2016年广东省广州市白云区中考数学一模试卷

第 1 页 共 31 页 2016 年广东省广州市白云区中考数学一模试卷年广东省广州市白云区中考数学一模试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 30 分 在每小题给出的四分 在每小题给出的四 个选项中 只有一项是符合题目要求的 个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 3 分 0 5 的相反数是 A 0 5 B 0 5 C 2D 2 2 3 分 已知点 C 是线段 AB 上的一点 不能确定点 C 是 AB 中点的条件是 A AC CBB AC ABC AB 2BC D AC CB AB 3 3 分 下列各组的两项是同类项的为 A 3m2n2与 m2n3B xy 与 2yxC 53与 a3D 3x2y2与 4x2z2 4 3 分 如图 直线 AB 和 CD 相交于点 O 若 AOD 134 则 AOC 的度数 为 A 134 B 144 C 46 D 32 5 3 分 一个正方形的面积为 2 则它的边长是 A 4B C D 6 3 分 为了了解一批电视机的使用寿命 从中抽取 100 台电视机进行试验 这个问题的样本是 A 这批电视机 B 这批电视机的使用寿命 C 抽取的 100 台电视机的使用寿命 D 100 台 7 3 分 计算 2x 1 3x2 的结果为 A 6x3 1B 6x3 3C 6x3 3x2D 6x3 3x2 第 2 页 共 31 页 8 3 分 若一个多边形的每个外角都等于 45 则它是 A 六边形 B 八边形 C 九边形 D 十二边形 9 3 分 如图 正比例函数 y1 k1x 和反比例函数 y2 的图象都经过点 A 2 1 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A 1 x 0B x 2C 2 x 0 或 x 2D x 2 或 0 x 2 10 3 分 如图 ABC 周长为 36cm 把其边 AC 对折 使点 C A 重合 折 痕交 BC 边于点 D 交 AC 边于点 E 连结 AD 若 AE 6cm 则 ABD 的周长是 A 24cmB 26cmC 28cmD 30cm 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 18 分 分 11 3 分 D E F 分别是 ABC 各边的中点 若 ABC 的周长是 12cm 则 DEF 的周长是 cm 12 3 分 平面直角坐标系下有序数对 2x y x y 表示的点为 5 4 则 x y 13 3 分 化简 14 3 分 直线 y kx b 中 k 0 b 0 则此直线经过第 象限 15 3 分 如果菱形两邻角之比为 1 2 较短的对角线长为 8 则其周长为 第 3 页 共 31 页 16 3 分 在平面直角坐标系中 Rt OAB 的顶点 A 的坐标为 若将 OAB 绕 O 点 逆时针旋转 60 后 B 点到达 B 点 则点 B 的坐标是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 9 小题 满分小题 满分 102 分 解答应写出文字说明 证明过程分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 或演算步骤 17 10 分 解不等式组 18 10 分 如图 E F 分别是 ABCD 的边 BC AD 上的两点 AEB FCB 求证 BE DF 19 12 分 如图是平面直角坐标系及其中的一条直线 该直线还经过点 C 3 10 1 求这条直线的解析式 2 若该直线分别与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 点 P 在 x 轴上 且 S PAB 6S OAB 求点 P 的坐标 第 4 页 共 31 页 20 10 分 图 是某手机生产厂第一季度三个月产量统计图 图 是这三个 月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图 统计员在制作图 图 时漏 填了部分数据 1 