【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第一章 第2节集合的基本关系目标导学 北师大版必修1

1 2 2 集合的基本关系集合的基本关系 1 理解子集的概念 并能写出给定集合的子集 真子集 2 熟记集合相等的定义 能判定给定集合间的关系 3 会用 Venn 图表示或判断集合间的关系 1 Venn 图 1 定义 在数学中 为了直观地表示集合间的关系 我们常用封闭曲线的 表示集 合 称为 Venn 图 2 使用方法 把 写在封闭曲线的内部 常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形 2 子集 1 一般地 对于两个集合A与B 如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的 即若a A 则a B 我们就说集合A 集合B 或集合B包含集合A 这时我 们说集合A是集合B的子集 记作A B 或BA 读作 A包含于B 或 B包含A 2 当AB时 用 Venn 图表示 如图 图 所示 3 规定 空集是任何集合的 即A 子集性质 任何一个集合都是它本身的子集 即AA 对于集合A B C 如果 AB BC 那么AC 做一做 1 列举出集合 1 2 3 的所有子集 3 集合相等 1 定义 1 只要构成两个集合的 是一样的 即这两个集合中的元素完全相 同 就称这两个集合相等 2 定义 2 如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素 即 且 集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素 即 那么就说集合A与集合B 相等 记作A B 3 图示 当A B时 用 Venn 图表示 如图所示 做一做 2 试确定整数x y 使得 2x x y 7 4 4 真子集 1 定义 如果集合AB 且 我们就说集合A是集合B的真子集 记作A 2 B 或BA 2 图示 当AB时 用 Venn 图表示 如图所示 3 当集合A不包含于集合B 或集合B不包含集合A时 记作AB 或BA 空集是任何非空集合的真子集 即A A 当AB时 AB或A B 做一做 3 下列说法正确的是 A 任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B 任何一个集合必有一个真子集 C 任何集合都有子集 D 空集不是空集的子集 答案 答案 1 1 内部 2 元素 2 1 元素 包含于 3 子集 做一做 1 解 解 集合 1 2 3 的所有子集为 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 共 8 个 3 1 元素 2 AB BA 做一做 2 解 解 由集合相等的定义 得Error 或Error 解得Error 或Error 又x y是整数 故Error 4 1 A B 做一做 3 C 此题主要考查对子集 真子集概念的理解以及空集的有关问题 注 意以下几个结论 任何非空集合既有子集又有真子集 而空集只有子集 空集本身 没 有真子集 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 故 A B D 是错误的 应选 C 1 如何理解子集的概念 剖析 剖析 1 A是B的子集 的含义是 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素 即由任意x A能推出x B 2 不能把 AB 理解成 A是B中部分元素组成的集合 因为当A 时 AB 但A中不含任何元素 又当A B时 也有AB 但A中含有B中的所有元素 这 两种情况都使AB成立 2 符号 和有什么区别 剖析 剖析 符号 只能适用于元素与集合之间 符号 的左边只能写元素 右边只能写集 合 说明左边的元素属于右边的集合 表示元素与集合之间的关系 如 1 Z Z R R 2 符号只能适用于集合与集合之间 其左右两边都必须写集合 说明左边的集合是右边集 合的子集 左边集合的元素均属于右边的集合 如 1 1 0 x x 2 x x 3 题型一 确定集合的子集 真子集 3 例 1 设A x x2 16 x2 5x 4 0 写出集合A的子集 并指出其中哪些 是它的真子集 分析 分析 要确定集合A的子集 真子集 首先必须清楚集合A中的元素 由于集合A中 的元素是方程 x2 16 x2 5x 4 