大学物理学(第三版)课后习题答案

1 4 在离水面高h米的岸上 有人用绳子拉船靠岸 船在离岸S处 如题1 4图所示 当人以 m 的速率收绳时 试求船运动的速度和加速度的大小 0 v 1 s 图1 4 解 设人到船之间绳的长度为 此时绳与水面成角 由图可知l 222 shl 将上式对时间 求导 得t 题 1 4 图 t s s t l l d d 2 d d 2 根据速度的定义 并注意到 是随 减少的 lst t s vv t l v d d d d 0 船绳 即 cosd d d d 0 0 v v s l t l s l t s v 船 或 s vsh s lv v 0 2 122 0 船 将再对 求导 即得船的加速度 船 vt 1 6 已知一质点作直线运动 其加速度为 4 3 开始运动时 5 m at 2 sm x 0 求该质点在 10s 时的速度和位置 vt 解 t t v a34 d d 分离变量 得 ttvd 34 d 积分 得 1 2 2 3 4cttv 由题知 0 t0 0 v0 1 c 故 2 2 3 4ttv 又因为 2 2 3 4 d d tt t x v 分离变量 tttxd 2 3 4 d 2 积分得 2 32 2 1 2cttx 由题知 0 t5 0 x5 2 c 故 5 2 1 2 32 ttx 所以时s10 t m705510 2 1 102 sm19010 2 3 104 32 10 12 10 x v 1 10 以初速度 20抛出一小球 抛出方向与水平面成幔60 的夹角 0 v 1 sm 求 1 球轨道最高点的曲率半径 2 落地处的曲率半径 1 R 2 R 提示 利用曲率半径与法向加速度之间的关系 解 设小球所作抛物线轨道如题 1 10 图所示 题 1 10 图 1 在最高点 o 01 60cosvvv x 2 1 sm10 gan 又 1 2 1 1 v an m10 10 60cos20 22 1 1 1 n a v 2 在落地点 20 02 vv 1 sm 而 o 60cos 2 gan m80 60cos10 20 22 2 2 2 n a v 1 13 一船以速率 30km h 1沿直线向东行驶 另一小艇在其前方以速率 40km h 1 1 v 2 v 沿直线向北行驶 问在船上看小艇的速度为何 在艇上看船的速度又为何 解 1 大船看小艇 则有 依题意作速度矢量图如题 1 13 图 a 1221 vvv 题 1 13 图 由图可知 12 2 2 121 hkm50 vvv 方向北偏西 87 36 4 3 arctanarctan 2 1 v v 2 小船看大船 则有 依题意作出速度矢量图如题 1 13 图 b 同上法 得 2112 vvv 50 12 v 1 hkm 2 2 一个质量为的质点 在光滑的固定斜面 倾角为 上以初速度运动 的方向P 0 v 0 v 与斜面底边的水平线平行 如图所示 求这质点的运动轨道 AB 解 物体置于斜面上受到重力 斜面支持力 建立坐标 取方向为轴 平行斜mgN 0 v X 面与轴垂直方向为轴 如图 2 2 XY 题 2 2 图 方向 X0 x Ftvx 0 方向 Y yy mamgF sin 时 0 t0 y0 y v 2 sin 2 1 tgy 由 式消去 得t 2 2 0 sin 2 1 xg v y 2 4 质点在流体中作直线运动 受与速度成正比的阻力 为常数 作用 0时质点的kvkt 速度为 证明 1 时刻的速度为 2 由0到 的时间内经过的距离为 0 vtv t m k ev 0 t 1 3 停止运动前经过的距离为 4 证明当时速x k mv0 t m k e 0 k m vkmt 度减至的 式中m为质点的质量 0 v e 1 答 1 t v m kv a d d 分离变量 得 m tk v vdd 即 v v t m tk v v 0 0 dd m kt e v v lnln 0 t m k evv 0 2 t tt m k m k e k mv tevtvx 0 0 0 1 dd 3 质点停止运动时速度为零 即 t 故有 0 0 0 d k mv tevx t m k 4 当 t 时 其速度为 k m e v evevv k m m k 01 00 即速度减至的 0 v e 1 2 10 一颗子弹由枪口射出时速率为 当子弹在枪筒内被加速时 它所受的合力为 1 0 sm v F N 为常数 其中 以秒为单位 1 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零 bta ba t 试计算子弹走完枪筒全长所需时间 2 求子弹所受的冲量 3 求子弹的质量 解 1 由题意 子弹到枪口时 有 得0 btaF b a t 2 子弹所受的冲量 t btattbtaI 0 2 2 1 d 将代入 得 b a t b a I 2 2 3 由动量定理可求得子弹的质量 0 2 0 2bv a v I m 2 13 以铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比 在 铁锤击第一次时 能将小钉击入木板内1 cm 问击第二次时能击入多深 假定铁锤两次打 击铁钉时的速度相同 解 以木板上界面为坐标原点 向内为坐标正向 如题 2 13 图 则铁钉所受阻力为y 题 2 13 图 kyf 第一锤外力的功为 1 A ss k ykyyfyfA 1 0 1 2 ddd 式中是铁锤作用于钉上的力 是木板作用于钉上的力 在时 f f0d t f f 设第二锤外力的功为 