【步步高】2014届高三数学大一轮复习 3.3 用导数研究函数的最值课时检测 理 苏教版

1 3 33 3 用导数研究函数的最值用导数研究函数的最值 一 填空题 1 函数f x x3 3x 1 在 3 0 上的最大值 最小值分别为 解析 f x 3x2 3 令f x 0 解得x 1 或x 1 f 3 17 f 1 3 f 1 1 f 0 1 比较可得f x max f 1 3 f x min f 3 17 答案 3 17 2 已知a lnx对于x 恒成立 则a的最大值为 1 x x 1 2 2 解析 设f x lnx 则f x 当x 时 f x 1 x x x x 1 x2 1 x x 1 x2 1 2 1 0 故函数 f x 在 1 2 上 1 2 1 单调递增 f x min f 1 0 a 0 即 a 的最大值为 0 答案 0 3 函数f x x3 x在 a 10 a2 上有最大值 则实数a的取值范围是 1 3 解析 由f x x2 1 易知f x 在 1 上递减 在 1 1 上递增 在 1 上递减 故函数在 a 10 a2 上存在最大值的条件为Error 答案 2 1 4 若函数f x a 0 在 1 上的最大值为 则a的值为 x x2 a 3 3 答案 1 3 5 设函数f x x3 2x 5 若对任意x 1 2 都有f x m 则实数m的取值 x2 2 范围是 解析 f x 3x2 x 2 0 解得x 1 或 2 3 f 1 f f 1 f 2 7 11 2 2 3 157 27 7 2 m 7 2 答案 m 7 2 6 已知函数f x x sin x 若x1 x2 且x1 x2 则f x1 f x2 的大小关 2 2 2 系是 解析 f x 1 cos x 0 所以f x 在上单调递增 2 2 所以f x1 f x2 答案 f x1 f x2 7 若函数在f x x3 x在 a 10 a2 上有最大值 则实数a的取值范围为 1 3 解析 f x x3 x x R R 则f x x2 1 x 1 x 1 1 3 f x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 单调递增 由题意知 当x 1 时 f x 取得最大值 1 a 10 a2 即Error 3 a 1 答案 3 1 8 曲线f x ax2 bx c a 0 b c R R 通过点P 0 2a2 8 在点Q 1 f 1 处 的切线垂直于y轴 则 的最小值为 c b 解析 由已知曲线f x ax2 bx c a 0 b c R R 通过点P 0 2a2 8 知c 2a2 8 又 知其在点Q 1 f 1 处的切线垂直于y轴 f 1 0 即 2a b 0 a c b 2a2 8 2a 4 a a 0 a 4 即 的最小值为 4 c b 4 a c b 答案 4 9 已知函数f x 的图象过点 0 5 它的导数f x 4x3 4x 则当f x 取得极大 值 5 时 x的值应为 解析 易知f x x4 2x2 5 f x 0 时 x 0 或x 1 只有f 0 5 答案 0 10 已知a为实数 函数f x x2 1 x a 若f 1 0 则函数y f x 在 上的最大值和最小值分别为 3 2 1 解析 f 1 0 3 2a 1 0 即a 2 f x 3x2 4x 1 3 x 1 x 1 3 由f x 0 得x 1 或x 由f x 0 得 1 x 1 3 1 3 3 因此 函数f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 3 2 1 1 3 1 1 1 3 f x 在x 1 处取得极大值为f 1 2 f x 在x 处取得极小值为f 1 3 1 3 50 27 又 f f 1 6 且 3 2 13 8 50 27 13 8 f x 在上的最大值为f 1 6 最小值为f 3 2 1 3 2 13 8 答案 6 13 8 11 已知函数f x ex 2x a有零点 则a的取值范围是 解析 f x ex 2 当x ln 2 时 f x 0 当x ln 2 时 f x 0 f x min f ln 2 2 2ln 2 a 则函数有零点 即f x min 0 2 2ln 2 a 0 a 2ln 2 2 答案 2ln 2 2 12 已知函数f x x3 ax2 4 在x 2 处取得极值 若m n 1 1 则f m f n 的最小值是 解析 求导得f x 3x2 2ax 由f x 在x 2 处取得极值知f 2 0 即 3 4 2a 2 0 a 3 由此可得f x x3 3x2 4 f x 3x2 6x 由此可得 f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 对m 1 1 时 f m min f 0 4 又f x 3x2 6x的图象开口向下 且对称轴为x 1 对n 1 1 时 f n min f 1 9 于是 f m f n 的最小值为 13 答案 13 13 已知函数f x x4 2x3 3m x R R 若f x 9 0 恒成立 则实数m的取值范围是 1 2 解析 因为函数f x x4 2x3 3m 所以f x 2x3 6x2 令f x 0 得x 0 或 1 2 x 3 经检验知x 3 是函数的一个最小值点 所以函数的最小值为f 3 3m 不等 27 2 式f x 9 0 恒成立 即f x 9 恒成立 所以 3m 9 解得m 27 2 3 2 答案 m 3 2 4 二 解答题 14 求函数f x x3 x2 2x 在区间 3 3 上的最大值与最小值 1 3 1 2 8 3 解析 f x x3 x2 2x 