该厂二月份生产的手机产量占第一季度的比例为 2 求该厂三月份生产手机的产量 3 请求出图 中一月份圆心角的度数 21 9 分 在一个不透明的袋子中装有三张分别标有 1 2 3 数字的卡片 卡 片除数字外完全相同 1 从袋中任意抽取一张卡片 则抽出的是偶数的概率为 2 从袋中任意抽取二张卡片 求被抽取的两张卡片构成两位数是奇数的概 率 22 11 分 我国水资源比较缺乏 人均水量约为世界人均水量的四分之一 其中西北地区缺水尤为严重 一村民为了蓄水 他把一块矩形白铁皮四个角各 切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水 已知白铁皮的 长为 280cm 宽为 160cm 如图 1 若水箱的底面积为 16000cm2 请求出切去的小正方形边长 2 对 1 中的水箱 若盛满水 这时水量是多少升 注 1 升水 1000cm3水 第 5 页 共 31 页 23 12 分 如图 1 延长 O 的直径 AB 至点 C 使得 BC AB 点 P 是 O 上 半部分的一个动点 点 P 不与 A B 重合 连结 OP CP 1 C 的最大度数为 2 当 O 的半径为 3 时 OPC 的面积有没有最大值 若有 说明原因并求 出最大值 若没有 请说明理由 3 如图 2 延长 PO 交 O 于点 D 连结 DB 当 CP DB 时 求证 CP 是 O 的切线 24 14 分 已知 如图 抛物线 y x2 ax b 与 x 轴从左至右交于 A B 两点 与 y 轴正半轴交于点 C 设 OCB OCA 且 tan tan 2 OC2 OA OB 1 ABC 是否为直角三角形 若是 请给出证明 若不是 请说明理由 2 求抛物线的解析式 3 若抛物线的顶点为 P 求四边形 ABPC 的面积 25 14 分 如图 ABC 中 C 45 点 D 在 AC 上 且 ADB 60 AB 为 BCD 外接圆的切线 1 用尺规作出 BCD 的外接圆 保留作图痕迹 可不写作法 2 求 A 的度数 第 6 页 共 31 页 3 求的值 第 7 页 共 31 页 2016 年广东省广州市白云区中考数学一模试卷年广东省广州市白云区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 30 分 在每小题给出的四分 在每小题给出的四 个选项中 只有一项是符合题目要求的 个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 3 分 2016 白云区一模 0 5 的相反数是 A 0 5 B 0 5 C 2D 2 考点 相反数 菁优网版权所有 分析 根据只有符号不同的两个数互为相反数 可得答案 解答 解 0 5 的相反数是 0 5 故选 A 点评 本题考查了相反数 在一个数的前面加上负号就是这个数相反数 2 3 分 2016 白云区一模 已知点 C 是线段 AB 上的一点 不能确定点 C 是 AB 中点的条件是 A AC CBB AC ABC AB 2BC D AC CB AB 考点 两点间的距离 菁优网版权所有 分析 根据线段中点的定义对每一项分别进行分析 即可得出答案 解答 解 A 若 AC CB 则 C 是线段 AB 中点 B 若 AC AB 则 C 是线段 AB 中点 C 若 AB 2BC 则 C 是线段 AB 中点 D AC BC AB C 可是线段 AB 是任意一点 则不能确定 C 是 AB 中点的条件是 D 故选 D 点评 此题考查了两点间的距离 理解线段中点的概念是本题的关键 第 8 页 共 31 页 3 3 分 2016 白云区一模 下列各组的两项是同类项的为 A 3m2n2与 m2n3B xy 与 2yxC 53与 a3D 3x2y2与 4x2z2 考点 同类项 菁优网版权所有 分析 依据同类项的定义回答即可 解答 解 A 3m2n2与 m2n3字母 n 的指数不同不是同类项 故 A 错误 B xy 与 2yx 是同类项 故 B 正确 C 53与 a3所含字母不同 不是同类项 故 C 错误 D 3x2y2与 4x2z2所含的字母不同 不是同类项 故 D 错误 故选 B 点评 本题主要考查的是同类项的定义 掌握同类项的定义是解题的关键 4 3 分 2016 白云区一模 如图 直线 AB 和 CD 