2009-2016年北京高考数学理科圆锥曲线试题汇编

13 2016 北京理 双曲线 a 0 b 0 的渐近线为正方形 OABC 的边 22 22 1 xy ab OA OC 所在的直线 点 B 为该双曲线的焦点 若正方形 OABC 的边长为 2 则 a 分析 根据双曲线渐近线在正方形的两个边 得到双曲线的渐近线互相垂直 即双曲线 是等轴双曲线 结合等轴双曲线的性质进行求解即可 解答 解 双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA OC 所在的直线 渐近线互相垂直 则双曲线为等轴双曲线 即渐近线方程为 y x 即 a b 正方形 OABC 的边长为 2 OB 2 即 c 2 则 a2 b2 c2 8 即 2a2 8 则 a2 4 a 2 故答案为 2 点评 本题主要考查双曲线的性质的应用 根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等 轴双曲线是解决本题的关键 19 2016 北京理 已知椭圆 C a 0 b 0 的离心率为 A a 0 22 22 1 xy ab 3 2 B 0 b O 0 0 OAB 的面积为 1 求椭圆 C 的方程 设 P 是椭圆 C 上一点 直线 PA 与 y 轴交于点 M 直线 PB 与 x 轴交于点 N 求证 AN BM 为定值 分析 运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式 结合 a b c 的关系 解方程 可得 a 2 b 1 进而得到椭圆方程 方法一 设椭圆上点 P x0 y0 可得 x02 4y02 4 求出直线 PA 的方程 令 x 0 求得 y BM 求出直线 PB 的方程 令 y 0 可得 x AN 化简整理 即可得到 AN BM 为定值 4 方法二 设 P 2cos sin 0 2 求出直线 PA 的方程 令 x 0 求得 y BM 求出直线 PB 的方程 令 y 0 可得 x AN 运用同角的平方关系 化简整理 即可得到 AN BM 为定值 4 解答 解 由题意可得 e 又 OAB 的面积为 1 可得 ab 1 且 a2 b2 c2 解得 a 2 b 1 c 可得椭圆 C 的方程为 y2 1 证法一 设椭圆上点 P x0 y0 可得 x02 4y02 4 直线 PA y x 2 令 x 0 可得 y 则 BM 1 直线 PB y x 1 令 y 0 可得 x 则 AN 2 可得 AN BM 2 1 4 即有 AN BM 为定值 4 证法二 设 P 2cos sin 0 2 直线 PA y x 2 令 x 0 可得 y 则 BM 直线 PB y x 1 令 y 0 可得 x 则 AN 即有 AN BM 2 2 4 则 AN BM 为定值 4 点评 本题考查椭圆的方程的求法 注意运用椭圆的离心率和基本量的关系 考查线段 积的定值的求法 注意运用直线方程和点满足椭圆方程 考查化解在合理的运算能力 属 于中档题 10 2015 北京理 已知双曲线的一条渐近线为 则1 2 2 2 y a x 0 a03 yx a 解析 令 所以 00 2 2 2 y a x y a x 3 3 3 1 a a 19 2015 北京理 已知椭圆 的离心率为 点 和点都 C 22 22 1 xy ab 0ab 2 2 0 1P 0 A m n m 在椭圆上 直线交轴于点M CPAxM 求椭圆的方程 并求点的坐标 用 表示 CMmn 设为原点 点与点关于轴对称 直线交轴于点 问 轴上是否 OBAxPBxN y 存在点Q 使得若存在 求点的坐标 若不不存在 说明理由 QQ 解 由题意知 又 解得 1b 2 2 c a 222 abc 2 1abc 所以的方程为 C 2 2 1 2 x y 的斜率 所以方程 PA 1 PA n k m PA 1 1 n yx m 令 解得 所以0y 1 m x n 0 1 m M n 同 I 可得 B mn 0 1 m N n 1 tan QM OQM k tan QN ONQk 因为所以 OQMONQ 1 QNQM