【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第二章 函数2．2函数的单调性与最值教学案 理 新人教A版

1 2 22 2 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 考考纲纲要要求求 1 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 2 会运用函数图象理解和研究函数的性质 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 增函数减函数 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量x1 x2 定义 当x1 x2时 都有 那么 就说函数f x 在区间D上是增函数 当x1 x2时 都有 那么 就说函数f x 在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 2 如果函数y f x 在某个区间上是 或 则称y f x 在这一 区间具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 2 函数的最值 前提设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 条件 对于任意x I 都有 存在x0 I 使得 对于任意x I 都有 存在x0 I 使得 结论M为最大值M为最小值 1 下列函数中 在 0 3 上是增函数的是 A f x B f x x 3 3 x C f x D f x x2 6x 4 x 2 下列函数f x 中满足 对任意x1 x2 0 当x1 x2时 都有f x1 f x2 的是 A f x ex B f x 1 x C f x x 2 2 D f x ln x 3 3 若函数f x x2 2x m在 3 上的最小值为 1 则实数m的值为 A 3 B 2 C 1 D 1 4 已知函数f x 为 R R 上的减函数 则满足f f 1 的实数x的取值范围是 1 x 5 2012 课标全国高考 设函数f x 的最大值为M 最小值为 x 1 2 sin x x2 1 m 则M m 一 函数单调性的判断及应用 例 1 已知函数f x ax 其中a 0 x2 1 1 若 2f 1 f 1 求a的值 2 2 证明 当a 1 时 函数f x 在区间 0 上为单调减函数 3 若函数f x 在区间 1 上是增函数 求a的取值范围 方法提炼方法提炼 1 判断或证明函数的单调性 最基本的方法是利用定义或利用导数 利用定义的步骤是 设元取值 作差 商 变形 确定符号 与 1 比较大小 得出结论 利用导数的步骤是 求导函数 判断导函数在区间上的符号 得出结论 2 两个增 减 函数的和函数仍是增 减 函数 但两个增函数的差 积 商的函数单调 性不确定 同样两个减函数的差 积 商的函数单调性也不确定 3 对于复合函数y f g x 如果内 外层函数单调性相同 那么y f g x 为增 函数 如果内 外层函数单调性相反 那么y f g x 为减函数 即 同增异减 4 函数的单调性 从定义上看 是指函数在定义域的某个子区间上的单调性 是局部 的特征 在某个区间上单调 在整个定义域上不一定单调 请做演练巩固提升 1 二 求函数的单调区间 例 2 1 定义在 R R 上的偶函数f x 满足 对任意的x1 x2 0 x1 x2 有 0 则 f x2 f x1 x2 x1 A f 3 f 2 f 1 B f 1 f 2 f 3 C f 2 f 1 f 3 D f 3 f 1 f 2 例 2 2 求函数y x2 4x 3 的单调区间 1 3 log 方法提炼方法提炼 1 求函数的单调区间与确定单调性的方法 1 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 3 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 4 图象法 如果函数是以图象形式给出的 或者函数的图象易作出 可由图象的直观 性写出它的单调区间 2 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定函数定义域 2 将复合函数分解成两个基本初等函数 3 分别确定两基本初等函数的单调性 4 按 同增异减 的原则 确定原函数的单调区间 3 函数的单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式的形式表示 一个函数如 果有多个单调区间应分别写 分开表示 不能用并集符号 连接 也不能用 或 连 接 请做演练巩固提升 4 三 求函数的最值 例 3 1 对a b R R 记 max a b Error 函数f x max x 1 