相交于点 O 若 AOD 134 则 AOC 的度数为 A 134 B 144 C 46 D 32 考点 对顶角 邻补角 菁优网版权所有 分析 根据邻补角之和等于 180 进行计算即可 解答 解 AOD AOC 180 AOC 180 134 46 故选 C 点评 本题考查的是对顶角 邻补角的概念和性质 掌握对顶角相等 邻补 角之和等于 180 是解题的关键 5 3 分 2016 白云区一模 一个正方形的面积为 2 则它的边长是 A 4B C D 考点 算术平方根 菁优网版权所有 第 9 页 共 31 页 分析 依据算术平方根的定义和性质求解即可 解答 解 设它的边长为 x 则 x2 2 所以 x 所以它的边长是 故选 D 点评 本题主要考查的是算术平方根的定义 掌握算术平方根的定义是解题 的关键 6 3 分 2016 白云区一模 为了了解一批电视机的使用寿命 从中抽取 100 台电视机进行试验 这个问题的样本是 A 这批电视机 B 这批电视机的使用寿命 C 抽取的 100 台电视机的使用寿命 D 100 台 考点 总体 个体 样本 样本容量 菁优网版权所有 专题 应用题 分析 本题考查的是确定总体 解此类题需要注意 考查对象实际应是表示事 物某一特征的数据 而非考查的事物 我们在区分总体 个体 样本 样本 容量这四个概念时 首先找出考查的对象 从而找出总体 个体 再根据被收 集数据的这一部分对象找出样本 解答 解 本题考查的对象是了解一批电视机的使用寿命 故样本是所抽取 的 100 台电视机的使用寿命 故选 C 点评 解题要分清具体问题中的总体 个体与样本 关键是明确考查的对 象 总体 个体与样本的考查对象是相同的 所不同的是范围的大小 样本容 量是样本中包含的个体的数目 不能带单位 7 3 分 2016 白云区一模 计算 2x 1 3x2 的结果为 A 6x3 1B 6x3 3C 6x3 3x2D 6x3 3x2 第 10 页 共 31 页 考点 单项式乘多项式 菁优网版权所有 分析 依据单项式乘多项式法则进行计算即可 解答 解 原式 6x3 3x2 故选 C 点评 本题主要考查的是单项式乘多项式 熟练掌握单项式乘多项式法则是 解题的关键 8 3 分 2016 白云区一模 若一个多边形的每个外角都等于 45 则它是 A 六边形 B 八边形 C 九边形 D 十二边形 考点 多边形内角与外角 菁优网版权所有 分析 因为多边形的外角和是 360 正多边形的每个外角都相等 且一个外 角的度数为 45 由此即可求出答案 解答 解 360 45 8 则正多边形的边数为 8 故选 B 点评 本题主要考查了多边形的外角和定理 已知正多边形的外角求正多边 形的边数是一个考试中经常出现的问题 9 3 分 2016 白云区一模 如图 正比例函数 y1 k1x 和反比例函数 y2 的图象都经过点 A 2 1 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A 1 x 0B x 2C 2 x 0 或 x 2D x 2 或 0 x 2 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 菁优网版权所有 分析 根据对称性先确定它们的交点坐标 然后根据一次函数图象在反比例 第 11 页 共 31 页 函数图象的上方 由此即可解决问题 解答 解 如图 点 A 坐标 2 1 又 正比例函数 y1 k1x 和反比例函数 y2 都是关于原点对称 它们的交点 A B 关于原点对称 点 B 坐标 2 1 由图象可知 y1 y2时 x 2 或 0 x 2 故选 D 点评 本题考查一次函数与反比例函数图象的交点等知识 理解 A B 关于 原点对称是解题的关键 学会利用图象确定自变量的取值范围 属于中考常考 题型 10 3 分 2016 白云区一模 如图 ABC 周长为 36cm 把其边 AC 对折 使点 C A 重合 折痕交 BC 边于点 D 交 AC 边于点 E 连结 AD 若 AE 6cm 则 ABD 的周长是 A 24cmB 26cmC 28cmD 30cm 考点 翻折变换 折叠问题 菁优网版权所有 分析 根据翻折变换的性质可得 AE EC AD CD 然后求出 ABD 的周长 AB BC 代入数据计算即可得解 解答 解 