【步步高】2014届高考数学大一轮复习 12.6 离散型随机变量的均值与方差（含解析）新人教A版

1 12 612 6 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 一 选择题 1 若随机变量X的分布列如下表 则E X 等于 X012345 P2x3x7x2x3xx A B 1 18 1 9 C D 20 9 9 20 解析 由分布列的性质可得 2x 3x 7x 2x 3x x 1 x E X 1 18 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x 5x 40 x 20 9 答案 C 2 某班有 的学生数学成绩优秀 如果从班中随机地找出 5 名同学 那么其中数学成绩优 1 4 秀的学生数X B 则E 2X 1 等于 5 1 4 A B 5 4 5 2 C 3 D 7 2 解析 因为 X B 所以 E X 所以 E 2X 1 2E X 1 2 1 5 1 4 5 4 5 4 7 2 答案 D 3 已知随机变量X 8 若X B 10 0 6 则E D 分别是 A 6 和 2 4 B 2 和 2 4 C 2 和 5 6 D 6 和 5 6 解析 若两个随机变量 X满足一次关系式 aX b a b为常数 当已知E X D X 时 则有E aE X b D a2D X 由已知随机变量X 8 所以有 8 X 因此 求得E 8 E X 8 10 0 6 2 D 1 2D X 10 0 6 0 4 2 4 答案 B 4 已知X的分布列为 X 1 01 2 P 1 2 1 3 1 6 则在下列式子中 E X D X 1 3 23 27 P X 0 1 3 正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 E X 1 1 故 正确 1 2 1 6 1 3 D X 2 2 2 故 不正确 1 1 3 1 2 0 1 3 1 3 1 1 3 1 6 5 9 由分布列知 正确 答案 C 5 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a 得 2 分的概率为b 不得分的概率为 c a b c 0 1 且无其他得分情况 已知他投篮一次得分的数学期望为 1 则ab的 最大值为 A B 1 48 1 24 C D 1 12 1 6 解析 依题意得 3a 2b 0 c 1 a 0 b 0 3a 2b 2 6ab 即 2 1 ab 当且仅当 3a 2b即a b 时等式成立 6ab 1 24 2 5 3 5 答案 B 6 某种种子每粒发芽的概率都为 0 9 现播种了 1 000 粒 对于没有发芽的种子 每粒需 要再补种 2 粒 补种的种子数记为X 则X的数学期望为 A 100 B 200 C 300 D 400 解析 种子发芽率为 0 9 不发芽率为 0 1 每粒种子发芽与否相互独立 故设没有发芽的 种子数为 则 B 1 000 0 1 E 1 000 0 1 100 故需补种的期望为E X 2 E 200 答案 B 7 签盒中有编号为 1 2 3 4 5 6 的六支签 从中任意取 3 支 设X为这 3 支签的号 码之中最大的一个 则X的数学期望为 A 5 B 5 25 C 5 8 D 4 6 解析 由题意可知 X可以取 3 4 5 6 3 P X 3 P X 4 1 C3 6 1 20 C2 3 C3 6 3 20 P X 5 P X 6 C2 4 C3 6 3 10 C2 5 C3 6 1 2 由数学期望的定义可求得E X 5 25 答案 B 二 填空题 8 8 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业 生得到甲公司面试的概率为 得到乙 丙两公司面试的概率为 且三个公司是否让其 2 3 p 面试是相互独立的 记为该毕业生得到面试得公司个数 若 则随机变量 1 0 12 P 的数学期望 E 答案 5 3 9 已知离散型随机变量X的分布列如右表 若E X 0 D X 1 则 a b 解析 由题意知Error 解得Error 答案 5 12 1 4 10 马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表 123 P 请小牛同学计算 的数学期望 尽管 处完全无法看清 且两个 处字迹模糊 但能断定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案E 解析 令 为a 为b 则 2a b 1 又E a 2b 3a 2 2a b 2 答案 2 11 袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个 每次摸取一个球记下颜色后放回 现连续 取球 8 次 记取出红球的次数为X 则X的方差D X 4 解析 每次取球时 红球被取出的概率为 8 次取球看做 8 次独立重复试验 红球出现的 1 2 次数 X B 故 D X 8 2 1 2 8 1 2 1 2 答案 2 12 罐中有 6 个红球 4 个白球 从中任取 1 球 记住颜色后再放回 连续摸取 4 次 设 为取得红球的次数 则 的期望E 解析 因为是有放回地摸球 所以每次摸球 试验 摸得红球 成功 的概率均为 连续摸 4 3 5 次 做 4 次试验 为取得红球 成功 的次数 则 B 4 3 5 从而有E np 4 3 5 12 5 答案 12 5 三 解答题 13 某品牌汽车的 4S 店 对最近 100 位采用分期付款的购车者进行了统计 统计结果如下 表所示 已知分 3 期付款的频率为 0 2 且 4S 店经销一辆该品牌的汽车 顾客分 1 期付款 其利润为 1 万元 分 2 期或 3 期付款其利润为 1 5 万元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 2 万元 