湖南省2013年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 理

1 专题三专题三 三角函数及解三角形第三角函数及解三角形第 1 1 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 真题试做真题试做 1 2012 湖南高考 理 6 函数f x sin x cos的值域为 x 6 A 2 2 B 33 C 1 1 D 3 2 3 2 2 2012 大纲全国高考 理 14 当函数y sin x cos x 0 x0 3Acos x A 2cos 2x 函数f x m m n n的最大值为 6 1 求A 2 将函数y f x 的图象向左平移个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 的 倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 求g x 在上的值域 1 2 0 5 24 4 2012 重庆高考 理 18 设f x 4cossin x cos 2 x 其中 x 6 0 1 求函数y f x 的值域 2 若f x 在区间上为增函数 求 的最大值 3 2 2 考向分析考向分析 三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容 主要从以下三个方面进行考查 1 三角函数的概念与诱导公式 主要以选择 填空题的形式为主 2 三角函数的图象 主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题 主要以 选择 填空题的形式考查 有时也会出现大题 3 三角函数的性质 通常是给出函数解析式 先进行三角变换 将其转化为 y Asin x 的形式再研究其性质 或知道某三角函数的图象或性质求其解析式 再研 究其他性质 既有直接考查的客观题 也有综合考查的主观题 热点例析热点例析 热点一 三角函数的概念 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则 cos 2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 规律方法规律方法 当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时 通常先根据任意 角三角函数的定义求这个角的三角函数 特别提醒 1 当角的终边经过的点不固定时 需要进行分类讨论 特别是当角的终边 在过坐标原点的一条直线上时 根据定义求三角函数值时 要把这条直线看做两条射线 分 别求解 2 在利用诱导公式和同角三角函数关系式时 一定要特别注意符号 一定要理解 奇 变偶不变 符号看象限 的意思 同角三角函数的平方关系中 开方后的符号要根据角所在 的象限确定 变式训练变式训练 1 1 2012 福建莆田高三质检 11 已知角 的顶点在坐标原点 始边与x轴 2 的正半轴重合 终边与单位圆交点的横坐标是 若 0 则 tan 3 5 热点二 三角函数图象及解析式 如图 根据函数的图象 求函数y Asin x A 0 0 0 0 图象的一部分 则其函数解析式是 A y sinB y sin x 3 x 3 C y sinD y sin 2x 6 2x 6 热点三 三角函数图象变换 2012 四川绵阳高三三诊 10 已知函数f x Asin x 在一个周期内的图象如图所示 则y f x 的图象可由 A 0 0 2 x R R 函数y cos x的图象 纵坐标不变 A 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍 再向左平移个单位 1 2 6 B 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍 再向右平移个单位 1 2 12 3 C 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 再向左平移个单位 6 D 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 再向右平移个单位 12 规律方法规律方法图象变换理论 1 平移变换 沿x轴平移 按 左加右减 法则 沿y轴平移 按 上加下减 法则 2 伸缩变换 沿x轴伸缩时 横坐标x伸长 0 1 为原来的 纵坐标y不变 1 沿y轴伸缩时 纵坐标y伸长 A 1 或缩短 