2012年高考数学 考前查缺补漏系列 热点02 新问题新情景如何面对高考中新定义问题？

用心 爱心 专心1 新问题新情景 如何面对高考中新定义问题 新问题新情景 如何面对高考中新定义问题 在近几年全国 各省的高考数学命题中 新定义 问题越来越受到关注和重视 所谓 新定义 问题 是相对于高中教材而言 指在高中教材中不曾出现过的概念 定义 它的一 般形式是 由命题者先给出一个新的概念 新的运算法则 或者给出一个抽象函数的性质等 然后让学生按照这种 新定义 去解决相关的问题 新定义 问题总的来说题型较为新颖 所 包含的信息丰富 能较好地考查学生分析问题 解决问题的能力 掌握好下列几种解题的思 路与方法 为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向 一 以集合为背景的新问题 已知集合 Ax yxn ynab n Z Bx yxm 2 312 ym m Z 若存在实数使得成立 称点为 点 则 点在平面区域 a bAB a b 内的个数是 22 108 Cx yxy A 0 B 1 C 2 D 无数个 答案 A 222222 2222 222 108108 1441210812 12360 6 0 6 10872 12144 72 72 6 2 abababbb bbbbab abaaa 代入 1 可得方程无整数解 故满足条件的点不存在 选 A 例 2 2011 福建卷 在整数集 Z Z 中 被 5 除所得余数为k的所有整数组成一个 类 记为 k 即 k 5n k n Z Z k 0 1 2 3 4 给出如下四个结论 2011 1 3 3 Z Z 0 1 2 3 4 整数a b属于同一 类 的充要条件是 a b 0 其中 正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 用心 爱心 专心2 二 以函数为背景考查新定义 例 3 2011 天津卷 对实数a和b 定义运算 a b Error Error 设函数f x x2 2 x 1 x R R 若函数y f x c的图象与x轴恰有两个公共点 则实数c的取值范围 是 A 1 1 2 B 2 1 1 2 C 2 1 2 D 2 1 则f x 的图象如图 函数y f x c的图象与x轴恰有两个公共点 函数y f x 与y c的图象有两个交点 由图象可得 2 c 1 或 10 k 1 2 1999 即E数列An是递增数列 综上 结论得证 3 对首项为 4 的E数列An 由于 a2 a1 1 3 a3 a2 1 2 a8 a7 1 3 所以a1 a2 ak 0 k 2 3 8 所以对任意的首项为 4 的E数列An 若S An 0 则必有n 9 又a1 4 的E数列A9 4 3 2 1 0 1 2 3 4 满足S A9 0 所以n的最小值是 9 最新模拟试题训练 答案 A 解析 T全部是偶数 V全部是奇数 那么T V对乘法是封闭的 但如果T是全部偶数 和 1 3 那么此时T V都符合题目要求 但是在V里面 任意取的数是 1 和 3 那么相 乘等于 3 而V里面没有 3 所以V对乘法不封闭 排除 B C D 选项 所以 至少一个 是对的 2 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 用心 爱心 专心6 对向量 定义一种运算 12 aa a 12 bb b 已知动点 P Q 分别在曲线和 12121 122 aba ab bab a b sinyx 上运动 且 其中为坐标原点 若 yf x OQmOPn O 1 3 0 26 mn 则的最大值为 yf x A B 2 C 3 D 1 2 3 答案 C 解析 设 又显然当时 取得最 11 sin sin 2 3sin 2 333 y yxxyx sin 2 1 3 x 大值为 3 3 北京市石景山区 2011 2012 学年高三第一学期期末考试 对于使成立的所有常数中 我们把的最小值 1 叫做 2 2xx 的Mxx 2 2 MM 上确界 若 且 则 12 2ab 的上确界为 Rba 1 ba A 9 2 B 9 2 C 4 1 D 4 答案 B 4 山东省日照市 2012 届高三 12 月月 若数列 则称数列为 调和数列 已知正项数 为常数满足dNnd aa a nn n 11 1 n a 列为 调和数列 且 则的最大值是 n b 1 90 921 bbb 64 bb 用心 爱心 专心7 A 10B 100C 200D 400 答案 B 解析 由已知得为等差数列 且所以 n b bbb n 0 20 64 又 100 2 2 64 64 bb bb 6 6 宁夏银川宁夏银川 20122012 年高三教学质量检测年高三教学质量检测 若直线坐标系平面内的两点若直线坐标系平面内的两点 P QP Q 满足条件 满足条件 1 1 P QP Q 都在函数都在函数的图像上 2 P O 关于原点对称 则称点 P Q 是函数 yf x 的一对 友好点对 注 点 P Q 与 Q P 看作同一对 友好点对 已知函 yf x 数则此函数的 友好点对 有 2 2 log 0 4 0 x x yf x xx x A 0 对 B 1 对 C 2 对 D 3 对 答案答案 C C 7 7 河南豫西五校河南豫西五校 20122012 届高三下学期联合考试届高三下学期联合考试 设设 S S 是实数解是实数解 R R 的非空子集 如果的非空子集 