用 表示经销一辆汽车的利润 付款方式分 1 期分 2 期分 3 期分 4 期分 5 期 频数 4020a10b 1 若以频率作为概率 求事件A 购买该品牌汽车的 3 位顾客中 至多有 1 位采用分 3 期付款 的概率P A 2 求 的分布列及其数学期望E 解析 1 由题意可知 购买该品牌汽车的 3 位顾客中有 1 位采用分 3 期付款 的概率为 0 2 所以 P A 0 83 C 0 2 1 0 2 2 0 896 1 3 2 由 0 2 得a 20 a 100 40 20 a 10 b 100 b 10 记分期付款的期数为 依题意得 P 1 0 4 P 2 0 2 P 3 0 2 P 4 40 100 20 100 20 100 0 1 10 100 5 P 5 0 1 10 100 由题意知 的可能取值为 1 1 5 2 单位 万元 P 1 P 1 0 4 P 1 5 P 2 P 3 0 4 P 2 P 4 P 5 0 1 0 1 0 2 的分布列为 11 52 P0 40 40 2 的数学期望E 1 0 4 1 5 0 4 2 0 2 1 4 万元 14 如图 A地到火车站共有两条路径L1和L2 据统计 通过两条路径所用的时间互不影 响 所用时间落在各时间段内的频率如下表 时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 L1的频率 0 10 20 30 20 2 L2的频率 00 10 40 40 1 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 1 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 2 用X表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 1 的选择方案 求 X的分布列和数学期望 解析 1 Ai表示事件 甲选择路径Li时 40 分钟内赶到火车站 Bi表示事件 乙选择路 径Li时 50 分钟内赶到火车站 i 1 2 用频率估计相应的概率可得 P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲应选择L1 P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙应选择L2 2 A B分别表示针对 1 的选择方案 甲 乙在各自允许的时间内赶到火车站 由 1 知P A 0 6 P B 0 9 又由题意知 A B独立 6 P X 0 P P P 0 4 0 1 0 04 A BAB P X 1 P B A P P B P A P ABAB 0 4 0 9 0 6 0 1 0 42 P X 2 P AB P A P B 0 6 0 9 0 54 X的分布列为 X012 P0 040 420 54 E X 0 0 04 1 0 42 2 0 54 1 5 15 某省示范高中为了推进新课程改革 满足不同层次学生的需求 决定从高一年级开始 在每周的周一 周三 周五的课外活动期间同时开设数学 物理 化学 生物和信息技术 辅导讲座 每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座 也可 以放弃任何一门科目的辅导讲座 规定 各科达到预先设定的人数时称为满座 否则称为 不满座 统计数据表明 各学科讲座各天的满座的概率如下表 信息技术生物化学物理数学 周一 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 周三 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 周五 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 求数学辅导讲座在周一 周三 周五都不满座的概率 2 设周三各辅导讲座满座的科目数为 求随机变量 的分布列和数学期望 解析 1 设数学辅导讲座在周一 周三 周五都不满座为事件A 则P A 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 18 2 的可能取值为 0 1 2 3 4 5 P 0 4 1 1 2 1 2 3 1 48 P 1 C 3 4 1 4 1 2 1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 1 8 P 2 C 2 2 C 3 2 4 1 2 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 1 1 2 2 3 7 24 P 3 C 3 C 2 2 3 4 1 2 1 1 2 1 2 3 2 4 1 2 1 1 2 2 3 1 3 P 4 4 C 3 1 2 1 2 3 3 4 1 2 1 1 2 2 3 3 16 7 P 5 4 1 2 2 3 1 24 所以 随机变量 的分布列如下 012345 P 1 48 1 8 7 24 1 3 3 16 1 24 故E 0 1 2 3 4 5 1 48 1 8 7 24 1 3 3 16 1 24 8 3 16 某城市有甲 乙 丙 3 个旅游景点 一位游客游览这 3 个景点的概率分别是 0 4 0 5 0 6 且游客是否游览哪个景点互不影响 用X表示该游客离开该城市时游览的 景点数与没有游览的景点数之差的绝对值 1 求X的分布列及期望 2 记 f x 2Xx 4 在 3 1 上存在x0 使f x0 0 为事件A 求事件A的概 率 解析 1 设游客游览甲 乙 丙景点分别记为事件A1 A2 A3 已知A1 A2 A3相互独立 且P A1 0 4 P A2 0 5 P A3 0 6 游客游览的景点数可能取值为 0 1 2 3 相应 的游客没有游览的景点数可能取值为 3 2 1 0 所以X的可