【三维设计】2014高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十九）空间向量与空间角 理 新人教A版

1 课时跟踪检测课时跟踪检测 四十九四十九 空间向量与空间角空间向量与空间角 1 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 点E F分别是棱AB BB1的中点 则直线EF和BC1所成的角为 2 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 2AC AA1 BC 2 若二面角 B1 DC C1的大小为 60 则AD的长为 3 如图 在正四棱锥S ABCD中 O为顶点在底面上的射影 P为侧棱SD的中点 且 SO OD 则直线BC与平面PAC所成角为 4 2012 广州模拟 如图 在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中 AD BC ABC 90 PA 平面ABCD PA 3 AD 2 AB 2 BC 6 3 1 求证 BD 平面PAC 2 求二面角P BD A的大小 5 2012 辽宁高考 如图 直三棱柱ABC A B C BAC 90 2 AB AC AA 点M N分别为A B和B C 的中点 1 证明 MN 平面A ACC 2 若二面角A MN C为直二面角 求 的值 6 如图 1 在 Rt ABC中 C 90 BC 3 AC 6 D E分别是AC AB上的点 且DE BC DE 2 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1C CD 如图 2 1 求证 A1C 平面BCDE 2 若M是A1D的中点 求CM与平面A1BE所成角的大小 3 线段BC上是否存在点P 使平面A1DP与平面A1BE垂直 说明理由 1 2013 汕头模拟 如图所示 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为正方形 PD 平面 ABCD PD AB 2 E F G分别为PC PD BC的中点 1 求证 PA EF 2 求二面角D FG E的余弦值 2 2012 北京西城模拟 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC 2AA1 ABC 90 D是BC的中点 3 1 求证 A1B 平面ADC1 2 求二面角C1 AD C的余弦值 3 试问线段A1B1上是否存在点E 使AE与DC1成 60 角 若存在 确定E点位置 若不存在 说明理由 答 案 课时跟踪检测 四十九 A 级 1 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 设AB BC AA1 2 则C1 2 0 2 E 0 1 0 F 0 0 1 则 0 1 1 2 0 2 EF 1 BC 2 EF 1 BC cos EF 1 BC 2 2 2 2 1 2 EF和BC1所成角为 60 答案 60 2 解析 如图 以C为坐标原点 CA CB CC1所在的直线分 别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则C 0 0 0 A 1 0 0 B1 0 2 2 C1 0 0 2 设AD a 则D点坐标为 1 0 a 1 0 a 0 2 2 CD 1 CB 设平面B1CD的一个法向量为m x y z 则Error Error 令z 1 得m a 1 1 又平面C1DC的一个法向量为n 0 1 0 4 则由 cos 60 得 即a m n m n 1 a2 2 1 22 故AD 2 答案 2 3 解析 如图所示 以O为原点建立空间直角坐标系O xyz 设OD SO OA OB OC a 则A a 0 0 B 0 a 0 C a 0 0 P 0 a 2 a 2 则 2a 0 0 a a 0 CA AP a a 2 a 2 CB 设平面PAC的法向量为n 可求得n 0 1 1 则 cos n CB n n a 2a2 2 1 2 n 60 CB 直线BC与平面PAC的夹角为 90 60 30 答案 30 4 解 1 证明 由题可知 AP AD AB两两垂直 则分别以 AB AD AP所在直线为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 6 0 D 0 2 0 P 0 0 3 33 0 0 3 2 6 0 2 2 0 AP AC 3 BD 3 0 0 BD AP BD AC BD AP BD AC 又PA AC A BD 平面PAC 2 显然平面ABD的一个法向量为m 0 0 1 设平面PBD的法向量为n x y z 则n 0 n 0 BD BP 由 1 知 2 0 3 BP 3 