kk 设则即 0Q t1 11 tt mm nn 2 2 2 1 m t n 又在椭圆上 所以 即 AC 2 2 1 2 m n 2 2 2 1 m n 所以 故存在使得2t 2 0Q OQMONQ 11 2014 北京理 设双曲线经过点 且与具有相同渐近线 则的C 2 2 2 2 1 4 y x C 方程为 渐近线方程为 解答 22 1 312 xy 2yx 19 2014 北京理 已知椭圆 求椭圆的离心率 设为原点 22 24C xy CO 若点在椭圆上 点在直线上 且 求直线与圆ACB2y OAOB AB 的位置关系 并证明你的结论 22 2xy 解答 由题意 椭圆 所以 从而 C 22 1 42 xy 2 4a 2 2b 222 2cab 因此 故椭圆的离心率 2a 2c C 2 2 c e a 直线与圆相切 证明如下 设点 其中 AB 22 2xy 00 A xy 2B t 0 0 x 因 故 即 解得 当时 OAOB 0OA OB 00 20txy 0 0 2y t x 0 xt 代入椭圆的方程 得 故直线 圆心到直线 2 0 2 t y C2t AB2x O 的距离 AB2d 此时直线与圆相切 当时 直线 即AB 22 2xy 0 xt AB 0 0 2 2 y yxt xt 圆心到的距离 0000 220yxxt yxty OAB 又 故 22 0000 2 2dxtyyxt 22 00 24xy 00 2tyx 此时与圆相切 综上得 22 22 00 000 2 00 24 2 42 yy dxxy xx AB 22 2xy 证 6 2013 北京理 若双曲线的离心率为 则其渐近线方程为 22 22 1 xy ab 3 A B C D 2yx 2yx 1 2 yx 2 2 yx 答案 B 7 2013 北京理 直线 过抛物线 的焦点且与轴垂直 则 与所围成的图lC 2 4xy ylC 形的面积等于 A B 2 C D 4 3 8 3 16 2 3 解答 7 C 19 2013 北京理 本小题共 14 分 已知 是椭圆 W 上的三个点 是坐标原点 ABC 2 2 1 4 x y O 1 当点是的右顶点 且四边形为菱形时 求此菱形的面积 BWOABC 2 当点不是的顶点时 判断四边形是否可能为菱形 并说明理由 BWOABC 解 椭圆的右顶点 B 的坐标为 2 0 2 2 1 4 x Wy 因为四边形 OABC 为菱形 所以 AC 与 OB 相互垂直平分 所以可设 A 1 m 代入椭圆方程得 即 2 1 1 4 m 3 2 m 所以菱形 OABC 的面积是 11 223 22 OBACm 假设四边形 OABC 为菱形 因为点 B 不是 W 的顶点 且直线 AC 不过原点 所以可设 AC 的方程为 0 0 ykxm km 由消去 y 并整理得 22 44 ym xy kx 222 148440 kxkmxm 设 则 11 A x y 22 C xy 121212 22 4 2142214 xxyyxxkmm km kk 所以 AC 的中点为 22 4 1414 kmm M kk 因为 M 为 AC 和 OB 的交点 所以直线 OB 的斜率为 1 4 k 因为 所以 AC 与 OB 不垂直 1 1 4 k k 所以 OABC 不是菱形 与假设矛盾 所以当点 B 不是 W 的顶点时 判断四边形 OABC 不可能是菱形 12 2012 北京理 在直角坐标系中 直线 过抛物线的焦点 且与该抛物线相xOyl 2 4yx F 交于 两点 其中 点在轴上方 若直线 的倾斜角为 则的面积为 ABAxl60 OAF 解析 由xy4 2 可求得焦点坐标 F 1 0 因为倾斜角为 60 所以直线的斜率为 360tan k 利用点斜式 直线方程为33 xy 将直线和曲线联立 3 32 3 1 32 3 4 33 2 B A xy xy 因此3321 2 1 2 1 AOAF yOFS 答案 3 19 2012 北京理 本小题共 14 分 已知曲线 C 22 5 2 8m xmy m R 1 若曲线是焦点在轴点上的椭圆 求的取值范围 Cxm 2 设 曲线与轴的交点为 