ABC 的边 AC 对折顶点 C 和点 A 重合 第 12 页 共 31 页 AE EC AD CD ABD 的周长 AB BD AD AB BD CD AB BC AE 6cm AC AE EC 6 6 12 ABC 的周长为 36cm AB BC 36 12 24cm ABD 的周长是 24cm 故选 A 点评 本题考查了翻折变换的性质 熟记翻折前后的两个图形能够完全重合 得到相等的边是解题的关键 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 18 分 分 11 3 分 2016 白云区一模 D E F 分别是 ABC 各边的中点 若 ABC 的周长是 12cm 则 DEF 的周长是 6 cm 考点 三角形中位线定理 菁优网版权所有 分析 由于 D E 分别是 AB BC 的中点 则 DE 是 ABC 的中位线 那么 DE AC 同理有 EF AB DF BC 于是易求 DEF 的周长 解答 解 如图所示 D E 分别是 AB BC 的中点 DE 是 ABC 的中位线 DE AC 同理有 EF AB DF BC DEF 的周长 AC BC AB 12 6cm 故答案为 6 第 13 页 共 31 页 点评 本题考查了三角形中位线定理 解题的关键是根据中位线定理得出边 之间的数量关系 12 3 分 2016 白云区一模 平面直角坐标系下有序数对 2x y x y 表示 的点为 5 4 则 x 3 y 1 考点 点的坐标 菁优网版权所有 分析 根据题意可得方程组 解方程组可得答案 解答 解 由题意得 解得 故答案为 3 1 点评 此题主要考查了点的坐标 关键是正确理解题意 列出方程组 13 3 分 2016 白云区一模 化简 考点 约分 菁优网版权所有 分析 首先把分子分母分解因式 再约去分子分母的公因式即可 解答 解 原式 故答案为 点评 此题主要考查了分式的约分 关键是正确把分子分母分解因式 找出 公因式 14 3 分 2016 白云区一模 直线 y kx b 中 k 0 b 0 则此直线经过 第 一 二 四 象限 第 14 页 共 31 页 考点 一次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 分析 根据一次函数图象与系数的关系进行判断 解答 解 k 0 b 0 直线 y kx b 经过第一 二 四象限 故答案为 一 二 四 点评 本题考查了一次函数图象与系数的关系 k 0 b 0 y kx b 的图象 在一 二 三象限 k 0 b 0 y kx b 的图象在一 三 四象限 k 0 b 0 y kx b 的图象在一 二 四象限 k 0 b 0 y kx b 的图象在 二 三 四象限 15 3 分 2016 白云区一模 如果菱形两邻角之比为 1 2 较短的对角线长 为 8 则其周长为 32 考点 菱形的性质 菁优网版权所有 分析 根据菱形的性质及已知可求得 ADB 是等边三角形 从而可得到菱形 的边长 进而可求出其周长 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 AB CD A ADC 180 A ADC 1 2 A 60 ADC 120 AD AB ADB 为等边三角形 AD BD 8 菱形的周长 4 8 32 第 15 页 共 31 页 故答案为 32 点评 此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定等知识 根据等边 三角形的性质求解是解题关键 16 3 分 2010 安顺 在平面直角坐标系中 Rt OAB 的顶点 A 的坐标为 若将 OAB 绕 O 点 逆时针旋转 60 后 B 点到达 B 点 则点 B 的 坐标是 考点 坐标与图形变化 旋转 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 根据 A 点坐标可知 AOB 30 因此旋转后 OA 在 y 轴上 如图所 示 作 B C y 轴于 C 点 运用三角函数求出 B C OC 的长度即可确定 B 的坐 标 解答 解 将 OAB 绕 O 点 逆时针旋转 60 后 位置如图所示 作 B C y 轴于 C 点 A 的坐标为 OB AB 