Error 整理得Error 令x 则n 3 2 33 cos m n m n m n 1 2 结合图形可知二面角P BD A的大小为 60 5 解 1 法一 证明 5 如图 连接AB AC 由已知 BAC 90 AB AC 三棱柱ABC A B C 为直 三棱柱 所以M为AB 中点 又因为N为B C 的中点 所以MN AC 又MN 平面A ACC A C 平面A ACC 所以MN 平面A ACC 法二 证明 取A B 中点P 连接MP NP 而M N分别为AB 与B C 的中点 所以MP AA PN A C 所以MP 平面A ACC PN 平面A ACC 又MP NP P 因此平面MPN 平面A ACC 而MN 平面MPN 因此MN 平面A ACC 2 以A为坐标原点 分别以直线AB AC AA 为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标 系O xyz 如图所示 设AA 1 则AB AC 于是A 0 0 0 B 0 0 C 0 0 A 0 0 1 B 0 1 C 0 1 所以M N 2 0 1 2 2 2 1 设m x1 y1 z1 是平面A MN的法向量 由Error 得Error 可取m 1 1 设n x2 y2 z2 是平面MNC的法向量 由Error 得Error 可取n 3 1 因为A MN C为直二面角 所以m n 0 即 3 1 1 2 0 6 解得 负值舍去 2 6 解 1 证明 因为AC BC DE BC 所以DE AC 所以ED A1D DE CD 所以DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因为A1C CD 所以A1C 平面BCDE 2 如图 以C为坐标原点 建立空间直角坐标系C xyz 则 A1 0 0 2 D 0 2 0 M 0 1 B 3 0 0 E 2 2 0 33 设平面A1BE的法向量为n x y z 则 n 0 n 0 1 A B BE 又 3 0 2 1 2 0 1 A B 3 所以Error 令y 1 则x 2 z 3 所以n 2 1 3 设CM与平面A1BE所成的角为 因为 0 1 CM 3 所以 sin cos n CM n CM n CM 4 8 4 2 2 所以CM与平面A1BE所成角的大小为 4 3 线段BC上不存在点P 使平面A1DP与平面A1BE垂直 理由如下 假设这样的点P 存在 设其坐标为 p 0 0 其中p 0 3 设平面A1DP的法向量为m x y z 则 m 0 m 0 1 A D DP 又 0 2 2 p 2 0 1 A D 3 DP 所以Error 令x 2 则y p z p 3 所以m 2 p p 3 平面A1DP 平面A1BE 当且仅当m n 0 即 4 p p 0 解得p 2 与p 0 3 矛盾 7 所以线段BC上不存在点P 使平面A1DP与平面A1BE垂直 B 级 1 解 以D为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 则D 0 0 0 A 0 2 0 C 2 0 0 P 0 0 2 E 1 0 1 F 0 0 1 G 2 1 0 1 证明 由于 0 2 2 1 0 0 PA EF 则 1 0 0 2 2 0 0 PA EF PA EF 2 易知 0 0 1 1 0 0 2 1 1 DF EF FG 设平面DFG的法向量m x1 y1 z1 则Error 解得Error 令x1 1 得m 1 2 0 是平面DFG的一个法向量 设平面EFG的法向量n x2 y2 z2 同理可得n 0 1 1 是平面EFG的一个法向量 cos m n m n m n 2 5 2 2 10 10 5 设二面角D FG E的平面角为 由图可知 m n cos 10 5 二面角D FG E的余弦值为 10 5 2 解 1 证明 连接A1C 交AC1于点O 连接OD 由ABC A1B1C1是直三棱柱 得四边形ACC1A1为矩形 O为A1C的中点 又D为BC的中点 所以OD为 A1BC的中位线 所以A1B OD 8 因为OD 平面ADC1 A1B 平面ADC1 所以A1B 平面ADC1 2 由ABC A1B1C1是直三棱柱 且 ABC 90 得BA BC BB1两两垂直 以BC BA BB1所在直线分别为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系B xyz 设BA 2 则B 0 0 0 C 2 0 0 A 0 2 0 C1 2 0 1 D 1 0 0 所以 1 2 0 2 2 1 AD 1 AC 设平面ADC1的法向量为n x y z 则有Error 所以Error 取y 1 得n 2 1 2 易知平面ADC的一个法向量为v 0 0 1 所以 cos n v n v n v 2 3 因为二面角C1 AD C是锐二面角 所