2013届高三数学一轮复习课时作业 （43）立体几何中的向量方法（二）——空间角与距离求解 理 新人教B版

1 课时作业课时作业 四十三四十三 第第 4343 讲讲 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 二二 空间角与距离求解空间角与距离求解 时间 45 分钟 分值 100 分 基础热身 1 点M在z轴上 它与经过坐标原点且方向向量为s s 1 1 1 的直线l的距离为 则点M的坐标是 6 A 0 0 2 B 0 0 3 C 0 0 D 0 0 1 3 2 若a a 1 2 1 b b 2 0 1 分别是直线l1 l2的方向向量 则l1 l2的位置关 系是 A 平行 B 异面 C 相交 D 相交或异面 3 两平行平面 分别经过坐标原点O和点A 2 1 1 且两平面的一个法向量 n n 1 0 1 则两平面间的距离是 A B C D 3 3 2 2 232 4 方向向量为s s 1 1 1 的直线l经过点A 1 0 0 则坐标原点O 0 0 0 到该直线 的距离是 A B C D 32 6 2 6 3 能力提升 5 如图 K43 1 长方体ABCD A1B1C1D1中 底面是边长为 2 的正方形 高为 1 则异 面直线AD1和C1D所成角的余弦值是 图 K43 1 A B C D 5 5 5 5 1 5 2 5 6 在平行四边形ABCD中 AB AC 1 ACD 90 将它沿对角线AC折起 使AB 和CD成 60 角 如图 K43 2 则B D间的距离为 图 K43 2 A 1 B 2 C D 2 或 22 7 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 长度分别为 6 4 4 则其顶点到底面的距离为 A B 2 C D 14 3 17 6 22 11 2 17 3 8 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱AA1 BB1的中点 G为棱 A1B1上的一点 且A1G 0 1 则点G到平面D1EF的距离为 2 A B C D 3 2 2 2 3 5 5 图 K43 3 9 如图 K43 3 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PD 平面ABCD 且 PD AD 1 AB 2 点E是AB上一点 当二面角P EC D的平面角为时 AE 4 A 1 B C 2 D 2 1 223 10 已知三棱锥O ABC的侧棱OA OB OC两两垂直 E为OC的中点 且 OA 1 OB OC 2 则平面EAB与平面ABC夹角的余弦值是 11 如图 K43 4 已知四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是边长为a的正方形 侧 棱AA1长为b 且AA1与A1B1 A1D1的夹角都是 60 则AC1的长等于 图 K43 4 图 K43 5 12 如图 K43 5 AO 平面 BC OB BC与平面 的夹角为 30 AO BO BC a 则AC 13 如图 K43 6 在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1 点M是 线段DC1上的动点 则点M到直线AD1距离的最小值为 图 K43 6 14 10 分 如图 K43 7 放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC A1B1C1与正三棱 锥B ACD组成 其中 AB BC 它的正视图 俯视图 侧视图的面积分别为 2 1 2 1 1 22 1 求直线CA1与平面ACD所成角的正弦值 2 在线段AC1上是否存在点P 使B1P 平面ACD 若存在 确定点P的位置 若不存 在 说明理由 3 图 K43 7 15 13 分 2011 安徽师大附中三模 如图 K43 8 已知AB 平面ACD DE 平面 ACD ACD为等边三角形 AD DE 2AB F为CD的中点 1 求证 AF 平面BCE 2 求证 平面BCE 平面CDE 3 求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 图 K43 8 难点突破 16 12 分 2011 湖北卷 如图 K43 9 已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都是 4 E是BC的中点 动点F在侧棱CC1上 且不与点C重合 1 当CF 1 时 求证 EF A1C 2 设二面角C AF E的大小为 求 tan 的最小值 图 K43 9 4 5 课时作业 四十三 基础热身 1 B 解析 设M 0 0 z 直线的一个单位方向向量s s0 故点M 3 3 3 3 3 3 到直线的距离d 解得z 3 OM 