1 AOB 30 OB B OC 30 B C OC B 第 16 页 共 31 页 点评 本题涉及图形旋转 体现了新课标的精神 抓住旋转的三要素 旋转 中心 O 旋转方向逆时针 旋转角度 60 通过画图计算得 B 坐标 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 9 小题 满分小题 满分 102 分 解答应写出文字说明 证明过程分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 或演算步骤 17 10 分 2016 白云区一模 解不等式组 考点 解一元一次不等式组 菁优网版权所有 分析 分别求出每一个不等式的解集 根据口诀 同大取大 同小取小 大 小小大中间找 大大小小无解了确定不等式组的解集 解答 解 解不等式 x 3 5 得 x 2 解不等式 3x 1 7 得 x 2 故不等组的解集为 2 x 2 点评 本题考查的是解一元一次不等式组 正确求出每一个不等式解集是基 础 熟知 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 的原则是 解答此题的关键 18 10 分 2016 白云区一模 如图 E F 分别是 ABCD 的边 BC AD 上的 两点 AEB FCB 求证 BE DF 考点 平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 第 17 页 共 31 页 分析 根据平行四边形的性质得出 AB CD B D 根据 AAS 证出 ABE CDF 即可推出答案 解答 证明 四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD B D 又 AD CB DFC FCB 又 AEB FCB AEB CFD 在 ABE 和 CDF 中 ABE CDF AAS BE DF 点评 本题主要考查对平行四边形的性质 全等三角形的性质和判定等知识 点的理解和掌握 能根据性质证出 ABE CDF 是证此题的关键 19 12 分 2016 白云区一模 如图是平面直角坐标系及其中的一条直线 该直线还经过点 C 3 10 1 求这条直线的解析式 2 若该直线分别与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 点 P 在 x 轴上 且 S PAB 6S OAB 求点 P 的坐标 第 18 页 共 31 页 考点 待定系数法求一次函数解析式 一次函数图象上点的坐标特征 菁优网版权所有 分析 1 待定系数法求解可得 2 先根据直线解析式求得 A B 点坐标 进而可得 S OAB 设点 P 的坐标 为 P m 0 用含 m 的式子表示出 S PAB 根据 S PAB 6S OAB可得关于 m 的方 程 解方程即可得 解答 解 1 设直线的解析式为 y kx b 由图可知 直线经过点 1 2 又已知经过点 C 3 10 分别把坐标代入解析式中 得 解得 直线的解析式为 y 3x 1 2 由 y 3x 1 令 y 0 解得 x 令 x 0 解得 y 1 A B 两点的坐标分别为 A 0 B 0 1 S OAB OA OB 1 设点 P 的坐标为 P m 0 则 S PAB PA OB m 1 m 第 19 页 共 31 页 由 S PAB 6S OAB 得 m 6 从而得 m 2 或 m 2 m 或 m 即点 P 的坐标为 P 0 或 P 0 点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及解方程的能力 根据三角形 面积间的关系得出关于 m 的绝对值方程是解题的关键 20 10 分 2016 白云区一模 图 是某手机生产厂第一季度三个月产量统 计图 图 是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图 统计员在 制作图 图 时漏填了部分数据 1 该厂二月份生产的手机产量占第一季度的比例为 34 2 求该厂三月份生产手机的产量 3 请求出图 中一月份圆心角的度数 考点 条形统计图 扇形统计图 菁优网版权所有 分析 1 用 1 减去一月 三月百分比可得 2 