0 A0 1 当 1 时 求函数f x 的最小正周期 4 2 若函数f x 在区间上是增函数 求 的取值范围 2 2 3 思想渗透思想渗透 整体代换思想 三角函数性质问题 1 求函数的对称轴 对称中心 2 求函数的单调区间 求解时主要方法为 1 关于函数y Asin x 和y Acos x 的对称性 一般可利用正弦 余弦 曲线的对称性 把 x 看成x 整体代换求得 2 求函数y Asin x A 是常数 且A 0 0 的单调区间的步骤如 下 若 0 把 x 看成一个整体 由 2k x 2k kZ Z 解得 2 2 x的集合 所得区间即为增区间 由 2k x 2k kZ Z 解得x的集合 2 3 2 所得区间即为减区间 若 0 可先用诱导公式变为y Asin x 则y Asin x 的增 区间即为原函数的减区间 减区间为原函数的增区间 已知函数f x cos2 g x 1 sin 2x x 12 1 2 1 设x x0是函数y f x 图象的一条对称轴 求g x0 的值 2 求函数h x f x g x 的单调递增区间 解 1 由题设知f x 1 2 1 cos 2x 6 因为x x0是函数y f x 的图象的一条对称轴 所以 2x0 k kZ Z 即 2x0 k kZ Z 6 6 所以g x0 1 sin 2x0 1 sin 1 2 1 2 k 6 当k为偶数时 g x0 1 sin 1 1 2 6 1 4 3 4 当k为奇数时 g x0 1 sin 1 1 2 6 1 4 5 4 2 h x f x g x 1 sin 2x 1 2 1 cos 2x 6 1 2 1 2 cos 2x 6 sin 2x 3 2 1 2 3 2 cos 2x 1 2sin 2x 3 2 sin 1 2 2x 3 3 2 当 2k 2x 2k kZ Z 即k x k kZ Z 时 2 3 2 5 12 12 函数h x sin 是增函数 1 2 2x 3 3 2 故函数h x 的单调递增区间是 kZ Z k 5 12 k 12 5 1 2012 山东青岛一模 8 将函数y cos的图象上各点的横坐标伸长到原来 x 3 的 2 倍 纵坐标不变 再向左平移个单位 所得函数图象的一条对称轴是 6 A x B x C x D x 9 8 2 2 2012 湖北孝感二模 8 若函数y Asin x 在一个周期内的图象如图所示 M N分别是这段图象的最 A 0 0 0 2 A f x 在上是增函数B f x 在上是减函数 0 2 0 2 C f x 在上是增函数D f x 在上是减函数 4 4 4 4 4 2012 湖北武汉 4 月调研 7 已知函数f x Asin 2x 的部分图象如图所示 则f 0 A B 1C D 1 2 3 23 5 已知角 的顶点在原点 始边与x轴正半轴重合 点P 4m 3m m0 的最大值为 最小值为 求函数y 4asin 3bx 3 2 1 2 的最大值和最小值 8 已知函数f x Asin x 的图象的一部分如图所 A 0 0 2 示 6 1 求函数f x 的解析式 2 当x时 求函数y f x f x 2 的最大值与最小值及相应的x的值 6 2 3 参考答案参考答案 命题调研 明晰考向 真题试做真题试做 1 B 解析 解析 f x sin x cos x 6 sin x 3 2 cos x 1 2sin x sin x cos x 3 2 3 2 3 3 2 sin x 1 2cos x sin 3 x 6 33 故选 B 2 解析 解析 y sin x cos x 5 63 2 2sin 1 2sin x 3 2 cos x x 3 当y取最大值时 x 2k 3 2 x 2k 5 6 又 0 x0 由题意知A 6 2 由 1 f x 6sin 2x 6 将函数y f x 的图象向左平移个单位后得到 12 y 6sin 2 x 12 6 6sin的图象 2x 3 7 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍 纵坐标不变 得到y 6sin的图 1 2 4x 3 象 因此g x 6sin 4x 3 因为x 所以 4x 0 5 24 3 3 7 6 故g x 在上的值域为 3 6 0 5 24 4 解 1 f x 4sin x cos 2 x 3 2 cos x 1 2sin x 2sin xcos x 2sin2 x cos2 x sin2 x 3 sin 2 x 1 3 因 1 sin 2 x 1 所以函数y f x 的值域为 1 1 33 2 因y sin x在每个闭区间 kZ Z 上为增函数 故f x sin 2k 2 2k 2 3 2 x 1 0 在每个闭区间 kZ Z 上为增函数 k 4 k 4 依题意知 对某个kZ Z 成立 此时必有k 0 于是 3 2 2 k 4 k 4 Error 解得 故 的最大值为 1 6 1 6 精要例析 聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 B 解析 解析 方法 1 在角 终边上任取一点P a 2a a 0 则r2 OP 2 a2 2a 2 5a2 cos 2 a2 5a2 1 5 cos 2 2cos 2 1 1 2 5 3 5 方法 2 由方法 1 知 tan 2 cos 2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 变式训练 1 解析 解析 由三角函数定义可知 cos 4 3 3 5 又 0 sin 1 cos2 4 5 所以 tan sin cos 4 3 例 2 解 由图象可知A 2 T 2 6 2 16 即 16 3 2 y 2sin 83 8 x 又 点 2 2 在曲线上 代入得 3 2sin 2 3 8 2 3 sin 1 4 8 2k 4 2 2k kZ Z 3 4 又 k 0 时 3 4 函数解析式为y 2sin 3 8 x 3 4 变式训练 2 A 解析 解析 由图象可知A 1 T 4 6 3 2 T 2 1 2 T 又可看做 五点法 作图的第二个点 6 1 6 2 y sin 3 x 3 例 3 B 解析 解析 由题中图象可知A 1 T 4 12 6 4 T 2 2 T 又可看做 五点法 作图的第二个点 12 1 6 2 3 y sin 2x 3 由函数y cos x的图象 纵坐标不变 上各点的横坐标缩短到原来的 倍 可得y cos 1 2 2x的图象 再向右平移个单位可得y cos2 cos cos sin 12 x 12 2x 6 6 2x sin的图象 2 6 2x 2x 3 变式训练 3 A 解析 解析 y cos sin sin2 故需将y sin 2x的图象向左 2x 3 2x 3 2 x 5 12 平移个单位长度 5 12 例 4 解 1 f x sin 1 2 2x 4 由 2k 2x 2k kZ Z 得 f x 的单调递增区间是 2 4 2 kZ Z k 3 8 k 8 2 由已知 g x sin 1 2 2x 4 由g x 1 得sin 0 2 2x 4 9 x kZ Z k 2 8 变式训练 4 解 1 由题可知 f x 4sin x cos 1 2 1 cos x 2 2 x 2sin x 1 当 1 时 f x 2sin x 1 则函数f x 的最小正周期为 2 2 由 1 知 f x 2sin x 1 欲使f x 在上单调递增 结合y 2sin 2 2 3 x 1 的图象 则有 于是 2 2 3 2 4 2 4 0 3 4 创新模拟 预测演练 1 D 解析 解析 函数y cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 x 3 得到y cos的图象 再向左平移个单位 得函数y cos cos 1 2x 3 6 1 2 x 6 3 的图象 令x k 即x 2k kZ Z 1 2x 4 1 2 4 2 令k 0 则x 2 2 A 解析 解析 由图象可知 T 4 3 12 4 T 2 2 又M N 0 12 A 7 12 A OM ON A2 0 12 7 12 A A 7 12 7 6 3 B 解析 解析 由f x sin x cos x sin 2 x 4 又最小正周期为 2 2 f x sin 2 2x 4 f x f x k kZ Z k kZ Z 4 2 4 由题意 4 f x sin cos 2x 2 2x 2 2 当 0 2x 即 0 x 时 f x 单调递减 2 当 2x 0 即 x 0 时 f x 单调递增 2 4 B 解析 解析 由图象可知A 2 图象过点 可看做 五点法 作图的第二个点 3 2 10 故 2 3 2 6 f x 2sin 2x 6 故f 0 2sin 1 6 5 解析解析 P 4m 3m m 0 2 5 r 5 m 4m 2 3m 2 由m 0 得r 5m sin cos 3m 5m 3 5 4m 5m 4 5 2sin cos 2 5 6 解析 解析 当 sin x cos x时 f x cos x 当 sin x0 当 cos 3x 1 时 ymax a b 3 2 当 cos 3x 1 时 ymin a