2 OM s s0 2 z2 1 3z26 2 D 解析 根据共线向量定理 显然a a b b不平行 所以l1 l2的位置关系是相交 或异面 3 B 解析 两平面的一个单位法向量n n0 故两平面间的距离d 2 2 0 2 2 n n0 OA 2 2 4 D 解析 直线l的一个单位法向量s s0 向量 1 0 0 故点 3 3 3 3 3 3 OA O到直线l的距离为 d OA 2 OA s s0 2 1 3 3 2 6 3 能力提升 5 C 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 2 0 0 D 0 0 0 D1 0 0 1 C1 0 2 1 1 2 0 1 0 2 1 故异面直线AD1和C1D所成角的余弦值为 AD DC1 cos 1 1 AD DC AD 1 DC 1 AD 1 DC 1 1 5 6 D 解析 ACD 90 0 AC CD 同理 0 BA AC AB和CD成 60 角 60 或 120 BA CD BD BA AC CD 2 2 2 2 2 2 2 BD BA AC CD BA CD BA AC AC CD 2 2 2 2 BA AC CD BA CD 3 2 1 1 cos BA CD Error 2 或 即B D间的距离为 2 或 故选 D BD 22 7 C 解析 设三棱锥为P ABC 且PA 6 PB PC 4 以P为原点建立空间直角 坐标系如图 则P 0 0 0 A 6 0 0 B 0 4 0 C 0 0 4 6 0 0 PA 6 4 0 6 0 4 设面ABC的一个法向量为n n x y z 则n n n n AB AC AB 6 AC 所以Error y z x 所以可选面ABC的一个法向量为n n 2 3 3 3 2 所以P到面ABC的距离d cos n n 选 C PA PA PA n n n n 12 4 9 9 6 22 11 8 D 解析 如图 如果过点G直接向平面D1EF作垂线 垂足为H 如果我们能求 出向量 那么 就是点G到平面D1EF的距离 在正方体中 建立空间直角坐标系非常 GH GH 方便 因此用坐标的方法 解决这个问题 如图 以射线DA DC DD1分别为x y z轴的正方向建立空间直角坐标系 则 G 1 1 E F 0 1 0 D1 0 0 1 1 0 1 2 GE 0 1 2 1 1 1 2 EF 1 过点G向平面D1EF作垂线 垂足为H 由于点H在平面D1EF内 故存在 ED 1 0 1 2 实数x y使 x y 1 由于GH EF GH ED1 GH GE EF ED y x 1 2 1 2y 所以Error 解得Error 故 所以 即点G到平面D1EF的距离是 GH 1 5 0 2 5 GH 5 5 5 5 9 D 解析 以D为原点 射线DA DC DP为x y z轴正方向建立空间直角坐标 系 如图 设E 1 y0 0 0 y0 2 则 1 2 y0 0 EC 设平面PEC的法向量为n n1 x y z Error Error x y z 2 y0 1 2 记n n1 2 y0 1 2 而平面ECD的法向量n n2 0 0 1 则二面角P EC D的平面角 满足 cos cos n n1 n n2 2 2 cos y0 2 n n1 n n2 n n1 n n2 2 2 y0 2 12 22 1 2 23 当AE 2 时 二面角P EC D的平面角为 3 4 7 10 解析 以O为原点 OB OC OA分别为x y z轴建立空间直角坐标系 7 6 18 则有A 0 0 1 B 2 0 0 C 0 2 0 E 0 1 0 设平面ABC的法向量为n n1 x y z 则由n n1 知n n1 2x z 0 由n n1 AB AB 知n n1 2y z 0 取n n1 1 1 2 AC AC 设平面EAB的法向量为n n x y z 则由n n 知n n 2x z 0 由n n 知 AB AB EB n n 2x y 0 取n n 1 2 2 EB 则 cos n n n n1 n n n n1 n n n n1 1 2 4 9 6 7 6 18 所以平面EAB与平面ABC夹角的余弦值为 7 6 18 11 解析 由已知 1 1 120 2a2 b2 2ab AA AB AA AD AB AD 90 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 AC AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD b2 a2 a2 ab ab 2a2 b2 2ab 故 1 AC 2a2 b2 2ab 12 a 解析 2 AC AO OB BC 其中 90 120 AO OB OB BC AO BC 故 2 2 2 2 2 2 2 2 AC AO OB BC AO OB BC AO OB OB