则同理 有 2 A 2 1 2 22 22 1 d y k kyykyA 由题意 有 2 2 1 2 12 k mvAA 即 222 1 2 2 kk ky 所以 2 2 y 于是钉子第二次能进入的深度为 cm414 0 12 12 yyy 2 15 一根劲度系数为的轻弹簧的下端 挂一根劲度系数为的轻弹簧 的下 1 kA 2 kBB 端 一重物 的质量为 如题2 15图 求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性CCM 势 能之比 解 弹簧及重物受力如题 2 15 图所示平衡时 有BA C 题 2 15 图 MgFF BA 又 11 xkFA 22 xkFB 所以静止时两弹簧伸长量之比为 1 2 2 1 k k x x 弹性势能之比为 1 2 2 22 2 11 1 2 1 2 1 2 k k xk xk E E p p 2 17 由水平桌面 光滑铅直杆 不可伸长的轻绳 轻弹簧 理想滑轮以及质量为和 1 m 的滑块组成如题2 17图所示装置 弹簧的劲度系数为 自然长度等于水平距离 2 mkBC 与桌面间的摩擦系数为 最初静止于点 绳已拉直 现令滑 2 m 1 mAABBCh 块落下 求它下落到处时的速率 1 mB 解 取点为重力势能零点 弹簧原长为弹性势能零点 则由功能原理 有B 2 1 2 1 2 1 2 212 lkghmvmmghm 式中为弹簧在点时比原长的伸长量 则l A hBCACl 12 联立上述两式 得 21 2 2 21 122 mm khghmm v 题 2 17 图 2 19 质量为的大木块具有半径为的四分之一弧形槽 如题2 19图所示 质量为MR 的小立方体从曲面的顶端滑下 大木块放在光滑水平面上 二者都作无摩擦的运动 而m 且都从静止开始 求小木块脱离大木块时的速度 解 从上下滑的过程中 机械能守恒 以 地球为系统 以最低点为重力mMmM 势能零点 则有 22 2 1 2 1 MVmvmgR 又下滑过程 动量守恒 以 为系统则在脱离瞬间 水平方向有mMmM 0 MVmv 联立 以上两式 得 Mm MgR v 2 习题八习题八 8 1 电量都是 的三个点电荷 分别放在正三角形的三个顶q 点 试问 1 在这三角形的中心放一个什么样的电荷 就 可以使这四个电荷都达到平衡 即每个电荷受其他三个电荷 的库仑力之和都为零 2 这种平衡与三角形的边长有无关 系 解 如题 8 1 图示 1 以 处点电荷为研究对象 由力平衡知 为负电荷A q 20 2 2 0 3 3 4 1 30cos 4 1 2 a qq a q 解得 qq 3 3 2 与三角形边长无关 题 8 1 图 题 8 2 图 8 2 两小球的质量都是 都用长为 的细绳挂在同一点 ml 它们带有相同电量 静止时两线夹角为2 如题8 2图所 示 设小球的半径和线的质量都可以忽略不计 求每个小 球所带的电量 解 如题 8 2 图示 2 2 0 sin2 4 1 sin cos l q FT mgT e 解得 tan4sin2 0mg lq 8 3 根据点电荷场强公式 当被考察的场点距源点 2 0 4r q E 电荷很近 r 0 时 则场强 这是没有物理意义的 对 此应如何理解 解 仅对点电荷成立 当时 带电体不能再 0 2 0 4 r r q E 0 r 视为点电荷 再用上式求场强是错误的 实际带电体有一 定形状大小 考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会 是无限大 8 4 在真空中有 两平行板 相对距离为 板面积为 ABdS 其带电量分别为 和 则这两板之间有相互作用力 qqf 有人说 又有人说 因为 所以f 2 0 2 4d q fqE S q E 0 试问这两种说法对吗 为什么 到底应等于多少 f S q 0 2 f 解 题中的两种说法均不对 第一种说法中把两带电板视 为点电荷是不对的 第二种说法把合场强看成是一个 S q E 0 带电板在另一带电板处的场强也是不对的 正确解答应为 一个板的电场为 另一板受它的作用力 S q E 0 2 这是两板间相互作用的电场力 S q S q qf 0 2 0 22 8 5 一电偶极子的电矩为 场点到偶极子中心O点的距 l q p 离为 矢量 与 的夹角为 见题8 5图 且 试证Prr l lr 点的场强 在 方向上的分量和垂直于 的分量分别为Er r Er E r E 3 0 2 cos r p E 3 0 4 sin r p 证 如题 8 5 所示 将 分解为与 平行的分量和垂直p r sinp 于 的分量 r sinp lr 场点 在 方向场强分量Pr 3 0 2 cos r p Er 垂直于 方向 即 方向场强分量r 3 0 0 4 sin r p E 题 8 5 图 题 8 6 图 8 6 长 15 0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度l 5 0 x10 9C m 1 的正电荷 试求 1 在导线的延长线 上与导线B端相距 5 0cm处 点的场强 2 在导线的垂直 1 aP 平分线上与导线中点相距 5 0cm 处 点的场强 2 dQ 解 如题 8 6 图所示 1 在带电直线上取线元 其上电量在 点产生场强为xdqdP 2 0 d 4 1 d xa x EP 2 2 2 0 d 4 d xa x EE l lPP 2 1 2 1 4 0 l a l a 4 22 0 la l 用 代入得15 lcm 