2016年北京东城区高三一模数学文科试题及答案

1 北京市东城区北京市东城区 2015 20162015 2016 学年度第二学期高三综合练习 一 学年度第二学期高三综合练习 一 数学数学 文科 文科 本试卷共 5 页 共 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试 卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题 共一 选择题 共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题 目要求的一项 目要求的一项 1 若集合 则 2 3 Axxx R 12 Bxx AB A B 10 xx 13 xx C D 02 xx 03 xx 2 已知直线与直线互相垂直 则310axy 3 2 0 xy a A B 3 1 C D 13 3 已知 则三个数的大小关系是 4 log 6a 4 log 0 2b 2 log 3c A B cab acb C D abc bca 4 若满足则的最大值为 x y 0 230 230 x xy xy 2uxy A B 3 5 2 C D 2 3 2 5 已知数列 n a的前项和 1 1 59 13 1721 1 43 n n Sn 则n 11 S A B 21 19 C D 1921 6 在 中 角 所对的边分别为 则 是 ABCABCabcab 的AbBacoscos A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 2 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著 九章算术 中的 更相减损术 执行该程序框图 若输入的值分别为 则输出和 的值分别为 a b i680ai A B 0 30 4 C D 2 32 4 8 函数的定义域为 图象如图 1 所示 函数的定义域为 图象 f x 1 1 g x 1 2 如图2所示 若集合 则 中元素 的个 0Ax f g x 0Bx g f x AB 数为 A B 12 C D 34 x y 1O12 1 图 2 x y 1O1 1 1 图 1 3 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若复数是实数 则 2 2i aa Ra 10 以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为 2 4yx 11 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 P 是上底面 A1B1C1D1内一动点 则三棱锥 P ABC 的正 主 视图与侧 左 视图的面积的比值为 12 已知函数 2 1 1 0 2 0 x a xx f x x 若 则实数 1 0f f a 在 的条件下 若直线与的图象有且只有一个交点 则实数的ym yf x m 取值范围是 13 如图 在矩形中 点 分别在线段 上 且满足 OABCEFABBC3ABAE 若 则 3BCCF OBOEOF R CFB E AO 14 每年的三月十二号是植树节 某学校组织高中个学生及其父母以家庭为单位参加65 种一棵小树 绿一方净土 的义务植树活动 活动将个家庭分成两组 65 A B 组负责种植棵银杏树苗 组负责种植棵紫薇树苗 根据往年的统计 A150B160 每个家庭种植一棵银杏树苗用时 种植一棵紫薇树苗用时 假定两组同 2 h 5 3 h 5 A B 时开始种植 若使植树活动持续时间最短 则组的家庭数为 此时活A 动持续的时间为 h 4 三 解答题三 解答题 共共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 2 sin 2 2cos 6 f xxx 求的最小正周期 f x 求在区间上的最大值和最小值 f x 0 2 16 本小题共 13 分 已知公差为正数的等差数列满足 且 成等比数列 n a 1 1a 1 2a 3 1a 4 1a 求的通项公式 n a 若 分别是等比数列的第 项和第项 求使数列的前 n 项和 2 a 5 a n b12 1 n b n T 的最大正整数 99 200 n 17 本小题共 14 分 如图 在四棱锥P ABCD 中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 点是 O 对角线AC与BD的交点 M是PD的中点 2AB 60BAD 求证 平面PAB OM 平面平面 PBD PAC 当三棱锥的体积等于时 求的长 CPBD 3 2 PA 5 18 本小题共 13 分 爱心包裹 是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动 社会各界爱 心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹 就可以一对一地将自己的关爱送给需 要帮助的人 某高校青年志愿者协会响应号召 组织大一学生作为志愿者 开展一次爱心 包裹劝募活动 将派出的志愿者分成甲 乙两个小组 分别在两个不同的场地进行劝募 每个小组各人 爱心人士每捐购一个爱心包裹 志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪6 念 以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数 且图中甲组的 一个数据模糊不清 用 x 表示 已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少 1 个 甲组乙组 9808 x41268 10211 求图中的值 x 爱心包裹 分为价值元的学习包 和价值元的 学习 生活 包 在乙组100200 劝募的爱心包裹中元和元的比例为 若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包1002003 1 裹的个数 求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额 在甲组中任选位志愿者 求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率 