如果 则称 S 是一个 和谐集 下面命题为假命题的是 a bRabS abS A 存在有限集 S S 是一个 和谐集 B 对任意无理数 a 集合都是 和谐集 x xka kZ C 若且均为 和谐集 则 12 SS 12 S S 12 SS 用心 爱心 专心8 D 对任意两个 和谐集 若 12 S S 1212 SR SRSSR 则 答案 D 8 北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末试卷 已知点 若曲线 1 1 A 上存在两点 使为正三角形 则称为型曲线 给定下列三条曲线 G B CABC G 3 03 yxx 2 2 20 yxx 1 0 yx x 其中 型曲线的个数是 A B C D 0123 答案 C 解析 对于 的图像是一条线段 记为如图 1 所示 3 03 yxx BB 从图中可以看出 在 3 217 3 21817 BBB AAC 线段上一定存在两点 B C 使 ABC 为正三角形 故 满足型曲线 对 BC 于 2 2 20 yxx 的图象是圆在第二象限的部分 如图 2 所示 显然 无论点 22 2xy B C 在何处 ABC 都不可能为正三角形 所以 不是型 曲线 对于 表示双曲线在第四象限的一支 如 1 0 yx x 图 3 所示 显然 存在点 B C 使 ABC 为正三角形 所 x y y x 3 O A B C x y A O y O A x 用心 爱心 专心9 以 满足 综上 型曲线的个数为 2 故选 C 10 10 浙江省宁波市鄞州区浙江省宁波市鄞州区 20122012 年年 3 3 月高考适应性考试月高考适应性考试 对于正项数列 n a 定义 n n naaaa n H 321 32 若 2 2 n Hn则数列 n a的通项公式为 答案答案 n n 2 12 解析解析 本题主要考查数列通项公式的求法的问题 的 光阴 值 现知某数列的 光阴 值为 则数列的通项公式为 n a 2 2 n Hn n a 答案 21 2 n n a n 解析 由可得 n n naaaa n H 321 32 用心 爱心 专心10 123 2 23 2 n n nn n aaana H 1231 1 1 23 1 2 n nn aaana 得 所以 2 1 1 21 222 n n nnnn na 21 2 n n a n 12 12 湖北省武汉市湖北省武汉市 20122012 年普通高等学校招生适应性年普通高等学校招生适应性 定义在上的函数 如果存在函数 为常数 使得对一R f x g xkxb k b f xg x 切实数都成立 则称为函数的一个承托函数 现有如下函数 x g x f x 3 f xx 2 x f x lg 0 0 0 xx f x x sinf xxx 对于 注意到 因此存在函数 使得 sin1f xxxx 1g xx 对一切实数都成立 存在承托函数 综上所述 存在承托函数的 f xg x x f x 的序号为 f x 13 2012 延吉市质检理 15 曲线 0 0 ba ax b y与y轴的交点关于原点的 对称点称为 望点 以 望点 为圆心 凡是与曲线 C 有公共点的圆 皆称之为 望圆 则当 a 1 b 1 时 所有的 望圆 中 面积最小的 望圆 的面积为 答案 3 用心 爱心 专心11 解析 因为曲线 0 0 ba ax b y与y轴的交点关于原点的对称点称为 望 点 以 望点 为圆心 凡是与曲线 C 有公共点的圆 皆称之为 望圆 所以当 时望圆的方程可设为 面积最小的 望圆 的半径为1 1 ba 222 1 ryx 0 1 到上任意点之间的最小距离 1 1 x y 22222 1 2 1 1 1 x x x x xd 所以半径 最小面积为32 1 2 1 2 1 1 1 2 2 x x x x3 r 3 14 山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学 文 已知 f x是定义在 R 上的不恒 为零的函数 且对任意实数a b 满足 2 2 2 2 2 nn nn n ff f a baf bbf afanNbnN n 有以下结论 0 1 ff f x为偶函数 数列 an 为等比数列 数列 bn 为等差数 列 其中正确结论的序号是 答案 解析 因为 1 1 1 0a bR f a baf bbf aabf 取得 取a 2 b 2 得 4 4 2 8 ff 取0 2ab 得 0 2 0 0 0 fff 取a 2 b 2 得 4 4 2 2 2 fff 取 1 2 2 n ab 得 11 2 2 2 2 2 nnn fff 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 22 nn nn nn ff f 由 2 n n f anN n 得 2 n n fna 代入 1 得 1 1 1 1 1 2 2 2 222 nnnn n nnn nanana afna 该题通过函数方程考查函 数性质与递推数列求数列通项公式 既考查函数方程问题一般的研究方法 赋值 又考查 转化化归 对能力要求较高 是难题 1 12 2 2 20 01 12 2 海海淀淀区区高高三三年年级级第第二二学学期期期期中中练练习习 用心 爱心 专心12 写出和的值 并用列举法写出集合 1 A f 1 B fA B 用Card M 表示有限集合M所含元素的个数 求的最小 Card X