一元一次不等式的解法(教师版)

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 1 一元一次不等式的解法 基础 知识讲解一元一次不等式的解法 基础 知识讲解 学习目标学习目标 1 理解并掌握一元一次不等式的概念及性质 2 能够熟练解一元一次不等式 3 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集 要点梳理要点梳理 要点一 一元一次不等式的概念要点一 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数 未知数的次数是一次的不等式 叫做一元一次不等式 例如 2 50 3 x 是一个一元一次不等式 要点诠释 要点诠释 1 一元一次不等式满足的条件 左右两边都是整式 单项式或多项式 只含有一个未知数 未知数的最高次数为 1 2 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系 相同点 相同点 二者都是只含有一个未知数 未知数的次数都是 1 左边 和 右边 都是整 式 不同点 不同点 一元一次不等式表示不等关系 由不等号 或 连接 不 等号有方向 一元一次方程表示相等关系 由等号 连接 等号没有方向 要点二 一元一次不等式的解法要点二 一元一次不等式的解法 1 1 解不等式 解不等式 求不等式解的过程叫做解不等式 2 2 一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似 其根据是不等式的基本性质 将不等式逐步化为 ax 或ax 的形式 解一元一次不等式的一般步骤为 1 去分母 2 去括号 3 移 项 4 化为axb 或axb 的形式 其中0a 5 两边同除以未知数的系数 得 到不等式的解集 要点诠释 要点诠释 1 在解一元一次不等式时 每个步骤并不一定都要用到 可根据具体问题灵活运用 2 解不等式应注意 去分母时 每一项都要乘同一个数 尤其不要漏乘常数项 移项时不要忘记变号 去括号时 若括号前面是负号 括号里的每一项都要变号 在不等式两边都乘以 或除以 同一个负数时 不等号的方向要改变 要点三 不等式的解及解集要点三 不等式的解及解集 1 1 不等式的解 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解 2 2 不等式的解集 不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式 它的所有解组成这个不等式的解集 要点诠释 要点诠释 不等式的解是具体的未知数的值 不是一个范围 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 2 不等式的解集 是一个集合 是一个范围 其含义 解集中的每一个数值都能使不等式成立 能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3 3 不等式的解集的表示方法不等式的解集的表示方法 1 1 用最简的不等式表示 用最简的不等式表示 一般地 一个含有未知数的不等式有无数个解 其解集是一个 范围 这个范围可用最简单的不等式来表示 如 不等式 x 2 6 的解集为 x 8 2 2 用数轴表示用数轴表示 不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来 形象地表明不等式的无限个 解 如图所示 要点诠释 要点诠释 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来 在应用数轴表示不等式的解集时 要 注意两个 确定 一是确定 边界点 二是确定方向 1 确定 边界点 若边界点 是不等式的解 则用实心圆点 若边界点不是不等式的解 则用空心圆圈 2 确定 方向 对边界点 a 而言 x a 或 x a 向右画 对边界点 a 而言 x a 或 x a 向左画 注意 在表示 a 的点上画空心圆圈 表示不包括这一点 典型例题典型例题 类型一 一元一次不等式的概念类型一 一元一次不等式的概念 1 下列式子中 是一元一次不等式的有哪些 1 3x 5 0 2 2x 3 5 3 3 8 4 x 4 1 x 2 5 2x y 8 思路点拨 根据一元一次不等式的定义判断 1 是等式 4 不等式的左边不是整式 5 含有两个未知数 答案与解析 解 2 3 是一元一次不等式 总结升华 一元一次不等式的定义主要由三部分组成 不等式的左右两边分母不含未 知数 不等式中只含一个未知数 未知数的最高次数是 1 三个条件缺一不可 类型二 解一元一次不等式类型二 解一元一次不等式 2 解不等式 2 1x 3 1x 2 并把解集在数轴上表示出来 思路点拨 解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的 答案与解析 解 去括号 得 23x32x2 移项 合并同类项 得 3x 系数化 1 得 3x 这个不等式的解集在数轴上表示如图 