点位于点的上方 直线4m CyABAB 与曲线交于不同的两点 直线与直线交于点 4ykx CMN1y BMG 求证 三点共线 A G N 解 1 原曲线方程可化简得 22 1 88 52 xy mm 由题意可得 88 52 8 0 5 8 0 2 mm m m 解得 7 5 2 m 2 由已知直线代入椭圆方程化简得 22 21 16240kxkx 2 32 23 k 解得 2 3 2 k 由韦达定理得 2 16 21 MN k xx k 2 24 21 MN x x k 设 4 NN N xk x 4 MM M xkx 1 G G x MB方程为 6 2 M M kx yx x 则 3 1 6 M M x G kx 3 1 6 M M x AG x k 2 NN ANxx k 欲证AGN 三点共线 只需证AG AN 共线 即 3 2 6 M NN M x x kx x k 成立 化简得 3 6 MNMN kk x xxx 将 代入易知等式成立 则AGN 三点共线得证 lby lfx 19 2011 北京理 本小题共 14 分 已知椭圆 过点作圆的切线 交椭圆于两点 2 2 1 4 x Gy 0 m 22 1xy lG A B 1 求椭圆的焦点坐标及离心率 G 2 将表示为的函数 并求的最大值 ABm AB 解 I 由题意得 a 2 b 1 所以 c 椭圆 G 的焦点坐标 离心率 e II 由题意知 m 1 当 m 1 时 切线 l 的方程为 x 1 点 A 1 点 B 1 此时 AB 当 m 1 时 同理可得 AB 当 m 1 时 设切线 l 的方程为 y k x m 由 1 4k2 x2 8k2mx 4k2m2 4 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 又由 l 与圆圆 x2 y2 1 相切 圆心到直线 l 的距离等于圆的半径即 1 m 所以 AB 由于当 m 1 时 AB 当 m 1 时 AB 此时 m 1 1 又 AB 2 当且仅当 m 时 AB 2 所以 AB 的最大值为 2 故 AB 的最大值为 2 13 2010 北京理 已知双曲线的离心率为 2 焦点与椭圆的焦点 22 22 1 xy ab 22 1 259 xy 相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 4 0 3yx 19 2010 北京理 本小题共 14 分 www ks 在平面直角坐标系中 点与点关于原点对称 是动点 且直线与xOyB 1 1 A OPAP 的斜率之积等于 1 求动点的轨迹方程 BP 1 3 P 2 设直线与分别与直线交于点 问 是否存在点使得与APBP3x MNPPAB 的面积相等 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 PMN P 19 解 1 因点 B 与 1 1 关于原点对称 得 B 点坐标为 1 1 设 P 点坐标为 则 由题意得 x y 11 11 APBP yy kk xx 111 113 yy xx 化简得 即 P 点轨迹为 22 34 1 xyx 22 34 1 xyx 2 因 可得 APBMPN sinsinAPBMPN 又 11 sin sin 22 APBMPN SPA PBAPB SPM PNMPN 若 则有 即 APBMPN SS PA PBPM PN PAPN PMPB 设 P 点坐标为 则有 解得 又因 解得 00 xy 00 00 13 31 xx xx 0 5 3 x 22 00 34xy 0 33 9 y 故存在点 P 使得与的面积相等 此时 P 点坐标为或PAB PMN 533 39 533 39 13 2009 北京理 椭圆的焦点为 点在椭圆上 若 则 22 1 92 xy 12 F FP 1 4PF 的小大为 2 PF 12 FPF 2 120 19 2009 北京理 本小题共 14 分 已知双曲线的离心率为 右准线方程为 22 22 1 0 0 xy Cab ab 3 3 3 x 1 求双曲线的方程 C 2 设直线 是圆上动点处的