ACard X B 值 有多少个集合对 P Q 满足 且 P QAB P AQ BA B 解 1 1 A f 1 1 B f 1 6 10 16 A B 3 分 根据题意可知 对于集合 若且 则 C XaC aX 所以 要使的值最小 2 4 8 一定属于集合 Card X ACard X B X 1 6 10 16 是否属于不影响的值 集合不能含有X Card X ACard X B X 之外的元素 AB 所以 当为集合 1 6 10 16 的子集与集合 2 4 8 的并集时 X 取到最小值 4 Card X ACard X B 8 分 所以 A BCAB C fxfx 所以 A BCAB C 由 知 P AQ BA B P QA BA B 所以 P QA BA BA BA B 用心 爱心 专心13 所以 P Q 所以 即 P Q PQ 因为 P QAB 所以 满足题意的集合对 P Q 的个数为 7 2128 14 分 13 北京市西城区 2012 届高三 4 月第一次模拟考试试题 对于数列 12 1 2 nni Aa aaain N 定义 T变换 T将数列 n A变换成 数 列 12 nn Bb bb 其中 1 1 2 1 iii baain 且 1 nn baa 这种 T变换 记作 nn BT A 继续对数列 n B进行 T变换 得到数列 n C 依此类推 当得到的数列各项均为0时变换结束 数列 4 1 4 2 9 A能结束 各数列依次为3 2 7 8 1 5 1 5 4 4 4 4 0 0 0 0 3 分 解 3 A经过有限次 T变换 后能够结束的充要条件是 123 aaa 4 分 若 123 aaa 则经过一次 T变换 就得到数列0 0 0 从而结束 5 分 当数列 3 A经过有限次 T变换 后能够结束时 先证命题 若数列 3 T A为常数列 用心 爱心 专心14 证明 先证明引理 数列 n T A的最大项一定不大于数列 n A的最大项 其中 3n 证明 记数列 n A中最大项为max n A 则0max in aA 令 nn BT A ipq baa 其中 pq aa 因为0 q a 所以max ipn baA 故max max nn BA 证毕 9 分 现将数列 4 A分为两类 若 4 0 Aa b c 0ab ac bc 则 4 T Aa ab bc c 此数列各项均不为0 或含有0项但与最大项不相邻 为第一类数列 若 4 0 0 Aa a b ab b 则 4 0 T Aaab b 4 2 T T Aa ab ab ab 用心 爱心 专心15 2 T T Ab ab b a 此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻 为第一类 数列 当数列 4 A中有三项为0时 只能是 4 0 0 0 Aa 则 0 0T Aa a 0 0 T T Aaa T T T Aa a a a 此数列各项均不为0 为第一类数列 总之 第二类数列 4 A至多经过3次 T变换 就会得到第一类数列 即至多连续经历 3次 T变换 数列的最大项又开始减少 又因为各数列的最大项是非负整数 故经过有 限次 T变换 后 数列的最大项一定会为0 此时数列的各项均为0 从而结束 13 分 14 14 北京市东城区北京市东城区 2011 20122011 2012 学年度高三数第一学期期末检测学年度高三数第一学期期末检测 对任意 且 求证 对于定义域中任意的 Mxf xa b f x 1 x 当 且时 2 x 3 x1 12 xx1 13 xx2 23 xfxf 命题分析 本题是一道以集合为背景的创新题 考查函数的性质和不等式的证明 考查 学生的理解能力和分析能力 读懂题意是解题的前提 解题是注意分类讨论思想的应用 用心 爱心 专心16 假设方程存在两个实数根 0 xxf 则 0f 0f 不妨设 根据题意存在 c 满足 cf f f 因为 且 所以 f f 1 c f 与已知矛盾 又有实数根 1 0 xf0 xxf 所以方程有且只有一个实数根 10 分0 xxf 当时 结论显然成立 32 xx 用心 爱心 专心17 综上 对于任意符合条件的 总有成立 14 分 1 x 23 x x2 23 xfxf 15 北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末试卷 已知数列 如果数列满足 12 nn Aa aa 12 nn Bb bb 1n ba 11kkkk baab 其中 则称为的 衍生数列 2 3 kn n B n A 若数列的 衍生数列 是 求 41234 Aa a a a 4 5 2 7 2 B 4 A 若为偶数 且的 衍生数列 是 证明 的 衍生数列 是 n n A n B n B n A 若为奇数 且的 衍生数列 是 的 衍生数列 是 依次将数n n A n B n B n C 列 的第项取出 构成数列 n A n B n C 1 2 i in iiii a b c 证明 是等差数列 i 命题分析 本题考查新概念的数列问题 考查学生的自学能力 试题特点是设问很有层次 性 基本上前两个问题学生只要耐心认真做答都能够解答出来 考察学生代数推理能力 培养学生逻辑思维 解 3 4 2 1 4 5 A 分 证法一 用心 爱心 专心18 证明 由已知 111 n baaa 212121 n baabaaa 因此 猜想 4 分 1 1 i iin baaa 故当时猜想也成立 1