品和 件乙产品配成一套 那么甲产品数的 倍等 于乙产品数的 倍 即 ab 甲产品数乙产品数 2 三合一 问题 如果甲产品 件 乙产品 件 丙产品 件配成一套 那么各种 产品数应满足的相等关系式是 abc 甲产品数乙产品数丙产品数 四 行程问题四 行程问题 例 4 在某条高速公路上依次排列着 A B C 三个加油站 A 到 B 的距离为 120 千米 B 到 C 的距离也是 120 千米 分别在 A C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同 时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场 正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命 令后立即以相同的速度分别往 A C 两个加油站驶去 结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后 就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住 而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶 上 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少 研析 设巡逻车 犯罪团伙的车的速度分别为 x y 千米 时 则 3120 120 xy xy 整理 得 40 120 xy xy 解得 80 40 x y 因此 巡逻车的速度是 80 千米 时 犯罪团伙的车的速度是 40 千米 时 点评 相向而遇 和 同向追及 是行程问题中最常见的两种题型 在这两种题型中都 存在着一个相等关系 这个关系涉及到两者的速度 原来的距离以及行走的时间 具体表 现在 相向而遇 时 两者所走的路程之和等于它们原来的距离 同向追及 时 快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离 五 货运问题五 货运问题 典例 5 某船的载重量为 300 吨 容积为 1200 立方米 现有甲 乙两种货物要运 其 中甲种货物每吨体积为 6 立方米 乙种货物每吨的体积为 2 立方米 要充分利用这艘船的 载重和容积 甲 乙两重货物应各装多少吨 分析 充分利用这艘船的载重和容积 的意思是 货物的总重量等于船的载重量 且 货 物的体积等于船的容积 设甲种货物装 x 吨 乙种货物装 y 吨 则 300 621200 xy xy 整理 得 300 3600 xy xy 解得 150 150 x y 因此 甲 乙两重货物应各装 150 吨 点评 由实际问题列出的方程组一般都可以再化简 因此 解实际问题的方程组时要 注意先化简 再考虑消元和解法 这样可以减少计算量 增加准确度 化简时一般是去分 母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项 合并同类项等 六 工程问题六 工程问题 例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务 要求在规定期限内完成 按照这个服 装厂原来的生产能力 每天可生产这种服装 150 套 按这样的生产进度在客户要求的期限 内只能完成订货的 4 5 现在工厂改进了人员组织结构和生产流程 每天可生产这种工作服 200 套 这样不仅比规定时间少用 1 天 而且比订货量多生产 25 套 求订做的工作服是几 套 要求的期限是几天 分析 设订做的工作服是 x 套 要求的期限是 y 天 依题意 得 4 150 5 200125 yx