1 3 1 2 8 3 f x x2 x 2 令f x 0 得x 2 或x 1 则x f x f x 的变化情况如下 x 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 f x 0 0 f x 25 6 6 3 2 61 6 由上表知 在区间 3 3 上 当x 3 时 f x max 当x 1 时 f x min 61 6 3 2 15 设函数f x x3 2ax2 3a2x b 0 a 1 1 3 1 求函数f x 的单调区间 极值 2 若x 0 3a 试求函数f x 的最值 解析 1 f x x2 4ax 3a2 令f x 0 解得x a或x 3a 列表如下 x a a a 3a 3a 3a f x 0 0 f x 递减 a3 b 4 3 递增 b 递减 由表可知 当x a 时 函数f x 为减函数 当x 3a 时 函数f x 也为 减函数 当x a 3a 时 函数f x 为增函数 当x a时 f x 的极小值为 a3 b 当x 3a时 f x 为增函数 4 3 2 x 0 3a 列表如下 x0 0 a a a 3a 3a f x 0 0 f x b 递减 a3 b 4 3 递增 b 由表知 当x 0 a 时 函数f x 为减函数 当x a 3a 时 函数f x 为增函数 当x a时 f x 的最小值为 a3 b 当x 0 或x 3a时 f x 的最大值为b 4 3 16 已知函数f x x R R x 1 ex 1 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 已知函数y g x 对任意x满足g x f 4 x 证明当x 2 时 f x g x 3 如果x1 x2 且f x1 f x2 证明x1 x2 4 5 解析 1 由f x 得f x x 1 ex 1 2 x ex 1 令f x 0 解得x 2 则x f x f x 的变化情况如下表 x 2 2 2 f x 0 f x 增 极大值 1 e 减 所以f x 在 2 内是增函数 在 2 内是减函数 函数f x 在x 2 时取得极大值f 2 1 e 2 证明 因为g x f 4 x 所以g x 3 x e3 x 令F x f x g x 即F x x 1 ex 1 3 x e3 x 则F x 2 x ex 1 2 x e3 x 2 x e3 e2x 1 ex 2 当x 2 时 2 x 0 2x 1 3 从而 e3 e2x 1 0 则函数F x 0 F x 在 2 是增函数 所以F x F 2 0 故当x 2 时 f x g x 成立 1 e 1 e 3 证明 因为f x 在 2 内是增函数 在 2 内是减函数 x1 x2 且f x1 f x2 所以x1 x2不可能在同一单调区间内 不妨设x1 2 x2 由 2 可知f x2 g x2 又 g x2 f 4 x2 所以f x2 f 4 x2 因为f x1 f x2 所以f x1 f 4 x2 因为x2 2 4 x2 2 x1 2 f x 在区间 2 内为增函数 故x1 4 x2 即x1 x2 4 17 已知f x 2xln x g x x2 ax 3 1 求函数f x 的最小值 2 若存在x 0 使f x g x 成立 求实数a的取值范围 3 证明对一切x 0 都有f x 2成立 x ex 2 e 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 2 ln x 1 令f x 0 得x 1 e 当x 时 f x 0 0 1 e 6 当x 时 f x 0 1 e 所以f x 在上单调递减 在上单调递增 0 1 e 1 e 故当x 时 f x 取最小值为 1 e 2 e 2 存在x 0 使f x g x 成立 即 2xln x x2 ax 3 在x 0 能 成立 等价于a 2ln x x 在x 0 能成立 3 x 等价于a 2ln x x min 3 x 记h x 2ln x x x 0 3 x 则h x 1 2 x 3 x2 x2 2x 3 x2 x 3 x 1 x2 当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0 所以当x 1 时 h x 取最小值为 4 故a 4 3 证明 记j x 2 x 0 则j x 2 x ex 2 e 1 x ex 当x 0 1 时 j x 0 当x 1 时 j x 0 所以当x 1 时 j x 取最大值为 2 e 又由 1 知 当x 时 f x 取最小值为 1 e 2 e 故对一切x 0 都有f x 2成立 x ex 2 e 18 已知函数f x x2 ln x a R R a 1 2 1 当a 1 时 求f x 在区间 1 e 上的最大值和最小值 2 若在区间 1 上 函数f x 的图象恒在直线y 2ax下方 求a的取值范围 解析 1 当a 1 时 f x x2 ln x f x x 1 2 1 x x2 1 x 对于x 1 e 有f x 0 f x 在区间 1 e 上为增函数 f x max f e 1 f x min f 1 e2 2 1 2 2 令g x f x 2ax x2 2ax ln x a 1 2 在区间 1 上 函数f x 的图象恒在直线y 2ax下方 等价于g x 0 在区间 1 上恒成立 7 g x 2a 1 x 2a 1 x 2a 1 x2 2ax 1 x x 1 2a 1 x 1 x 若a 令g x 0 得x1 1 x2 1 2 1 2a 1 当x2 x1 1 即 a 1 时 在 x2 上有g x 0 1 2 此时g x 在区间 x2 上是增