x 2 x R R 的最小值是 例 3 2 已知定义在区间 0 上的函数f x 满足f f x1 f x2 且 x1 x2 当x 1 时 f x 0 1 求f 1 的值 并判断f x 的单调性 2 若f 4 2 求f x 在 5 16 上的最大值 方法提炼方法提炼 1 求函数值域与最值的常用方法 1 先确定函数的单调性 再由单调性求值域或最值 2 图象法 先作出函数在给定区间上的图象 再观察其最高 最低点 求出最值 3 配方法 对于二次函数或可化为二次函数形式的函数 可用配方法求解 3 4 换元法 对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求值域或 最值 5 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后 再用基 本不等式求出最值 6 导数法 先求导 然后求在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出值域或最 值 2 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义 结合题目所给性质和相应 条件 对任意x1 x2在所给区间内比较f x1 f x2 与 0 的大小或与 1 的大小 f x f x1 f x2 0 有时根据需要 需作适当的变形 如x1 x2 或x1 x2 x1 x2等 x1 x2 请做演练巩固提升 2 四 抽象函数的单调性与不等式 例 4 已知定义在 R R 上的函数f x 满足 f x y f x f y 1 当x 0 时 f x 1 1 求f 0 的值 并证明f x 在 R R 上是单调增函数 2 若f 1 1 解关于x的不等式 f x2 2x f 1 x 4 方法提炼方法提炼 1 函数的单调性与不等式有直接的联系 对函数单调性的考查常常与解不等式 求函 数值域 图象等相结合 2 解有关抽象函数不等式问题的步骤 1 确定函数f x 在给定区间上的单调性 或奇偶性 2 将函数不等式转化为f A f B 的形式 3 运用函数的单调性 去掉 函数的抽象符号 f 转化成一般的不等式或不等式组 4 解不等式或不等式组求得解集 提醒 提醒 解此类问题易忽视A B的取值范围 即忽视f x 所在的单调区间的约束 请做演练巩固提升 3 未弄清分段函数的单调性而致误 典例 已知函数f x Error 则满足不等式f 1 x2 f 2x 的x的取值范围是 解析 解析 可结合函数f x Error 的图象以及f 1 x2 f 2x 的条件 得出 1 x2与 2x之间的大小关系 进而求得x的取值范围 也可分 1 x2 0 1 x2 0 讨论求解 方法一 画出f x Error 的图象 由图象可知 若f 1 x2 f 2x 则Error 即Error 得x 1 1 2 方法二 当x 1 时 1 x2 0 2x 0 则f 1 x2 1 f 2x 1 无解 当x 1 时 1 x2 0 则f 0 1 f 2 1 不等式不成立 当 1 x 0 时 1 x2 0 f 1 x2 f 2x 化为 1 x2 2 1 1 恒成立 当 0 x 1 时 1 x2 0 2x 0 原不等式化为 1 x2 2 1 2x 2 1 即 x 1 2 2 0 x 1 2 当x 1 时 1 x2 0 无解 综上知 1 x 1 2 4 答案 答案 1 1 2 答题指导 答题指导 1 在解答本题时有两大误区 1 误将f 1 x2 f 2x 中的x当成分段函数f x Error 中的x 从而造成失误 2 仅考虑函数单调性 由f 1 x2 f 2x 得 1 x2 2x 却忽略了 1 x2 0 而失 误 2 解决分段函数的单调性问题时 还有以下几点 在备考中要高度关注 1 抓住对变量所在区间的讨论 2 保证各段上同增 减 时 要注意上 下段间端点值间的大小关系 3 弄清最终结果取并还是交 1 2012 陕西高考 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 A y x 1 B y x3 C y D y x x 1 x 2 已知函数f x ax logax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值与最小值之和为 loga2 6 则a的值为 A B C 2 D 4 1 2 1 4 3 定义在 R R 上的偶函数f x 在 0 上递增 f 0 则满足f logx 0 的x 1 3 1 8 的取值范围是 4 求函数y x2 2 x 3 的单调区间 5 已知函数f x a 0 x 0 试判断函数f x 在 0 上的单调性 1 a 1 x 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 f x1 f x2 f x1 f x2 逐渐上升的 逐渐下降的 2 增函数 减函数 2 f