2 19 本小题共 13 分 已知和是椭圆 的两个焦点 且点 1 1 0 F 2 1 0 FC 22 22 1 0 xy ab ab 在椭圆上 3 1 2 PC 求椭圆的方程 C 直线与椭圆有且仅有一个公共点 且与轴和轴分别交 0 l ykxm m Cxy 于点 当面积取最小值时 求此时直线 的方程 M NOMN l 20 本小题共 14 分 已知函数 2 lnf xxax a R 若在处取得极值 求的值 f x1x a 求在区间上的最小值 f x 1 6 在 的条件下 若 求证 当时 恒有 2 h xxf x 2 1ex 成立 4 4 h x x h x 北京市东城区北京市东城区 2015 20162015 2016 学年第二学期高三综合练习 一 学年第二学期高三综合练习 一 数学 文科 参考答案数学 文科 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 B 2 C 3 A 4 A 5 D 6 C 7 D 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 10 0 22 1 1xy 11 12 11 0 1 13 14 3 2 12 25 5 注 两个空的填空题第一个空填对得 3 分 第二个空填对得 2 分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 3131 sin2cos21 cos2sin2cos21 2222 f xxxxxx 6 分sin 2 1 6 x 所以的最小正周期 f x 7T 分 因为时 所以 0 2 x 7 2 666 x 于是当 即时 取得最大值 2 62 x 6 x f x2 当 即时 取得最小值 13 分2 66 x 2 x f x 1 2 16 共 13 分 解 设数列的公差为 n a 0 d d 7 由已知可得 即 1 2 41 aa 2 3 1 a 2 121 131 2 dd 整理得 解得 舍去 或 4 分0232 2 dd 2 1 d2 d 所以的通项公式为 6 n a12 nann N 分 由 知 所以等比数列的公比 3 21 ab9 52 ab n b3 q 于是是以为首项 以为公比的等比数列 9 1 n b3 1 3 1 分 所以 11 3 1 1 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 n n n T 分 由 得 即 99 200 n T 199 1 3100 n 11 3100 n 则满足不等式的最大正整数 134n 分 17 共 14 分 证明 因为在 中 分别是 的中点 PBDOMBDPD 所以 OMPB 又平面 平面 OM PABPB PAB 所以 平面 5 分 OMPAB 因为底面是菱形 ABCD 所以 BDAC 因为平面 平面 PA ABCDBD ABCD 所以 又 PABD ACPAA 所以平面 BD PAC 又平面 BD PBD 所以平面平面 10 PBD PAC 分 8 因为底面是菱形 且 ABCD2AB 60BAD 所以 3 BCD S 又 三棱锥的高为 C PBDP BCD VV PBCD PA 所以 13 3 32 PA 解得 14 3 2 PA 分 18 共 13 分 解 由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为 8 12 16 18 21 21 16 6 则甲组的送出钥匙扣的平均数为 15 由 解得 4 分8 9 14 10 20 21 15 6 90 x 8x 乙组送出钥匙扣的个数为 即劝募的总包裹数为 按照的比例 价值96963 1 元的包裹有个 价值元的包裹有个 1007220024 故所求爱心包裹的总价值元 8 分72 10024 20012000 乙组送出钥匙扣的平均数为个 甲组送出钥匙扣的个数分别为16 8 9 14 18 20 21 若从甲组中任取两个数字 所有的基本事件为 8 9 8 14 8 18 8 20 8 21 9 14 9 18 9 20 9 21 共个基本事件 14 18 14 20 14 21 18 20 18 21 20 21 15 其中符合条件的基本事件有 共个基本事件 18 20 18 21 20 21 3 故所求概率为 13 分 31 155 P 19 共 13 分 解 依题意 又 故 1c 22 338 2 1 1 0 4 222 a 2a 所以 2 3b 故所求椭圆的方程为 4 分C 22 1 43 xy 9 由消得 22 1 43 xy ykxm y01248 34 222 mkmxxk 由直线 与椭圆仅有一个公共点知 lC 整理得 6 分 2222 644 43 412 0k mkm 22 43mk 由条件可得 0k 0 m M k 0 Nm 所以 2 11 222 OMN mm SOMONm kk 将代入 得 22 43mk 2 1 4313 4 22 OMN k Sk kk 因为 所以 当且仅当 即0k 13 4 2 3 2 OMN Sk k 3 2 k 时等号成立 3 2 k 有最小值 OMN S 2 3 因为 所以 又 解得 11 分 22 43mk 2 6m 0m 6m 故所求直线方程为或 13 3 6 2 yx 3 6 2 yx 分 20 共 14 分 解 由 定义域为 2 lnf xxax 0 得 2 a fxx x 因为函数在处取得极值 2 lnf xxax 1x 所以 即 解得 1 0 f 20a 2a 经检验 满足题意 所以 4 分2a 由 得 定义域为 2 2 2 axa fxx xx 0 当时 有 在区间上单调递增 最小值为 0a 0fx f x 1 1 1f 10 当 由得 且 02a 0fx 2 a x 01 2 a 当时 单调递减 当时 0 2 a x 0fx f x 2 a x 单调递增 0fx f x 所以在区间上单调递增 最小值为 f x 1 1 1f 当时 2a 1 2 a 当时 单调递减 当时 1 2 a x 0fx f x 2 a x 单调递增 0fx f x 所以函数在取得最小值 f x 2 a x ln 2222 aaaa f 综上当时 在区间上的最小值为 2a f x 1 1 当时 在区间上的最小值为 9 分2a f x 1 ln 222 aaa 由得 2 h xxf x 2ln