【四维备课】高中数学 1.2 任意角的三角函数教案2 新人教A版必修4

1 1 2 1 1 2 1 任意角的三角函数 任意角的三角函数 2 2 教学目标 理解并掌握有向线段的概念 正确利用与单位圆有关的有向线段 将任意角的正弦 余弦 正切函数值表 示出来 即用正弦线 余弦线 正切线表示出来 教学重点 正弦 余弦 正切函数值的几何表示 教学难点 正弦 余弦 正切函数值的几何表示 教学过程 一 问题情境一 问题情境 1 情境引入 我们已学过任意角三角函数 给出了任意角的正弦 余弦 正切的定义 2 提出问题 能不能用几何元素表示三角函数值 例如 能不能用线段表示三角函数值 二 学生二 学生 活动活动 学生思考 讨论 回答 讨论可能沿着下面的方向进行 1 通过联想 可以提出 问题 1 在初中 我们知道锐角三角函数可以看成线段的比 那么 任意角的三角函数是在初中 我们知道锐角三角函数可以看成线段的比 那么 任意角的三角函数是 否可以也否可以也看成是线段的比呢 看成是线段的比呢 2 明确问题 可以提出 问题 2 问题问题 1 1 的实际意义是什么 什么叫做三角函数 任意角的三角函数是怎样定义的 的实际意义是什么 什么叫做三角函数 任意角的三角函数是怎样定义的 由此可以进一步明确问题 1 的意义 具体地 以正弦函数为例 当前的问题就是怎样用 几何元素表示 这里的是角终边上任一点的坐标 r y sinyx P 2 简化问题 可以提出 问题 3 能进一步简化问题吗 是否可以在角能进一步简化问题吗 是否可以在角的终边上取一个特殊点的终边上取一个特殊点 使得三角函数 使得三角函数 P 值的表达式更为简单 值的表达式更为简单 结论是 当点在以原点为圆心 半径为 1 的圆 单位圆 上时 而P1 r 的函数值分别为点的纵坐标和横坐标 cos sinPyx 三 建构数学三 建构数学 1 有向线段 1 提出解决问题 1 的关键就这样解决 问题 4 怎样表示点的纵 横坐标 能不能用线段表示坐标 怎样表示点的纵 横坐标 能不能用线段表示坐标 围绕着如下问题进行讨论 问题 5 坐标是什么 坐标是什么 问题 6 能不能用线段表示坐标 能不能用线段表示数 怎样才能做到这点 能不能用线段表示坐标 能不能用线段表示数 怎样才能做到这点 问题 7 和初中的锐角三角函数相比 我们现在面临的情况有什么不同 和初中的锐角三角函数相比 我们现在面临的情况有什么不同 通过讨论 得到以下共识 为了用线段表示数 我们需要规定线段的方向 2 给出有向线段 有向线段的数量 有向线段的长度的概念 下图轴上 的数量分别是多少 xCBBCAB 有向线段的数量 2 2 2 CBBCAB A CB x 2 2 正弦线和余弦线 1 问题 8 怎样用有向线段表示正弦函数值 怎样用有向线段表示正弦函数值 围绕着问题 8 作出表示正弦值的有向线段 得到正弦线的概念 2 由学生仿照正弦线 得到余弦线 OMMP cos sin 有向线段分别叫做角的正弦线 余弦线正弦线 余弦线 OMMP 小结 我们已经得到角的正弦线 余弦线 正切线 它们都是与单位圆的弦有关的线段 3 正切线 1 探索讨论 问题 9 能不能用有向线段表示角能不能用有向线段表示角的正切呢 的正切呢 问题 10 正切函数值是怎样定义的 怎样才能简化定义中的表达式 这个表达式和正弦函正切函数值是怎样定义的 怎样才能简化定义中的表达式 这个表达式和正弦函 数值的表达式有什么不同 怎样才能使表数值的表达式有什么不同 怎样才能使表达式的分母为达式的分母为 1 1 2 先解决问题的一部分 当角的终边上存在横坐标为 1 的点时 这时角的终边在轴的右侧 怎样用有 y 向线段表示正切函数值 3 再解决剩余的问题 当角的终边上不存在横坐标为 1 的点时 这时角的终边在轴的左侧 怎样用 y 有向线段表示正切函数值 通过讨论 得到下面的结论 4 正切线 正切线一般可按如下方法作出 如下图所示 过点作单位圆的切线 轴的垂 0 1 Ax 线 它与角终边所在直线交于点 则有向线段即为角的正切线 TAT 因此 我们把有向线段叫做角的正切线正切线 AT tanAT 3 三角函数线 1 Ox y M P sin cos 角的终边 Ox y A 角的终边 Ox y 角的终边 A T P MM P T 1 Ox y A T 1 y 角的终边 1 Ox y 角的终边 A T 1 y 角的终边 Ox y A 角的终边 P Ox y A P M M T 3 四 数学运用四 数学运用 练习 可以讨论课本 P16 练习第 7 题 例例 1 1 比较下列各组数的大小 1 和 2 和1sin 3 sin 7 4 cos 7 5 cos 3 和 4 和 8 9 tan 7 9 tan 5 sin 5 tan 分析 三角函数线是一个角的三角函数值的体现 从三角函数线的方向看出三角函数值的 正负 其长度是三角函数值的的绝对值 比较两个三角函数值的大小可以借助三角函数线 思考 思考 根据单位圆中三角函数线 探究 1 正弦函数 余弦函数 正切函数的值域 2 正弦函数 余弦函数在区间上的单调性 2 0 3 正切函数在区间上的单调性 2 2 五 总结反思五 总结反思 单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具 它