9 100 5 1 mC 5 12 acm 方向水平向右2 1074 6 P E 1 CN 2 同理 方向如题 8 6 图所示 2 2 2 0 d d 4 1 d x x EQ 由于对称性 即只有 分量 l Qx E0d Q E y 2 2 2 2 2 2 2 0d d d d 4 1 d x x x EQy 2 2 4 d d l QyQy EE 2 2 2 3 2 2 2 d d l l x x 2 2 2 0 d4 2 l l 以 代入得 9 100 5 1 cmC 15 lcm5d2 cm 方向沿 轴正向 2 1096 14 QyQ EE 1 CN y 8 7 一个半径为 的均匀带电半圆环 电荷线密度为 求R 环心处 点的场强 O 解 如 8 7 图在圆上取 Rddl 题 8 7 图 它在 点产生场强大小为 dddRlq O 方向沿半径向外 2 0 4 d d R R E 则 dsin 4 sindd 0R EEx dcos 4 cos dd 0R EEy 积分 RR Ex 00 0 2 dsin 4 0dcos 4 0 0 R Ey 方向沿 轴正向 R EE x 0 2 x 8 8 均匀带电的细线弯成正方形 边长为 总电量为 1 求lq 这正方形轴线上离中心为 处的场强 2 证明 在处 rElr 它相当于点电荷 产生的场强 qE 解 如 8 8 图示 正方形一条边上电荷 在 点产生物强 4 q P 方向如图 大小为 P E d 4 4 coscos d 2 2 0 21 l r EP 2 2 cos 2 2 1 l r l 12 coscos 24 4 d 2 2 2 2 0 l r l l r EP 在垂直于平面上的分量 P E d cosdd P EE 424 4 d 2 2 2 2 2 2 0 l r r l r l r l E 题 8 8 图 由于对称性 点场强沿方向 大小为POP 2 4 4 4 d4 2 2 2 2 0 l r l r lr EEP l q 4 方向沿 2 4 4 2 2 2 2 0 l r l r qr EP OP 8 9 1 点电荷 位于一边长为a的立方体中心 试求在该q 点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量 2 如果该场 源点电荷移动到该立方体的一个顶点上 这时穿过立方体 各面的电通量是多少 3 如题8 9 3 图所示 在点电荷 的电场中取半径为R的圆平面 在该平面轴线上的 点处 qqA 求 通过圆平面的电通量 x R arctan 解 1 由高斯定理 0 d q SE s 立方体六个面 当 在立方体中心时 每个面上电通量相等q 各面电通量 0 6 q e 2 电荷在顶点时 将立方体延伸为边长的立方体 使a2 处于边长的立方体中心 则边长的正方形上电通量qa2a2 0 6 q e 对于边长 的正方形 如果它不包含 所在的顶点 则aq 0 24 q e 如果它包含 所在顶点则 q0 e 如题 8 9 a 图所示 题 8 9 3 图 题 8 9 a 图 题 8 9 b 图 题 8 9 c 图 3 通过半径为 的圆平面的电通量等于通过半径为R 的球冠面的电通量 球冠面积 22 xR 1 2 22 22 xR x xRS 4 22 0 0 xR Sq 0 2 q 22 1 xR x 关于球冠面积的计算 见题 8 9 c 图 0 dsin 2rrS 0 2 dsin 2 r cos1 2 2 r 8 10 均匀带电球壳内半径6cm 外半径10cm 电荷体密度 为2 C m 3求距球心5cm 8cm 12cm 各点的场强 5 10 解 高斯定理 0 d q SE s 0 2 4 q rE 当时 5 rcm0 q 0 E 时 8 rcm q 3 4 p 3 r 3 内 r 方向沿半径向外 2 0 23 4 3 4 r rr E 内 4 1048 3 1 CN cm 时 12 r 3 4 q 3 外 r 内 3 r 沿半径向外 4 2 0 3 3 1010 4 4 3 4 r rr E 内外 1 CN 8 11 半径为和 的两无限长同轴圆柱面 单位 1 R 2 R 2 R 1 R 长度上分别带有电量 和 试求 1 2 r 1 R 1 Rr 3 处各点的场强 2 Rr 2 R 解 高斯定理 0 d q SE s 取同轴圆柱形高斯面 侧面积rlS 2 则 rlESE S 2d 对 1 1 Rr 0 0 Eq 2 21 RrR lq 沿径向向外 r E 0 2 3 2 Rr 0 q 0 E 题 8 12 图 8 12 两个无限大的平行平面都均匀带电 电荷的面密度分 别为和 试求空间各处场强 1 2 解 如题 8 12 图示 两带电平面均匀带电 电荷面密度 分别为与 1 2 两面间 nE 2 1 21 0 面外 1 nE 2 1 21 0 面外 2 nE 2 1 21 0 垂直于两平面由面指为面 n 1 2 8 13 半径为 的均匀带电球体内的电荷体密度为 若在球R 内挖去一块半径为 的小球体 如题8 13图所示 试求 rR 两球心 与点的场强 并证明小球空腔内的电场是均匀O O 的 解 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电的均匀小 球的组合 见题 8 13 图 a 1 球在 点产生电场 O0 10 E 球在 点产生电场 O d 4 3 4 3 0 3 20 OO r E 点电场 O d3 3 0 3 0 OO r E 2 在产生电场 O d 4 d 3 4 3 0 3 01 OOE 球在产生电场 O 0 02 E 点电场 O 0 0 3 E OO 题 8 13 图 a 题 8 13 图 b 3 设空腔任一点 相对的位矢为 相对 点位矢为 P O r Or 如题 8 13 b 图 则 0 3 r EPO 0 3 r E OP 000 3 3 3 d OOrrEEE OPPOP 腔内场强是均匀的 8 14 一电偶极子由 1 0 10 6C 的两个异号点电荷组成 q 两电荷距离d 0 2cm 把这电偶极子放在1 0 105N C 1 的外电场中 求外电场作用于电偶极子上的最大力 矩 解 电偶极子 在外场 中受力矩p E EpM 代入数字qlEpEM max 4536 max 100 2100 1102100 1 MmN 8 15 两点电荷 1 5 10 8C 3 0 10 8C 相距 1 q 2 q 42cm 要把它们之间的距离变为 25cm 需作多少功 1 r 2 r 解 2 2 2 1 0 21 2 0 21 4 4 d d r r r r qq r rqq rFA 11 21 rr 6 1055 6 J 外力需作的功 6 1055 6 AAJ 题 8 16 图 8 16 如题8 16图所示 在 两点处放有电量分别为 ABq 的点电荷 间距离为2 现将另一正试验点电荷从qABR 0 q 点经过半圆弧移到 点 求移动过程中电场力作的功 OC 解 如题 8 16 图示 0 4 1 O U0 R q R q 0 4 1 O U 3 R q R q R q 0 6 R qq UUqA o CO 0 0 6 8 17 如题8 17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷 两直导线的长度和半圆环的半径都等于 试求 R 环中心 点处的场强和电势 O 解 1 由于电荷均匀分布与对称性 和段电荷在ABCD 点产生的场强互相抵消 取O ddRl 则产生 点如图 由于对称性 点场强沿 轴负 ddRq OE dOy 方向 题 8 17 图 cos 4 d d 2 2 2 0 R R EE y R 0 4 2 sin 2 sin R 0 2 2 电荷在 点产生电势 以ABO0 U A B 2 000 1 2ln 4 4 d 4 d R R x x x x U 同理产生 CD2ln 4 0 2 U 半圆环产生 00 3 4 4 R R U 00 321 4 2ln 2 UUUUO 8 18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2 104m s 1的 匀速率作圆周运动 求带电直线上的线电荷密度 电子质 量 9 1 10 31kg 电子电量 1 60 10 19C 0 me 解 设均匀带电直线电荷密度为 在电子轨道处场强 r E 0 2 电子受力大小 r e eEFe 0 2 r v m r e 2 0 2 得 13 2 0 10 5 12 2 e mv 1 mC 8 19 空气可以承受的场强的最大值为 30kV cm 1 超过E 这个数值时空气要发生火花放电 今有一高压平行板电容 器 极板间距离为 0 5cm 求此电容器可承受的最高电d 压 解 平行板电容器内部近似为均匀电场 4 105 1d EUV 8 20 根据场强 与电势的关系 求下列电场的场E UUE 强 1 点电荷 的电场 2 总电量为 半径为 的均匀qqR 带电圆环轴上一点 3 偶极子的处 见题8 20图 qlp lr 解 1 点电荷 题 8 20 图 r q U 0 4 为 方向单位矢量 0 2 0 0 4 r r q r r U E 0 r r 2 总电量 半径为 的均匀带电圆环轴上一点电势qR 22 0 4xR q U i xR qx i x U E 2 3 22 0 4 3 偶极子在处的一点电势 l q p lr 2 00 4 cos cos 2 1 1 cos 2 1 4r ql ll r q U 3 0 2 cos r p r U Er 3 0 4 sin1 r pU r E 8 21 证明 对于两个无限大的平行平面带电导体板 题8 21 图 来说 1 相向的两面上 电荷的面密度总是大小相等 而符号相反 2 相背的两面上 电荷的面密度总是大小相 等而符号相同 证 如题 8 21 图所示 设两导体 的四个平面均匀带AB 电的电荷面密度依次为 1 2 3 4 题 8 21 图 1 则取与平面垂直且底面分别在 内部的闭合柱面为AB 高斯面时 有 0 d 32 SSE s 2 0 3 说明相向两面上电荷面密度大小相等 符号相反 2 在 内部任取一点 则其场强为零 并且它是由四个AP 均匀带电平面产生的场强叠加而成的 即 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 又 2 0 3 1 4 说明相背两面上电荷面密度总是大小相等 符号相同 8 22 三个平行金属板 和 的面积都是200cm2 和ABCA 相距4 0mm 与 相距2 0 mm 都接地 如题8 22BACBC 图所示 如果使 板带正电3 0 10 7C 略去边缘效应 问A 板和 板上的感应电荷各是多少 以地的电势为零 则 板BCA 的电势是多少 解 如题 8 22 图示 令 板左侧面电荷面密度为 右侧A 1 面电荷面密度为 2 题 8 22 图 1 即 ABAC UU ABABACAC EEdd 2 d d 2 1 AC AB AB AC E E 且 1 2 S qA 得 3 2 S qA S