总结升华 在不等式的两边同乘以 或除以 负数时 必须改变不等号的方向 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 3 举一反三 举一反三 变式 不等式 2 x 1 3x 1 的解集在数轴上表示出来应为 答案 C 3 2016 连云港 解不等式 并将解集在数轴上表示出来 思路点拨 先去分母 再去括号 移项 合并同类项 把 x 的系数化为 1 即可 答案与解析 解 去分母 得 1 x 3x 3 移项 得 x 3x 3 1 合并同类项 得 2x 4 系数化为 1 得 x 2 将解集表示在数轴上如图 总结升华 本题考查的是解一元一次不等式 熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答 此题的关键 去分母时 不要漏乘不含分母的项 举一反三 举一反三 变式 若3 5 1 1 x y 1 4 52 2 x y 问 x 取何值时 21 yy 答案 解 解 3 5 1 1 x y 1 4 52 2 x y 若 21 yy 则有1 4 52 3 5 1 xx 即 6 101 x 当 6 101 x时 21 yy 4 关于 x 的不等式 2x a 1 的解集为 x 1 则 a 的值是 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 4 思路点拨 首先把 a 作为已知数求出不等式的解集 然后根据不等式的解集为 x 1 即 可得到关于 a 的方程 解方程即可求解 答案 解析 由已知得 1 2 a x 由 1 1 2 a 得1a 总结升华 解不等式要依据不等式的基本性质 注意移项要改变符号 举一反三 举一反三 变式 1 如果关于 x 的不等式 a 1 x a 1 的解集是 x l 则 a 的取值范围是 答案 1a 变式 2 求不等式 1 2 的非正整数解 答案 解 1 2 6 3 x 1 12 2 x 7 6 3x 3 12 2x 14 3x 2x 12 14 6 3 5x 11 x 2 所以非正整数解为 0 1 2 类型三 不等式的解及解集类型三 不等式的解及解集 5 对于不等式 4x 7 x 2 8 不是它的解的是 A 5 B 4 C 3 D 2 思路点拨 根据不等式解的定义作答 答案 D 解析 解 当 x 5 时 4x 7 x 2 41 8 当 x 4 时 4x 7 x 2 30 8 当 x 3 时 4x 7 x 2 19 8 当 x 2 时 4x 7 x 2 8 故知 x 2 不是原不等式的解 总结升华 不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的 其判定方法是相同的 6 不等式 x 1 在数轴上表示正确的是 思路点拨 根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可 答案 C 解析 解 不等式 x 1 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 5 在数轴上表示为 故选 C 总结升华 用数轴表示解集时 应注意两点 一是 边界点 如果边界点包含于解集 则用实心圆点 二是 方向 相对于边界而言 大于向右 小于向左 同时还应善于逆 向思维 通过读数轴写出对应不等式的解集 举一反三 举一反三 变式 如图 在数轴上表示的解集对应的是 A 2 x 4B 2 x 4 C 2 x 4 D 2 x 4 答案 B 巩固练习巩固练习 一 选择题一 选择题 1 下列各式中 是一元一次不等式的是 A 5 4 8 B 2x 1 C 2x 5 D 1 x 3x 0 2 已知 a b 则下列不等式正确的是 A 3a 3b B 33 ab C 3 a 3 b D a 3 b 3 3 下列说法中 正确的是 A x 3 是不等式 2x 1 的解 B x 3 是不等式 2x 1 的唯一解 C x 3 不是不等式 2x 1 的解 D x 3 是不等式 2x 1 的解集 4 在下列解不等式的过程中 错误的一步是 A 去分母得 5 2 x 3 2x 1 B 去括号得 10 5x 6x 3 C 移项得 5x 6x 3 10 D 系数化为 1 得 x 3 5 不等式6x2x34 的非负整数解有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 2016 六盘水 不等式 3x 2 2x 3 的解集在数轴上表示正确的是 A B C D 二二 填空题填空题 7 用 或 填空 并说明是根据不等式的哪条基本性质 1 如果 x 2 5 那么 x 3 根据是 2 如果 3 1 4 a 那么 a 4 3 根据是 3 如果 2 3 3 x 那么 x 9 2 根据是 4 如果 x 3 1 那么 x 2 根据是 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 6 8 若 a 0 则关于 x 的不等式 ax b 的解集是 若 a 0 则关于 x 的不等式以 ax b 的解集是 