【备战2013】高考数学专题讲座 第4讲 解题思想方法之归纳思想探讨

1 备战备战 20132013 高考数学专题讲座高考数学专题讲座 第第 4 4 讲 数学思想方法之归纳思想探讨讲 数学思想方法之归纳思想探讨 数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识 数学方法是数学思想的具体化形式 实际上两 者的本质是相同的 差别只是站在不同的角度看问题 通常混称为 数学思想方法 常见的数学思想有 建模思想 归纳思想 分类思想 化归思想 整体思想 数形结合思想等 数学中的所谓归纳 是指从许多个别的事物中概括出一般性概念 原则或结论的思维方法 归纳规 律题是指在一定条件下 探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题 它往往给出了一组变 化了的数 式子 图形或条件 要求学生通过阅读 观察 分析 猜想来探索规律 它体现了 特殊到 一般 再到特殊 的数学思想方法 考察了学生的分析 解决问题能力 观察 联想 归纳能力 以 及探究能力和创新能力 结合 2012 年全国各地高考的实例 我们从下面五方面探讨归纳规律性问题的解法 1 根据数 式 的排列或运算规律归纳 2 根据图形的 排列或运算规律归纳 3 根据寻找的循环规律 归纳 4 根据一 二阶递推规律归纳 5 数学归纳法的应用 一 一 根根据据数数 式式 的的排列或排列或运运算算规规律律归归纳纳 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 年江西省理年江西省理 5 5 分 分 观察下列各式 22 1 3 abab 则 334455 4 7 11 ababab 1010 ab A 28 B 76 C 123 D 199 答案答案 C 考点考点 归纳推理的思想方法 解析解析 观察各等式的右边 它们分别为 1 3 4 7 11 发现从第 3 项开始 每一项就是它的前两 项之和 故等式的右边依次为 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 故 故选 C 1010 123ab 例例 2 2 20122012 年陕西省理年陕西省理 5 5 分 分 观察下列不等式 2 13 1 22 23 115 1 233 222 1117 1 2344 照此规律 第五个不等式为 2 答案答案 22222 1111111 1 234566 考点考点 归纳规律 解析解析 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性 左边式子是连续正整数平方的倒数和 最后一 个数的分母是不等式序号n 1 的平方 右边分式中的分子与不等式序号n的关系是 2n 1 分母是不等式 的序号n 1 得出第n个不等式 即可得到通式 2 0 121 1 1 n i n n n 令n 5 即可得出第五个不等式 即 5 2 0 111 6 1i 0 r f xrx xrxr0 1r 的最小值 f x II 试用 1 的结果证明如下命题 设为正有理数 若 则 1212 0 0 aab b 12 1bb 12 121 122 bb a aaba b III 请将 2 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当为正有理 数时 有求导公式 1 xx 答案答案 解 11 1 rr fxrrxrx 令 0fx 解得1x 当01x 时 0fx 所以 f x在 0 1 内是减函数 当 1x 时 0fx 所以 f x在 1 内是增函数 函数 f x在1x 处取得最小值 1 0f 由 知 当 0 x 时 有 1 0f xf 即 1 r xrxr 15 若 1 a 2 a中有一个为 0 则 12 121 122 bb a aa ba b 成立 若 1 a 2 a均不为 0 又 12 1bb 可得 21 1bb 于是在 中令 1 2 a x a 1 rb 可得 1 11 11 22 1 b aa bb aa 即 11 1 121 121 1 bb a aa bab 亦即 12 121 122 bb a aa ba b 综上 对 12 0 0aa 1 b 2 b为正有理数且 12 1bb 总有 12 121 122 bb a aa ba b 中命题的推广形式为 设 12 n aaa 为非负实数 12 n b bb 为正有理数 若 12 1 n bbb 则 12 121 122 n bbb nnn a aaa ba ba b 用数学归纳法证明如下 1 当1n 时 1 1b 有 11 aa 成立 2 假设当nk 时 成立 即若 12 k a aa 为非负实数 12 k b bb 为正有理数 且 12 1 k bbb 则 12 121 122 k bbb kkk a aaa ba ba b 当1nk 时 已知 121 kk a aa a 为非负实数 121 kk b bb b 为正有理数 且 121 1 kk bbbb 此时 1 01 k b 即 1 10 k b 111212 121121 kkkk bbbbbbbb kkkk a aa aa aaa 12 11111 1111 121 k kkkkk bbb bbbbb kk aaaa 12 111 1 111 k kkk bbb bbb 由归纳假设可得 12 111 111 12 k kkk bbb bbb k aaa 12 12 111 111 k k kkk bbb aaa bbb 1 122 1 1 kk k a ba ba b b 112 121 kk bbbb kk a aa a 1 1 1 1 122 1 1 1 k k b b kk k k a ba ba b a b 又 11 1 1 kk bb 由 得 1 1 1 1 122 1 1 1 k k b b kk k k a ba ba b a b 1 122 111 1 1 1 kk kkk k a ba ba b bab b 1 12211kkkk a ba ba bab 112 121 kk bbbb kk a aa a 1 12211kkkk a ba ba bab 故当1nk 时 成立 由 1 2 可知 对一切正整数n 所推广的命题成立 考点考点 利用导数求函数的最值 数学归纳法的应用 16 解析解析 应用导数求函数的最值 由 的结论 分 1 a 2 a中有一个为 0 和 1 a 2 a均不为 0 讨论即可 应用数学归纳法证明 例例 3 3 20122012 年全国大纲卷理年全国大纲卷理 1212 分 分 函数 2 23f xxx 定义数列 n x如下 11 2 n xx 是过两 点 4 5 nnn PQ xf x的直线 n PQ与x轴交点的横坐标 1 证明 1 23 nn xx 2 求数列 n x的通项公式 答案答案 解 1 2 4 4835f 点 4 5 P在函数 f x的图像上 由所给出的两点 4 5 nnn PQ xf x 可知 直线 n PQ斜率一定存在 直线 n PQ的直线方程为 5 5 4 4 n n f x yx x 令0y 可求得 解得 2 28 5 4 4 nn n xx x x 43 2 n n x x x 1 43 2 n n n x x x 下面用数学归纳法证明23 n x 当1n 时 1 2x 满足 1 23x 假设nk 时 23 k x 成立 则当1nk 时 1 435 4 22 k k kk x x xx 由23 k x 得 即 425 k x 55 1 24 k x 115 143 42 k x 1 23 k x 也成立 综上可知23 n x 对任意正整数恒成立 下面证明 1nn xx 22 1 43432 1 4 222 nnnnn nnn nnn xxxxx xxx xxx 17 由23 n x 得 112 n x 20143 n x 1 0 nn xx 即 1nn xx 综上可知 1 23 nn xx 恒成立 2 由 1 43 2 n n n x x x 得到该数列的一个特征方程 43 2 x x x 即 2 230 xx 解得3x 或1x 1 4355 1 1 22 nn n nn xx x xx 1 433 3 3 22 nn n nn xx x xx 两式相除可得 1 1 331 151 nn nn xx xx 而 1 1 3231 12 13 x x 数列 3 1 n n x x 是以 1 3 为首项以 1 5 为公比的等比数列 1 3