根据一月产量和百分比求出一季度总产量 将总产量乘以三月份百分比可 得 3 360 一月份百分比即可 解答 解 1 该厂二月份生产的手机产量占第一季度的比例为 1 30 36 34 第 20 页 共 31 页 2 该厂第一季度总产量为 1500 30 5000 部 5000 36 1800 部 答 该厂三月份生产手机为 1800 部 3 360 30 108 答 图 中一月份圆心角的度数为 108 故答案为 1 34 点评 本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图 条形图能清楚地表示出 每个项目的具体数目 扇形图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比 折线图能清楚反映事物的变化情况 我们在选择统计图整理数据时 应注意 扬 长避短 21 9 分 2016 白云区一模 在一个不透明的袋子中装有三张分别标有 1 2 3 数字的卡片 卡片除数字外完全相同 1 从袋中任意抽取一张卡片 则抽出的是偶数的概率为 2 从袋中任意抽取二张卡片 求被抽取的两张卡片构成两位数是奇数的概 率 考点 列表法与树状图法 概率公式 菁优网版权所有 分析 1 求出 1 2 3 三个数中偶数的个数 再直接根据概率公式求解即 可 2 分别列举出可能组成的两位数 再根据概率公式解答即可 解答 解 1 随机地抽取一张 所有可能出现的结果有 3 个 每个结果发 生的可能性都相等 其中卡片上的数字为偶数的结果有 1 个 故从袋中任意抽取一张卡片 则抽出的是偶数的概率为 故答案为 2 解法一 列举法 第 21 页 共 31 页 被抽取的两张卡片所有可能是 1 2 1 3 2 3 而每一种情况 都可构成两个两位数 即是 12 21 13 31 23 32 共 6 个两位数 其中是奇数的为 21 13 31 23 共 4 个 P 奇数 解法二 列表法 123 11213 22123 33132 从表中看出 共有 6 个两位数 其中是奇数的为 13 21 23 31 共 4 个 P 奇数 解法三 树状图法 由树状图可知 构成的两位数共有 6 个 分别是 12 13 21 23 31 32 其中是奇数的为 13 21 23 31 共 4 个 P 奇数 点评 此题主要考查了列举法求概率 用到的知识点为 概率 所求情况数与 总情况数之比 得到所求的情况数是解决本题的易错点 22 11 分 2016 白云区一模 我国水资源比较缺乏 人均水量约为世界人 均水量的四分之一 其中西北地区缺水尤为严重 一村民为了蓄水 他把一块 矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接 雨水 已知白铁皮的长为 280cm 宽为 160cm 如图 第 22 页 共 31 页 1 若水箱的底面积为 16000cm2 请求出切去的小正方形边长 2 对 1 中的水箱 若盛满水 这时水量是多少升 注 1 升水 1000cm3水 考点 一元二次方程的应用 菁优网版权所有 分析 1 设切去的小正方形的边长为 xcm 然后用含 x 的式子表示水箱底 面的长和宽 然后依据矩形的面积公式列方程求解即可 2 依据正方体的体积 底面积 高求得水的体积 然后再依据 1 升水 1000cm3水求解即可 解答 解 1 设切去的小正方形的边长为 xcm 根据题意 得 280 2x 160 2x 16000 化简整理 得 x2 220 x 7200 0 解得 x 40 或 x 180 舍去 答 切去的小正方形边长为 40cm 2 在 1 的条件下 水箱的容积 16000 40 cm3 1000 640 升 答 这时水量为 640 升 点评 本题主要考查的是一元二次方程的应用 用含 x 的式子表示水箱底面 的长和宽是解题的关键 23 12 分 2016 白云区一模 如图 1 延长 O 的直径 AB 至点 C 使得 BC AB 点 P 是 O 上半部分的一个动点 点 P 不与 A B 重合 连结 OP CP 1 C 的最大度数为 30 2 当 O 的半径为 3 时 OPC 的面积有没有最大值 若有 说明原因并求 第 23 页 共 31 页 出最大值 若没有 请说明理由 3 如图 2 延长 PO 交 O 于点 D 连结 