9 不等式 x 4 的解集是 10 不等式12x76x4 的非负整数解为 11 2017 新城区校级模拟 不等式 x 2 0 的最大正整数解是 12 若 m 5 试用 m 表示出不等式 5 m x 1 m 的解集 三 解答题三 解答题 13 解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 1 5x 12 2 4x 3 2 1 14 a 取什么值时 代数式 3 2a 的值 1 大于 1 2 等于 1 3 小于 1 15 y 取什么值时 代数式 2y 3 的值 1 大于 5y 3 的值 2 不大于 5y 3 的值 16 求不等式 64 11x 4 的正整数解 答案与解析答案与解析 一 选择题一 选择题 1 答案 C 解析 考查一元一次不等式的概念 2 答案 D 解析 考查一元一次不等式的性质 3 答案 A 4 答案 D 解析 解 去分母得 5 2 x 3 2x 1 去括号得 10 5x 6x 3 移项得 5x 6x 3 10 合并同类项得 x 13 系数化为 1 得 x 13 故 D 错误 故选 D 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 7 5 答案 C 解析 先求得解集为2x 所以非负整数解为 0 1 2 6 答案 D 解析 解 3x 2 2x 3 移项及合并同类项 得 x 1 故选 D 二 填空题二 填空题 7 答案 1 不等式基本性质 1 2 不等式基本性质 3 3 不等式基本 性质 2 4 不等式基本性质 1 8 答案 b x a b x a 解析 不等式两边同除以一个正数 不等号不变 不等式两边同除以一个负数 不等 号改变方向 9 答案 x 2 解析 解 x 4 3 x 4 4x 10 3x 12 4x 10 3x 4x 10 12 x 2 x 2 故答案为 x 2 10 答案 0 1 2 解析 解不等式得2x 11 答案 5 解析 解 x 2 0 移项 得 x 2 系数化为 1 得 x 6 故不等式 x 2 0 的最大正整数解是 5 12 答案 1 5 m x m 解析 5m 50m 所以 5 m x 1 m 可得 11 55 mm x mm 三 解答题三 解答题 13 解析 解 1 去括号得 5x 12 8x 6 5x 8x 6 12 3x 6 x 2 在数轴上表示不等式的解集为 2 去分母得 3 3x 2 5 2x 1 15 9x 6 10 x 5 15 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 8 9x 10 x 15 5 6 x 4 x 4 在数轴上表示不等式的解集为 14 解析 解 1 由 3 2a 1 得 a 1 2 由 3 2a 1 得 a 1 3 由 3 2a 1 得 a 1 15 解析 解 1 由 2y 3 5y 3 得 y 0 2 由 2y 3 5y 3 得 y 0 16 解析 解 先解不等式的解集为 x 11 60 所以正整数解为 1 2 3 4 5 拓展 典型例题典型例题 类型一 一元一次不等式的概念类型一 一元一次不等式的概念 1 下列式子哪些是一元一次不等式 哪些不是一元一次不等式 为什么 1 0 x 2 1 x 1 3 2x 2 4 3yx 5 1x 思路点拨 根据一元一次不等式的定义判断 答案与解析 解 1 是一元一次不等式 2 3 4 5 不是一元一次不等式 因为 2 中分母中 含有字母 3 未知数的最高次数不是 1 次 4 不等式左边含有两个未知数 5 不是 不等式 是一元一次方程 总结升华 一元一次不等式的定义主要由三部分组成 不等式的左右两边分母不含未 知数 不等式中只含一个未知数 未知数的最高次数是 1 三个条件缺一不可 类型二 解一元一次不等式类型二 解一元一次不等式 2 求不等式 的非负整数解 并把它的解在数轴上表 示出来 思路点拨 首先应对不等式的左右代数式化简 使得分子 分母上的小数化成整数 然 后根据不等式的性质 2 去掉分母等进行求解不等式 再在解集中求出符合条件的非负整 数 答案与解析 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 9 解 原不等式可化为 去分母 得 6 4x 10 15 5 x 10 3 2x 去括号 得 24x 60 75 15x 30 20 x 移项 得 24x 15x 20 x 30 60 75 合并同类项 得 59x 165 把系数化为 1 得 x 解集 x 的非负整数解是 0 1 2 数轴表示是 总结升华 本题主要考查了不等式的解法 求出解集是解答本题的关键 解不等式应根 据不等式的基本性质 举一反三 举一反三 变式 1 解不等式 2x 2 1 4 x 3 2 2 3 答案 解 去括号 得2x31 4 x 移项 合并同类项得 6x 4 3 系数化 1 得8x 故原不等式的解集是8x 变式 2 代数式的值不大于的值 求 x 的范围 答案 解 根据题意得 解不等式 去分母得 6 3 3x 1 2 1 2x 去括号得 6 9x 3 2 4x 移项得 