qA 3 2 1 而 7 1 102 3 2 AC qSq C C101 7 2 SqB 2 3 0 1 103 2dd ACACACA EU V 8 23 两个半径分别为和 的同心薄金属球壳 1 R 2 R 1 R 2 R 现给内球壳带电 试计算 q 1 外球壳上的电荷分布及电势大小 2 先把外球壳接地 然后断开接地线重新绝缘 此时外球 壳的电荷分布及电势 3 再使内球壳接地 此时内球壳上的电荷以及外球壳上 的电势的改变量 解 1 内球带电 球壳内表面带电则为 外表面带电q q 为 且均匀分布 其电势q 题 8 23 图 22 0 2 0 4 4 d d RR R q r rq rEU 2 外壳接地时 外表面电荷入地 外表面不带电 内表q 面电荷仍为 所以球壳电势由内球与内表面产生 q q q 0 4 4 2020 R q R q U 3 设此时内球壳带电量为 则外壳内表面带电量为 q q 外壳外表面带电量为 电荷守恒 此时内球壳电势 q q 为零 且 0 4 4 4 202010 R qq R q R q UA 得 q R R q 2 1 外球壳上电势 2 20 21 202020 4 4 4 4 R qRR R qq R q R q UB 8 24 半径为 的金属球离地面很远 并用导线与地相联 R 在与球心相距为处有一点电荷 试求 金属球上Rd3 q 的感应电荷的电量 解 如题 8 24 图所示 设金属球感应电荷为 则球接地 q 时电势0 O U 8 24 图 由电势叠加原理有 O U0 3 4 4 00 R q R q 得 q 3 q 8 25 有三个大小相同的金属小球 小球1 2带有等量同号 电荷 相距甚远 其间的库仑力为 试求 0 F 1 用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1 2后移去 小球1 2之间的库仑力 2 小球3依次交替接触小球1 2很多次后移去 小球1 2 之间的库仑力 解 由题意知 2 0 2 0 4r q F 1 小球 接触小球 后 小球 和小球 均带电 3131 2 q q 小球 再与小球 接触后 小球 与小球 均带电 3223qq 4 3 此时小球 与小球 间相互作用力 12 0 0 2 2 0 1 8 3 4 8 3 4 2 F r q r qq F 2 小球 依次交替接触小球 很多次后 每个小球带电312 量均为 3 2q 小球 间的作用力 12 0 0 2 9 4 4 3 2 3 2 2 F r qq F 8 26 如题8 26图所示 一平行板电容器两极板面积都是 S 相距为 分别维持电势 0不变 现把一块带d A UU B U 有电量 的导体薄片平行地放在两极板正中间 片的面积也q 是S 片的厚度略去不计 求导体薄片的电势 解 依次设 从上到下的 个表面的面电荷密度分别ACB6 为 如图所示 由静电平衡条件 电荷 1 2 3 4 5 6 守恒定律及维持可得以下 个方程UUAB 6 题 8 26 图 654321 54 32 0 65 43 0 021 0 0 1 d U S q S q d U UC SS q B A 解得 S q 2 61 S q d U 2 0 32 S q d U 2 0 54 所以间电场 CB S q d U E 00 4 2 2 2 d 2 1 2 d 0 2 S q UEUU CBC 注意 因为 片带电 所以 若 片不带电 显然C 2 U UC C 2 U UC 8 27 在半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀 1 R 2 R 电介质球壳 介质相对介电常数为 金属球带电 试求 r Q 1 电介质内 外的场强 2 电介质层内 外的电势 3 金属球的电势 解 利用有介质时的高斯定理 qSD S d 1 介质内场强 21 RrR 3 0 3 4 4r rQ E r rQ D r 内 介质外场强 2 Rr 3 0 3 4 4r rQ E r Qr D 外 2 介质外电势 2 Rr r Q EU 0 r 4 rd 外 介质内电势 21 RrR 2020 4 11 4R Q Rr q r 11 4 20 Rr Q r r 3 金属球的电势 rdrd 2 2 1 R R R EEU 外内 2 2 2 0 2 0 44 dr R R R r r Qdr r Q 11 4 210 RR Q r r rdrd rr EEU 外内 8 28 如题8 28图所示 在平行板电容器的一半容积内充入 相对介电常数为的电介质 试求 在有电介质部分和无电 r 介质部分极板上自由电荷面密度的比值 解 如题 8 28 图所示 充满电介质部分场强为 真空部 2 E 分场强为 自由电荷面密度分别为与 1 E 2 1 由得 0 dqSD 11 D 22 D 而 101 ED 202 ED r d 21 U EE r D D 1 2 1 2 题 8 28 图 题 8 29 图 8 29 两个同轴的圆柱面 长度均为 半径分别为和 l 1 R 2 R 且 两柱面之间充有介电常数 的均匀电 2 R 1 Rl 2 R 1 R 介质 当两圆柱面分别带等量异号电荷 和 时 求 QQ 1 在半径 处 厚度为dr 长为 的圆柱薄壳r 1 Rr 2 Rl 中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量 2 电介质中的总电场能量 3 圆柱形电容器的电容 解 取半径为 的同轴圆柱面r S 则 rlDSD S 2d 当时 21 