0 的根 所以要先解该方程 反思 反思 1 求集合的子集问题时 一般可以按照集合的元素个数进行分类 再依次找出 每类中符合要求的集合 2 解决这类问题时 还要注意两个比较特殊的集合 即和集合自身 3 集合的子集 真子集个数的规律为 含有n个元素的集合有 2n个子集 有 2n 1 个真子集 有 2n 2 个非空真子集 题型二 集合的相等 例 2 已知集合A B x2 0 若A B 则x2 009 y2 x y x 010 A B 反思 反思 解决此类问题的步骤 1 利用集合相等的条件 建立方程或方程组 求得参 数 2 把所得数值依次代入集合验证 若满足元素的三个特性 则所求是可行的 否则应 舍去 题型三 判断集合间的关系 例 3 设集合M N Error Error 则 x x k 2 1 4 k Z Z A M N B MN C MN D M N 反思 反思 判断两个集合间的关系时 主要是根据这两个集合中元素的特征 结合有关定 义来判断 对于用列举法表示的集合 只需要观察其元素即可得它们之间的关系 对于用 描述法表示的集合 要从所含元素的特征来分析 分析之前可以用列举法多取几个元素来 估计它们之间可能有什么关系 然后再加以证明 题型四 已知两集合之间的关系 求参数的范围 例 4 设集合A x 1 x 6 B x m 1 x 2m 1 已知BA 求实数m 的取值范围 分析 分析 由BA可得集合B 或B中的任何一个元素都在集合A中 可借助数轴解 决 反思 反思 已知两集合之间的关系求参数的值时 要明确集合中的元素 通常依据相关的 定义 观察这两个集合元素的关系 转化为解方程或解不等式 本题中 集合B可能为易被忽视 要注意这一 陷阱 BA表明集合B的元素都 是集合A的元素 其中包含B 题型五 易错辨析 易错点 忽略空集致错 例 5 已知集合P x x2 x 6 0 Q x mx 1 0 若QP 则实数 m 错解 解 由P x x2 x 6 0 得P 3 2 由Q x mx 1 0 得Q QP 1 m 3 或 2 解得m 或m 1 m 1 m 1 3 1 2 则实数m的值可取 或 1 3 1 2 4 错因分析 错因分析 当集合Q 即m 0 时 显然也满足QP 错解中少了对这种情况的 讨论 答案 答案 例 1 解 解 将方程 x2 16 x2 5x 4 0 因式分解得 x 4 x 1 x 4 2 0 则可得方程的根为x 4 或x 1 或x 4 故集合A 4 1 4 其子集为 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 真子集为 4 1 4 4 1 4 4 1 4 例 2 1 1 0 根据集合相等的定义知x 0 或 0 y x 当x 0 时 无意义 所以只能 0 得y 0 代入A B得A x 0 y x y x B x2 0 又 A B x2 x x 0 或x 1 当x 0 时 不合题意 舍去 当x 1 时 A 1 0 B 1 0 A B 符合题意 x2 009 y2 010 1 2 009 02 010 1 例 3 B M中 x N中 x 由于k Z Z k 2 1 4 2k 1 4 k 2 4 M中的x表示 的奇数倍 N中的x表示 的整数倍 1 4 1 4 MN 例 4 解 解 当m 1 2m 1 即m 2 时 B 符合题意 当m 1 2m 1 即m 2 时 B 由BA 借助数轴表示如图所示 则Error 解得 0 m 5 2 综上所述 m 2 或 0 m 5 2 例 5 正解 解 由P x x2 x 6 0 得P 3 2 当m 0 时 方程mx 1 0 无解 此时集合Q 满足题意 当m 0 时 方程mx 1 0 的解为x 此时集合Q 1 m 1 m QP 3 或 2 解得m 或m 1 m 1 m 1 3 1 2 综上所述 实数m的值为 0 或 或 1 3 1 2 1 下列关系中正确的个数为 0 0 0 0 1 0 1 a b b a A 1 B 2 C 3 D 4 5 2 集合A x 0 x 3 且x N N 的真子集的个数是 A 16 B 8 C 7 D 4 3 已知集合A x R R 2 x 4 B x x 5 0 则A与B之间的关系为 A AB B AB C A B D 不确定 4 已知集合M 8 1 9 集合N 1 m 1 若NM 则实数m 5 已知M 0 2 b N 0 2 b2 且M N 求实数b的值 答案 答案 1 B 正确 错误 2 C 由题意知 A 0 1 2 故A的真子集的个数是 23 1 7 3 A 为便于考察A B中元素的范