【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第二部分 专题4配套专题检测

1 三维设计三维设计 江苏专版 江苏专版 20132013 高中数学二轮专题高中数学二轮专题 第二部分第二部分 专题专题 4 4 配套专题检测配套专题检测 1 对任意实数m 过函数f x x2 mx 1 图象上的点 2 f 2 的切线恒过一定点 P 则点P的坐标为 解析 因为f x 2x m 故f 2 4 m 于是过点 2 f 2 的切线方程是 y 5 2m 4 m x 2 即y m 4 x 3 因此切线恒过点 0 3 答案 0 3 2 对于满足 0 p 4 的所有实数p 使不等式x2 px 4x p 3 成立的x的取值范围 是 解析 设f p p x 1 x2 4x 3 f p 为关于p的一次函数 要使f p 0 对 p 0 4 恒成立 则Error 解得x 3 或x 1 答案 1 3 3 设F1是椭圆 1 的左焦点 弦AB过椭圆的右焦点F2 则 F1AB面积的最大 x2 3 y2 2 值为 解析 如图所示 由椭圆方程可知 a2 3 b2 2 c 1 设 A x1 y1 B x2 y2 则S F1AB F1F2 y1 y2 y1 y2 设直 1 2 线AB的方程为x my 1 代入椭圆方程 化简得 2m2 3 y2 4my 4 0 由根与系数的关系 得 y1 y2 y1 y2 2 4y1y2 4 3 m2 1 2m2 3 4 3 2m2 1 1 m2 1 令t 1 则S F1AB m2 1 4 3 2t 1 t f t 2t 在 1 上是增函数 1 t f t min f 1 3 2 S F1AB max 此时t 1 即m 0 4 3 3 答案 4 3 3 4 函数f x ax a 1 存在零点x0 且x0 0 2 则实数a的取值范围是 解析 f 0 f 2 0 得 a1 答案 1 1 5 设函数f x x 对任意x 1 f mx mf x 0 恒成立 则实数m的 1 x 取值范围是 解析 因为对任意x 1 f mx mf x 2mx 0 恒成立 显然m 0 1 mx m x 所以当m0 对任意x 1 恒成立 即 2m2 1 1 m2 0 解 得m2 1 即m0 时 有 2m2x2 1 m2 0 对任意x 1 恒成立 m无解 综上所述m1 则双曲线 1 的离心率e的取值范围是 x2 a2 y2 a 1 2 解析 e2 2 1 2 因为 是减函数 所以当a 1 时 c a a2 a 1 2 a2 1 1 a 1 a 0 1 所以 2 e2 5 即 e1 时 原方程有两个 不等的根 当 0 t 1 时 原方程有 4 个根 当t 1 时 原方程有 3 个根 当k 2 时 方程 有一个正根t 2 相应的原方程的解有 2 个 当k 时 方程 有两个相等正根t 相应的原方程的解有 4 个 1 4 1 2 当k 0 时 此时方程 有两个不等根t 0 或t 1 故此时原方程有 5 个根 当 0 k 时 方程 有两个不等正根 且此时方程 有两正根且均小于 1 故相应 1 4 的满足方程 x2 1 t的解有 8 个 答案 9 设f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当x0 且g 3 0 则不等式f x g x 0 的解集是 解析 设F x f x g x 由f x g x 分别是定义在 R 上的奇函 数和偶函数 得F x 为奇函数 又当x0 所以x0 时 F x 也为增函数 因为F 3 f 3 g 3 0 F 3 如上图 是一个符合题意的图象 观察知不等式F x 0 的解集是 3 0 3 答案 3 0 3 10 设f x 是偶函数 g x 是奇函数 且f x g x ex 1 则f x 解析 由f x g x ex 1 得f x g x e x 1 所以Error 相加得f x ex e x 2 1 2 答案 ex e x 2 2 11 某公司生产某种消防安全产品 年产量为x台 0 x 100 x N 时 销售收入函 数R x 3 000 x 20 x2 单位 万元 其成本函数C x 500 x b 单位 万元 已知该 公司不生产任何产品时 其成本为 4 000 万元 1 求利润函数P x 4 2 求该公司生产多少台产品时 利润最大 最大利润是多少 3 在经济学中 对于函数f x 我们把函数f x 1 f x 称为函数f x 的边际函 数 记作Mf x 对于 1 求得的利润函数P x 求边际函数MP x 并利用边际函数MP x 的 性质解释公司生产利润情况 本题所指的函数性质主要包括 函数的单调性 最值 零点 等 解 1 由题意得C 0 4 000 所以b 4 000 所以C x 500 x 4 000 故P x R x C x 3 000 x 20 x2 500 x 4 000 20 x2 2 500 x 4 000 0 x 100 x N 2 由 1 知P x 20 2 74 125 0 x 100 x N x 125 2 所以当x 62 或x 63 时 利润最大 最大利润 P x max P 62 P 63 74 120 所以该公司生产 62 台或 63 台产品时 利润最大 最大利润是 74 120 万元 3 由 1 的结论及题中定义知MP x P x 1 P x 40 x 2 480 0 x 99 x N 边际函数为减函数 说明随着产量的增加 每生产一台产品的利润与生产前一台产品 的利润相比在减少 当x 0 时 边际函数取得最大值 2 480 说明生产一台产品与不生产时的利润差最大 当x 62 时 边际函数为零 说明生产 62 台产品时 利润达到最大 12 若x 0 求证 ln0 可知t 1 x 1 x 1 x 则x 所以原不等式可化为 1 ln t0 所以函数f t 在区间 1 上是增函数 则有 f t f 1 0 即t 1