RrR Qq rl Q D 2 1 电场能量密度 222 22 82lr QD w 薄壳中 rl rQ rlr lr Q wW 4 d d 2 8 dd 2 222 2 2 电介质中总电场能量 2 1 1 2 22 ln 4 4 d d R RV R R l Q rl rQ WW 3 电容 C Q W 2 2 ln 2 2 12 2 RR l W Q C 8 30 金属球壳 和 的中心相距为 和 原来都不带ABrAB 电 现在 的中心放一点电荷 在 的中心放一点电荷 A 1 qB 2 q 如题8 30图所示 试求 1 对作用的库仑力 有无加速度 1 q 2 q 2 q 2 去掉金属壳 求作用在上的库仑力 此时有无加B 1 q 2 q 2 q 速度 解 1 作用在的库仑力仍满足库仑定律 即 1 q 2 q 2 21 0 4 1 r qq F 但处于金属球壳中心 它受合力为零 没有加速度 2 q 2 去掉金属壳 作用在上的库仑力仍是 B 1 q 2 q 2 21 0 4 1 r qq F 但此时受合力不为零 有加速度 2 q 题 8 30 图 题 8 31 图 8 31 如题8 31图所示 0 25 F 0 15 F 0 20 1 C 2 C 3 C F 上电压为50V 求 1 C AB U 解 电容上电量 1 C 111 UCQ 电容与并联 2 C 3 C 3223 CCC 其上电荷 123 QQ 35 5025 23 11 23 23 2 C UC C Q U 86 35 25 1 50 21 UUUABV 8 32 和两电容器分别标明 200 pF 500 V 和 300 1 C 2 C pF 900 V 把它们串联起来后等值电容是多少 如果两端 加上1000 V 的电压 是否会击穿 解 1 与串联后电容 1 C 2 C 120 300200 300200 21 21 CC CC CpF 2 串联后电压比 而 2 3 1 2 2 1 C C U U 1000 21 UU 600 1 UV400 2 UV 即电容电压超过耐压值会击穿 然后也击穿 1 C 2 C 8 33 将两个电容器和充电到相等的电压以后切断电 1 C 2 CU 源 再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相 联 试求 1 每个电容器的最终电荷 2 电场能量的损失 解 如题 8 33 图所示 设联接后两电容器带电分别为 1 q 2 q 题 8 33 图 则 21 22 11 2 1 21201021 UU UC UC q q UCUCqqqq 解得 1 1 qU CC CCC qU CC CCC 21 212 2 21 211 2 电场能量损失 WWW 0 22 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 2 2 1 C q C q UCUC 2 21 21 2 U CC CC 8 34 半径为 2 0cm 的导体球 外套有一同心的导体球壳 1 R 壳的内 外半径分别为 4 0cm和 5 0cm 当内球带电荷 2 R 3 R 3 0 10 8C 时 求 Q 1 整个电场储存的能量 2 如果将导体壳接地 计算储存的能量 3 此电容器的电容值 解 如图 内球带电 外球壳内表面带电 外表面带QQ 电Q 题 8 34 图 1 在和区域 1 Rr 32 RrR 0 E 在时 21 RrR 3 0 1 4r rQ E 时 3 Rr 3 0 2 4r rQ E 在区域 21 RrR 2 1 d 4 4 2 1 22 2 0 01 R R rr r Q W 2 1 11 8 8 d 210 2 2 0 2 R R RR Q r rQ 在区域 3 Rr 3 2 30 2 22 0 02 1 8 d 4 4 2 1 R R Q rr r Q W 总能量 111 8 3210 2 21 RRR Q WWW 4 1082 1 J 2 导体壳接地时 只有时 21 RrR 3 0 4r rQ E 0 2 W 4 210 2 1 1001 1 11 8 RR Q WW J 3 电容器电容 11 4 2 21 0 2 RRQ W C 12 1049 4 F 习题九习题九 9 1 在同一磁感应线上 各点 的数值是否都相等 为何不B 把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度 的方向 B 解 在同一磁感应线上 各点 的数值一般不相等 因为磁B 场作用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度 的方向有B 关 而且与电荷速度方向有关 即磁力方向并不是唯一由 磁场决定的 所以不把磁力方向定义为 的方向 B 9 2 1 在没有电流的空间区域里 如果磁感 应线是平行直线 磁感应强度 的大小在沿磁B 感应线和垂直它的方向上是否可能变化 即磁场是否一定是 均匀的 2 若存在电流 上述结论是否还对 解 1 不可能变化 即磁场一定是均匀的 如图作闭合回路可证明abcd 21 BB 0d 021 IbcBdaBlB abcd 21 BB 2 若存在电流 上述结论不对 如无限大均匀带电平面两 侧之磁力线是平行直线 但 方向相反 即 B 21 BB 9 3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的 磁场 答 不能 因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称 