4x 9x 2 6 3 合并同类项得 5x 7 解得 x 3 m 为何值时 关于 x 的方程 6151 632 xmm x 的解大于 1 思路点拨 从概念出发 解出方程 用 m 表示 x 然后解不等式 答案与解析 解 x 12m 2 6x 15m 3 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 10 5x 3m 1 31 5 m x 由 31 1 5 m 解得 m 2 总结升华 此题亦可用 x 表示 m 然后根据 x 的范围运用不等式基本性质推导出 m 的范 围 举一反三 举一反三 变式 已知关于x方程 3 x2 3 mx2 x 的解是非负数 m是正整数 则 m 答案 1 或 2 4 2016 杭州模拟 若关于 x y 的二元一次方程组的解满足 x y 3 5 求出满足条件的 m 的所有正整数解 思路点拨 先解出方程组再解不等式 答案与解析 解 由方程组的两个方程相减得 x y 0 5m 2 0 5m 2 3 5 m 3 满足条件的 m 的所有正整数解为 m 1 m 2 总结升华 本题考查了巧解二元一次方程组 有时根据具体问题 可以不必解出y x的 具体值 能得出关于 m 的不等式是解此题的关键 类型二 不等式的解及解集类型二 不等式的解及解集 5 若关于x的不等式ax 只有三个正整数解 求a的取值范围 思路点拨 首先根据题意确定三个正整数解 然后再确定 a 的范围 答案 4a3 解析 解 不等式ax 只有三个正整数解 三个正整数解为 1 2 3 4a3 总结升华 此题主要考查了一元一次不等式的整数解 做此题的关键是确定好三个正整 数解 举一反三 举一反三 变式 已知ax 的解集中的最大整数为 3 则a的取值范围是 答案 4a3 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 11 类型四 逆用不等式的解集类型四 逆用不等式的解集 6 若关于x的不等式nmx 的解集为 5 3 x 则关于x的不等式 0n5mx nm2 的解集 思路点拨 先根据第一个不等式确定n m的关系或符号 再代入第二个不等式进行求 解 答案 7 10 x 解析 解 由nmx 的解集为 5 3 x 可知得 0m 5 3 m n 即m 5 3 n 将上式代入0n5mx nm2 化简整理得 m2mx 5 7 又0m 所以 7 10 x 总结升华 解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定0m 巩固练习巩固练习 一 选择题一 选择题 1 已知关于 x 的不等式 1 0 m mx 是一元一次不等式 那么 m 的值是 A m 1 B m 1 C m 1 D 不能确定 2 由mn 得到 22 mana 则 a 应该满足的条件是 A a 0 B a 0 C a 0 D a 为任意实数 3 已知 1 25yx 2 23yx 如果 12 yy 则 x 的取值范围是 A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 4 设 a b 是常数 不等式 0 的解集为 x 则关于 x 的不等式 bx a 0 的解集是 A x B x C x D x 5 2016 南充 不等式 1 的正整数解的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 关于x的不等式2ax2 的解集如图所示 则a的值是 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 12 A 0 B 2 C 2 D 4 二二 填空题填空题 7 2016 绍兴 不等式 2 的解是 8 若不等式 3m 2 x 7 的解集为 x 则 m 的值为 9 比较大小 22 336ab 22 241ab 10 已知 4 是不等式5ax 的解集中的一个值 则a的范围为 11 若关于 x 的不等式30 xa 只有六个正整数解 则 a 应满足 12 已知ax 的解集中的最小整数为2 则a的取值范围是 三 解答题三 解答题 13 若 m n 为有理数 解关于 x 的不等式 m2 1 x n 14 当 x 为何值时 代数式 x 3 的值比 6x 3 的值大 15 当 3 10 3 2 k k 时 求关于 x 的不等式 kx xk 4 5 的解集 16 已知 A 2x2 3x 2 B 2x2 4x 5 试比较 A 与 B 的大小 答案与解析答案与解析 一 选择题一 选择题 1 答案 C 解析 1 10mm 所以1m 2 答案 C 解析 由mn 得到 22 mana 不等式两边同乘以 2 a 不等号方向没变 所以 2 0 0aa 3 答案 B 解析 12 yy 即2523xx 解得 2x 4 答案 B 解析 解 解不等式 0 初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组 13 移项得 解集为 x 且 a 0 b 5a 0 解不等式 bx a 0 移项得 bx a 两边同时除以 b 得 x