【状元之路】2012届高中数学 平面向量6-5 文 大纲人教版

用心 爱心 专心1 对应学生书 P217 一 选择题 1 2009 福建 已知锐角 ABC的面积为 3 BC 4 CA 3 则角C的大小为 3 A 75 B 60 C 45 D 30 解析 S ABC 3 4sinC 3 sinC 1 23 3 2 ABC是锐角三角形 C 60 答案 B 2 2009 广东 已知 ABC中 A B C的对边分别为a b c 若a c 6 且 A 75 则b等于 2 A 2 B 4 2 3 C 4 2 D 362 解析 如图所示 在 ABC中 由正弦定理 得 4 b sin30 6 2 sin75 6 2 sin 45 30 b 2 答案 A 3 若 ABC的三边分别为a b c且满足b2 ac 2b a c 则此三角形是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形 解析 2b a c 4b2 a c 2 即 a c 2 0 a c 2b a c 2a b a 即a b c 答案 D 4 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 如果c a B 30 那么 3 角C等于 A 120 B 105 C 90 D 75 解析 c a sinC sinA sin 180 30 C sin 30 C 33333 用心 爱心 专心2 sinC cosC 3 2 1 2 即 sinC cosC tanC 33 又C 0 C 120 答案 A 5 若 ABC中 a b c分别是内角A B C的对边 且 cos2B 3cos A C 2 0 b 则c sinC等于 3 A 3 1 B 1 3 C 1 D 2 1 2 解析 cos2B 3cos A C 2 2cos2B 3cosB 1 0 cosB 或 cosB 1 舍去 B 1 2 3 2 c sinC b sinB 3 3 2 答案 D 6 若 ABC中 AB AC 1 B 30 则 ABC的面积等于 3 A B 3 2 3 4 C 或 D 或 3 23 3 2 3 4 解析 sinC 1 sin30 3 sinC 3 2 C 60 或 120 当C 60 时 A 90 BC 2 此时 S ABC 3 2 当C 120 时 A 30 S ABC 1 sin30 1 23 3 4 答案 D 二 填空题 7 2009 湖南 在锐角 ABC中 BC 1 B 2A 则的值等于 AC的 AC cosA 取值范围为 解析 如图 AC sinB 1 sinA 用心 爱心 专心3 又B 2A 1 sinA AC sin2A AC 2sinAcosA 2 AC 2cosA AC cosA 在锐角 ABC中 B 2A 0 A 4 又C A B 3A 0 3A 即 A 2 6 3 A cosA 6 4 2 2 3 2 AC 2cosA 23 答案 2 23 8 2009 天津 如图 AA1与BB1相交于点O AB A1B1 且AB A1B1 若 AOB的外 1 2 接圆的直径为 1 则 A1OB1的外接圆的直径为 解析 由于AB A1B1 则有 AOB A1OB1 且对应边的比为 1 2 那么两三角形对 应的各线之比均为 1 2 则对应的外接圆的直径之比也是 1 2 故 A1OB1的外接圆直径 为 2 答案 2 9 在 ABC中 BC 1 B 当 ABC的面积等于时 tanC 33 解析 S ABC acsinB c 4 1 23 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosB 13 cosC sinC a2 b2 c2 2ab 1 13 12 13 tanC 2 123 答案 2 3 三 解答题 10 2010 辽宁 在 ABC中 a b c分别为内角A B C的对边 且 2asinA 2b c sinB 2c b sinC 1 求A的大小 2 求 sinB sinC的最大值 用心 爱心 专心4 解析 1 由已知 根据正弦定理 得 2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosA 所以 cosA 故A 120 1 2 2 由 1 得 sinB sinC sinB sin 60 B cosB sinB sin 60 B 3 2 1 2 故当B 30 时 sinB sinC取得最大值 1 11 2010 安徽 设 ABC是锐角三角形 a b c分别是内角A B C所对边长 并 且 sin2A sin sin sin2B 3 B 3 B 1 求角A的值 2 若 12 a 2 求b c 其中b c AB AC 7 解析 1 sin2A Error 3 2 cosB 1 2sinB Error sin2B cos2B sin2B sin2B 3 4 1 4 3 4 sinA 3 2 又 A为锐角 故A 3 2 由 12 可得cbcosA 12 AB AC 由 1 知 A 从而cb 24 3 由余弦定理知 a2 c2 b2 2cbcosA 将a 2及 代入 得c2 b2 52 7 2 得 c b 2 100 于是c b 10 因此c b是一元二次方程t2 10t 24 0 的两个根 解此方程并由c b知 c 6 b 4 12 2010 全国 已知 ABC的内角A B及其对边a b满足 a b acotA bcotB 求内角C 解析 方法一 a b acotA bcotB 且 2R R为 ABC的外接圆半径 a sinA b sinB sinA sinB cosA cosB sinA cosA cosB sinB 1 sin2A 1 sin2B 用心 爱心 专心5 sin2A sin2B 0 又 sin2A sin2B 2cos A B sin A B cos A B sin A B 0 cos A B 0 或 sin A B 0 又 A B为三角形的内角 A B 或A B 2 当A B 时 C 2 2 当A B时 由已知 得 cotA 1 从而A B 得C 4 2 综上 可知内角C 2 方法二 由a b acotA bcotB及正弦定理 得 sinA sinB cosA cosB sinA cosA cosB sinB 从而 sinAcos cosAsin cosBsin sinBcos 4 4 4 4 sin sin A 4 4 B 又 0 A B 故A B A B 4 4 2 得C 2 13 2010 浙江 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知 cos2C 1 4 1 求 sinC的值 2 当a 2 2sinA sinC时 求b及c的长 解析 1 cos2C 1 2sin2C 0 C 1 4 sinC 10 4 2 当a 2 2sinA sinC时 由正弦定理 得c 4 a sinA c sinC 由 cos2C 2cos2C 1 及 0 C 得 cosC 1 4 6 4 由余弦定理c2 a2 b2 2abcosC 得b2 b 12 0 b 0 6 解得b 或 2 66 用心 爱心 专心6 Error 或Error 14 2010 陕西 如图 A B是海面上位于东西方向相距 5 3 海里的两个观测点 3 现位于A点北偏东 45 B点北偏西 60 的D点有一艘轮船发出求救信号 位于B点南偏 西 60 且与B 点相距 20海里的C点的救援船立即前往营救 其航行速度为 30 海里 时 该救援船 3 到达D点需要多长时间 解析 由题意 知AB 5 3 海里 DBA 90 60 30 DAB 90 3 45 45 ADB 180 45 30 105 在 DAB中 由正弦定理 得 DB sin DAB AB sin ADB 于是DB AB sin DAB sin ADB 5 3 3 sin45 sin105 10 海里 5 3 3 sin45 sin45 cos60 cos45 s