DB 当 CP DB 时 求证 CP 是 O 的切线 考点 圆的综合题 菁优网版权所有 分析 1 当 PC 与 O 相切时 OCP 的度数最大 根据切线的性质即可求 得 2 由 OPC 的边 OC 是定值 得到当 OC 边上的高为最大值时 OPC 的面 积最大 当 PO OC 时 取得最大值 即此时 OC 边上的高最大 于是得到结论 3 根据全等三角形的性质得到 AP DB 根据等腰三角形的性质得到 A C 得到 CO OB OB AB 推出 APB CPO 根据全等三角形的性质得 到 CPO APB 根据圆周角定理得到 APB 90 即可得到结论 解答 解 1 当 PC 与 O 相切时 OCP 最大 如图 1 所示 sin OCP OCP 30 OCP 的最大度数为 30 故答案为 30 2 有最大值 理由 OPC 的边 OC 是定值 当 OC 边上的高为最大值时 OPC 的面积最大 而点 P 在 O 上半圆上运动 当 PO OC 时 第 24 页 共 31 页 取得最大值 即此时 OC 边上的高最大 也就是高为半径长 最大值 S OPC OC OP 6 3 9 3 证明 连结 AP BP 如图 2 在 OAP 与 OBD 中 OAP OBD AP DB PC DB AP PC PA PC A C BC AB OB CO OB OB AB 在 APB 和 CPO 中 APB CPO CPO APB AB 为直径 APB 90 CPO 90 PC 切 O 于点 P 即 CP 是 O 的切线 第 25 页 共 31 页 点评 本题考查了切线的判定 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性 质 圆周角定理 三角形面积的最值 知道 PC 与 O 相切时 OCP 最大是解 决 1 的关键 知道当 OC 边上的高为最大值时 OPC 的面积最大是解决 2 的关键 24 14 分 2016 白云区一模 已知 如图 抛物线 y x2 ax b 与 x 轴从左至 右交于 A B 两点 与 y 轴正半轴交于点 C 设 OCB OCA 且 tan tan 2 OC2 OA OB 1 ABC 是否为直角三角形 若是 请给出证明 若不是 请说明理由 2 求抛物线的解析式 3 若抛物线的顶点为 P 求四边形 ABPC 的面积 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 分析 1 利用已知得出 Rt BOC Rt COA 进而得出 OCA OCB 90 第 26 页 共 31 页 即可得出答案 2 由题意可得 方程 x2 ax b 0 有两个不同的实数根 进而得出 C 点坐标 可得出 b 的值 再利用 tan tan 由 tan tan 2 得出 a 的值进而 得出答案 3 作 PF x 轴于点 F 根据 S四边形 ABPC S PDB S CDA DB PF DA OC 进而 得出答案 解答 解 1 ABC 是直角三角形 理由如下 OC2 OA OB 又 BOC COA 90 Rt BOC Rt COA OCB OAC 又 OCA OAC 90 OCA OCB 90 即 ACB 90 ABC 是直角三角形 2 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 方程 x2 ax b 0 有两个不同的实数根 设这两个根分别为 x1 x2 且 x1 x2 显然 x1 0 x2 0 得 A B 两点的坐标分别为 A x1 0 B x2 0 由根与系数的关系 有 x1 x2 a x1 x2 b 对于抛物线 y x2 ax b 当 x 0 时 y b 第 27 页 共 31 页 C 点的坐标为 C 0 b 由已知条件 OC2 OA OB 得 b2 x1 x2 即 b2 x1 x2 b2 b 点 C 在 y 轴的正半轴上 b 0 从而得 b 1 tan tan 由 tan tan 2 得 2 即 OB OA 2OC 得 x2 x1 2b x2 x1 2b 即 a 2b a 2 抛物线的解析式为 y x2 2x 1 3 由抛物线的解析式 y x2 2x 1 配方得 y x 1 2 2 其顶点 P 的坐标为 P 1 2 解方程 x2 2x 1 0 得 x1 1