BC AO BC 3a2 2a2cos120 2a2 故 a 即AC a AC 22 13 a 解析 设M 0 m m 0 m a a 0 a 直线AD1的一个单位方 3 3 AD1 向向量s s0 由 0 m a m 故点M到直线AD1的距离d 2 2 0 2 2 MD1 根式内的二次函 MD1 2 MD1 s s0 2 m2 a m 2 1 2 a m 2 3 2m2 am 1 2a2 数当m 时取最小值 2 a a2 a2 故d的最小值为a a 2 3 2 a 3 3 2 a 3 a 3 1 2 1 3 3 3 14 解答 由已知可得AB 平面BB1C1C 由于三棱锥B ACD是正三棱锥 所以CD 平面BB1C1C D B B1三点共线 AB BC BD 8 设AB a BB1 b 则其正视图和俯视图的面积都是ab a2 侧视图的面积是a2 根 1 2 1 2 据已知解得a b 2 以点B为坐标原点 射线BC BB1 BA分别为x y z轴的正方 2 向建立空间直角坐标系 如图 则 A 0 0 C 0 0 D 0 0 B1 0 2 0 C1 2 0 2222 A1 0 2 2 1 由于三棱锥B ACD是正三棱锥 该三棱锥的重心G 则BG 平面 2 3 2 3 2 3 ACD 故可取向量n n 1 1 1 为平面ACD的一个法向量 2 故可取 CA1 22 v v 1 1 为直线CA1的一个方向向量 设直线CA1与平面ACD所成角为 则 2 sin cos n n v v n n v v n n v v 2 2 3 6 6 2 设 m m 2m m 则 m 2m 2 m AP AC1 22 B1P B1A AP 222 如果B1P 平面ACD 则 n n 即 m 2m 2 m 由此得 B1P 222 方程组 Error 由 得m 代入 则 1 矛盾 这说明不存在满足题目要求的 1 2 2 2 2 2 点P 15 解答 方法一 1 证法一 取CE的中点G 连接FG BG F为CD的中点 GF DE且GF DE 1 2 AB 平面ACD DE 平面ACD AB DE GF AB 又AB DE GF AB 又DE 2AB 1 2 四边形GFAB为平行四边形 则AF BG AF 平面BCE BG 平面BCE AF 平面BCE 证法二 取DE的中点M 连接AM FM F为CD的中点 FM CE AB 平面ACD DE 平面ACD DE AB 又AB DE ME 1 2 四边形ABEM为平行四边形 则AM BE FM AM 平面BCE CE BE 平面BCE FM 平面BCE AM 平面BCE 又FM AM M 平面AFM 平面BCE AF 平面AFM AF 平面BCE 9 2 证明 ACD为等边三角形 F为CD的中点 AF CD DE 平面ACD AF 平面ACD DE AF 又CD DE D 故AF 平面CDE BG AF BG 平面CDE BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 3 在平面CDE内 过F作FH CE于H 连接BH 平面BCE 平面CDE FH 平面BCE FBH为BF和平面BCE所成的角 设AD DE 2AB 2a 则FH CFsin45 a 2 2 BF 2a AB2 AF2a2 3a 2 在 Rt FHB中 sin FBH FH BF 2 4 直线BF和平面BCE所成角的正弦值为 2 4 方法二 设AD DE 2AB 2a 建立如图所示的坐标系A xyz 则A 0 0 0 C 2a 0 0 B 0 0 a D a a 0 E a a 2a 33 F为CD的中点 F 3 2a 3 2 a 0 1 证明 a a a 2a 0 a AF 3 2a 3 2 a 0 BE 3 BC AF 平面BCE AF 平面BCE AF 1 2 BE BC 2 证明 a a 0 0 0 2a AF 3 2a 3 2 a 0 CD 3 ED 0 0 AF CD AF ED AF CD AF ED 平面CDE 又AF 平面BCE AF 平面BCE 平面CDE 3 设平面BCE的法向量为n n x y z 由n n 0 n n 0 可得 BE BC x y z 0 2x z 0 取n n 1 2 33 又 设BF和平面BCE所成的角为 则 BF 3 2a 3 2 a a 10 sin BF n n BF n n 2a 2a 2 2 2 4 直线BF和平面BCE所成角的正弦值为 2 4 难点突破 16 解答 解法 1 过E作EN AC于N 连接EF 1 如图 连接NF AC1 由直棱柱的性质知 底面ABC 侧面A1C 又底面ABC 侧面A1C AC 且EN 底面ABC 所以EN 侧面A1C NF为EF在侧面A1C 内的射影 在 Rt CNE中 CN CEcos60 1 则由 得NF AC1 CF CC1 CN CA 1 4 又AC1 A1C 故NF A1C 由三垂线定理知EF