性 但不是稳恒电流 安培环路定理并不适用 9 4 在载流长螺线管的情况下 我们导出其内部 外nIB 0 面 0 所以在载流螺线管B 外面环绕一周 见题9 4图 的环路积分 d 0 外 B L l 但从安培环路定理来看 环路L中有电流I穿过 环路积分 应为 d 外 B L l I 0 这是为什么 解 我们导出 有一个假设的前提 即每匝电流nlB 0 内 0 外 B 均垂直于螺线管轴线 这时图中环路 上就一定没有电流通L 过 即也是 与是不矛盾 L IlB0d 0 外 L llB0d0d 外 的 但这是导线横截面积为零 螺距为零的理想模型 实 际上以上假设并不真实存在 所以使得穿过 的电流为 LI 因此实际螺线管若是无限长时 只是的轴向分量为零 外 B 而垂直于轴的圆周方向分量 为管外一点到螺线管 r I B 2 0 r 轴的距离 题 9 4 图 9 5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转 能否肯 定这个区域中没有磁场 如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场 解 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转 不能肯 定这个区域中没有磁场 也可能存在互相垂直的电场和磁 场 电子受的电场力与磁场力抵消所致 如果它发生偏转 也不能肯定那个区域存在着磁场 因为仅有电场也可以使 电子偏转 9 6 已知磁感应强度Wb m 2 的均匀磁场 方向沿0 2 B 轴正方向 如题 9 6 图所示 试求 1 通过图中面的xabcd 磁通量 2 通过图中面的磁通量 3 通过图中面befcaefd 的磁通量 解 如题 9 6 图所示 题 9 6 图 1 通过面积的磁通是abcd 1 S 24 0 4 03 00 2 11 SB Wb 2 通过面积的磁通量befc 2 S 0 22 SB 3 通过面积的磁通量aefd 3 S 或曰 24 0 5 4 5 03 02cos5 03 02 33 SB Wb24 0 Wb 题 9 7 图 9 7 如题9 7图所示 为长直导线 为圆心在ABCDCB 点的一段圆弧形导线 其半径为 若通以电流 求 点ORIO 的磁感应强度 解 如题 9 7 图所示 点磁场由 三部分电流OABCB CD 产生 其中 产生 AB0 1 B 产生 方向垂直向里CD R I B 12 0 2 段产生 方向 向里CD 2 3 1 2 60sin90 sin 2 4 00 3 R I R I B 方向 向里 62 3 1 2 0 3210 R I BBBB 9 8 在真空中 有两根互相平行的无限长直导线和 1 L 2 L 相距0 1m 通有方向相反的电流 20A 10A 如题9 8 1 I 2 I 图所示 两点与导线在同一平面内 这两点与导线AB 的距离均为5 0cm 试求 两点处的磁感应强度 以及 2 LAB 磁感应强度为零的点的位置 题 9 8 图 解 如题 9 8 图所示 方向垂直纸面向里 A B 42010 102 1 05 0 2 05 0 1 0 2 II BAT 2 设在外侧距离为 处0 B 2 L 2 Lr 则 0 2 1 0 2 20 r I r I 解得 1 0 rm 题 9 9 图 9 9 如题9 9图所示 两根导线沿半径方向引向铁环上的 A 两点 并在很远处与电源相连 已知圆环的粗细均匀 求B 环中心 的磁感应强度 O 解 如题 9 9 图所示 圆心 点磁场由直电流和及两O A B 段圆弧上电流 与所产生 但和在 点产生的磁场为 1 I 2 I A BO 零 且 2 1 2 2 1 R R I I 电阻 电阻 产生方向 纸面向外 1 I 1 B 2 2 2 10 1 R I B 产生方向 纸面向里 2 I 2 B 22 20 2 R I B 1 2 2 1 2 1 I I B B 有 0 210 BBB 9 10 在一半径 1 0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中 R 自上而下地有电流 5 0 A通过 电流分布均匀 如题9 10I 图所示 试求圆柱轴线任一点 处的磁感应强度 P 题 9 10 图 解 因为金属片无限长 所以圆柱轴线上任一点 的磁感应P 强度方向都在圆柱截面上 取坐标如题 9 10 图所示 取宽 为的一无限长直电流 在轴上 点产生与 垂直 l dl R I Idd PB dR 大小为 R I R R R I R I B 2 0 0 0 2 d 2 d 2 d d R I BBx 2 0 2 dcos cosdd R I BBy 2 0 2 dsin 2 cos dd 5 2 0 2 0 2 2 2 1037 6 2 sin 2 sin 22 dcos R I R I R I BxT 0 2 dsin 2 2 2 0 R I By iB 5 1037 6 T 9 11 氢原子处在基态时 它的电子可看作是在半径 0 52 10 a 8cm的轨道上作匀速圆周运动 速率 2 2 108cm s 1 求电子在轨 v 道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值 解 电子在轨道中心产生的磁感应强度 3 0 0 4 a ave B 如题 9 11 图 方向垂直向里 大小为 13 4 2 0 0 a ev B T 电子磁矩在图中也是垂直向里 大小为 m P 