x M f x0 M f x M f x0 M 基础自测基础自测 1 C 2 B 3 B 解析 解析 f x x 1 2 m 1 在 3 上为单调增函数 且f x 在 3 上的最小值为 1 f 3 1 即 22 m 1 1 m 2 故选 B 4 1 0 0 1 解析 解析 由函数f x 为 R R 上的减函数且f f 1 1 x 得Error 即Error 0 x 1 或 1 x 0 5 2 解析 解析 f x 1 x 1 2 sin x x2 1 2x sin x x2 1 设g x 2x sin x x2 1 则g x g x g x 是奇函数 由奇函数图象的对称性知g x max g x min 0 M m g x 1 max g x 1 min 2 g x max g x min 2 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 解 由 2f 1 f 1 可得 2 2a a 得a 22 2 3 2 证明 证明 任取x1 x2 0 且x1 x2 f x1 f x2 ax1 ax2 a x1 x2 x12 1x22 1x12 1x22 1 a x1 x2 x12 x22 x12 1 x22 1 x1 x2 x1 x2 x12 1 x22 1 a 0 x1 0 x2 x12 1x22 1 0 1 x1 x2 x12 1 x22 1 又 a 1 f x1 f x2 0 f x 在 0 上为单调减函数 3 解 任取 1 x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 x12 1 x22 1 a f x 在区间 1 上单调递增 f x1 f x2 0 又x1 x2 0 那么必须有 a 0 恒成立 x1 x2 x12 1 x22 1 1 x1 x22x12 x12 1 2x22 x22 1 x1 x2 2x12 12x22 1 x1 x2 2x12 1x22 1 6 x1 x2 x12 1 x22 1 2 2 0 a 2 2 例 2 1 A 解析 解析 由题意得 在 0 上 0 故f x 在 f x2 f x1 x2 x1 0 上单调递减 且满足n N N 时 f 2 f 2 3 2 1 0 得f 3 f 2 f 1 故选 A 例 2 2 解 令u x2 4x 3 原函数可以看作y 与u x2 4x 3 的复 1 3 log u 合函数 令u x2 4x 3 0 则x 1 或x 3 函数y x2 4x 3 的定义域为 1 3 1 3 log 又u x2 4x 3 的对称轴为x 2 且开口向上 u x2 4x 3 在 1 上是单调减函数 在 3 上是单调增函数 而函数 y 在 0 上是单调减函数 1 3 log u y x2 4x 3 的单调减区间为 3 单调增区间为 1 1 3 log 例 3 1 解析 解析 本题实质上是一个求分段函数最值的问题 3 2 将函数化为分段函数 利用数形结合法求解 f x Error 当x 时 f x min f 1 2 1 2 3 2 例 3 2 解 1 令x1 x2 0 代入得f 1 f x1 f x1 0 故f 1 0 任取x1 x2 0 且x1 x2 则 1 x1 x2 由于当x 1 时 f x 0 所以f 0 x1 x2 即f x1 f x2 0 因此f x1 f x2 所以函数f x 在区间 0 上是单调递增函数 2 f x 在 0 上是单调递增函数 f x 在 5 16 上的最大值为f 16 由f f x1 f x2 x1 x2 得f f 16 f 4 16 4 而f 4 2 所以f 16 4 f x 在 5 16 上的最大值为 4 7 例 4 解 1 令x y 0 得f 0 1 在 R R 上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 x2 1 又f x1 f x1 x2 x2 f x1 x2 f x2 1 f x2 所以 函数f x 在 R R 上是增函数 2 由f 1 1 得f 2 3 f 3 5 由f x2 2x f 1 x 4 得f x2 x 1 f 3 又函数f x 在 R R 上是增函数 故 x2 x 1 3 解之 得x 2 或x 1 故原不等式的解集为 x x 2 或x 1 演练巩固提升演练巩固提升 1 D 解析 解析 选项 A 中的函数是非奇非偶函数 选项 B 中的函数是减函数 选项 C 中 的函数在每个单调区间上都是减函数 选项 D 中的原函数可化为y Error 作出其图象如下 图所示 由图象可知该函数既是奇函数又是增函数 2 C 解析 解析 由题意可知函数f x ax logax在 1 2 上是单调函数 所以其最大值 与最小值之和为f 1 f 2 a loga1 a2 loga2 loga2 6 整理可得a2 a 6 0 解得a 2 或a 3 舍去 故a 2 选 C 3 2 解析 解析 由f x