242 102 9 2 eva a T e Pm 2 mA 题 9 11 图 题 9 12 图 9 12 两平行长直导线相距 40cm 每根导线载有电流d 20A 如题9 12图所示 求 1 I 2 I 1 两导线所在平面内与该两导线等距的一点 处的磁感应A 强度 2 通过图中斜线所示面积的磁通 量 10cm 25cm 1 r 3 rl 解 1 T 方向 纸面向外 52010 104 2 2 2 2 d I d I BA 2 取面元 rlSdd 6 12010 1 10 102 23ln 3 1 ln 2 3ln 2 22 1 21 1 lIlIlI ldr rd I r I rr r Wb 9 13 一根很长的铜导线载有电流10A 设电流均匀分布 在 导线内部作一平面 如题9 13图所示 试计算通过S平面S 的磁通量 沿导线长度方向取长为1m的一段作计算 铜的 磁导率 0 解 由安培环路定律求距圆导线轴为 处的磁感应强度r l IlB 0 d 2 2 0 2 R Ir rB 2 0 2 R Ir B 题 9 13 图 磁通量 60 0 2 0 10 42 I dr R Ir SdB R s m Wb 9 14 设题9 14图中两导线中的电流均为8A 对图示的三条 闭合曲线 分别写出安培环路定理等式右边电流的代abc 数和 并讨论 1 在各条闭合曲线上 各点的磁感应强度 的大小是否相B 等 2 在闭合曲线 上各点的 是否为零 为什么 cB 解 a lB 0 8d ba lB 0 8d c lB0d 1 在各条闭合曲线上 各点 的大小不相等 B 2 在闭合曲线 上各点 不为零 只是 的环路积分为零而CB B 非每点 0 B 题 9 14 图题 9 15 图 9 15 题9 15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截 面 内 外半径分别为 导体内载有沿轴线方向的电流ab 且 均匀地分布在管的横截面上 设导体的磁导率 II 0 试证明导体内部各点 的磁感应强度的大小由下式给 bra 出 r ar ab I B 22 22 0 2 解 取闭合回路 rl 2 bra 则 l rBlB2d 22 2 2 ab I arI 2 22 22 0 abr arI B 9 16 一根很长的同轴电缆 由一导体圆柱 半径为 和一a 同轴的导体圆管 内 外半径分别 为 构成 如题9 16图所示 使用时 电流 从一导体流bcI 去 从另一导体流回 设电流都是均匀地分布在导体的横 截面上 求 1 导体圆柱内 2 两导体之间ra 3 导体圆筒内 以及 4 电缆外arbbrc 各点处磁感应强度的大小rc 解 L IlB 0 d 1 ar 2 2 0 2 R Ir rB 2 0 2 R Ir B 2 bra IrB 0 2 r I B 2 0 3 crb I bc br IrB 0 22 22 0 2 2 22 22 0 bcr rcI B 4 cr 02 rB 0 B 题 9 16 图题 9 17 图 9 17 在半径为 的长直圆柱形导体内部 与轴线平行地挖R 成一半径为 的长直圆柱形空腔 两轴间距离为 且 raar 横截面如题9 17图所示 现在电流I沿导体管流动 电流均 匀分布在管的横截面上 而电流方向与管的轴线平行 求 1 圆柱轴线上的磁感应强度的大小 2 空心部分轴线上的磁感应强度的大小 解 空间各点磁场可看作半径为 电流 均匀分布在横截R 1 I 面上的圆柱导体和半径为 电流均匀分布在横截面上的圆r 2 I 柱导体磁场之和 1 圆柱轴线上的 点 的大小 OB 电流 产生的 电流产生的磁场 1 I0 1 B 2 I 22 2 020 2 22rR Ir aa I B 2 22 2 0 0 rRa Ir B 2 空心部分轴线上点 的大小 O B 电流产生的 2 I0 2 B 电流 产生的 1 I 22 2 0 2 2rR Ia a B 2 22 0 rR Ia 2 22 0 0 rR Ia B 题 9 18 图 9 18 如题9 18图所示 长直电流 附近有一等腰直角三角 1 I 形线框 通以电流 二者 2 I 共面 求 的各边所受的磁力 ABC 解 A B AB BlIF d 2 方向垂直向左 d aII d I aIFAB 22 21010 2 AB 方向垂直向下 大小为 C A AC BlIF d 2 AC ad d AC d adII r I rIFln 22 d 21010 2 同理 方向垂直向上 大小 BC F BC ad d Bc r I lIF 2 d 10 2 45cos d d r l ad a BC d adII r rII Fln 245cos2 d 210120 题 9 19 图 9 19 在磁感应强度为 的均匀磁场中 垂直于磁场方向的B 平面内有一段载流弯曲导线 电流为 如题9 19图所I 示 求其所受的安培力 解 在曲线上取l d 则 b a ab BlIF d 与 夹角 不变 是均匀的 l dB l d 2 B B b a b a ab BabIBlIBlIF d d 方向 向上 大小abBIFab ab 题 9 20 图 9 20 如题9 20图所示 在长直导线内通以电流 20A AB 1 I 在矩形线圈中通有电流 10 A 与线圈共面 且CDEF 2 IAB 都与平行 已知 9 0cm 20 0cm 1 0 cm CDEFABabd 求 1 导线的磁场对矩形线圈每边所作用的力 AB 2 矩形线圈所受合力和合力矩 解 1 方向垂直向左 大小 CD F CD