【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第一章 第3节集合的基本运算(第2课时)目标导学 北师大版必修1

1 3 23 2 全集与补集全集与补集 1 了解全集 补集的概念 以及它们的表示方法 2 在已知全集的情况下 会求它的某一子集的补集 3 能进行集合的交集 并集和补集的综合运算 1 全集 1 定义 一般地 如果一个集合含有我们所要研究的集合的全部 那么就 称这个集合为全集 2 符号表示 全集通常记作 3 图示 用 Venn 图表示全集U 如图所示 2 补集 1 定义 设U是全集 A是U的一个子集 即AU 则由U中 的元素 组成的集合 叫作U中子集A的补集 或余集 2 符号表示 U中子集A的补集记作 即 A A U A U U A B A B 3 图示 用 Venn 图表示 如图所示 集合平时很常用 数学概念有不同 理解集合并不难 三条性质是关键 元素确定和互异 还有无序要牢记 集合不论空不空 总有子集在其中 集合用图很方便 子交并补很明显 做一做 1 1 设全集U 小于 10 的自然数 集合 A 小于 10 的正偶数 B 小于 10 的正质数 求 做一做 1 2 已知集合U 1 2 3 4 5 A 2 3 4 B 4 5 则A 答案 答案 1 1 元素 2 U 2 1 所有不属于A 2 x x U 且xA 2 做一做 1 1 解 解 U 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 2 4 6 8 B 2 3 5 7 0 1 3 5 7 9 0 1 4 6 8 9 做一做 1 2 2 3 由题意知 1 2 3 又A 2 3 4 所以A 2 3 1 为什么AC与BC不一定相等 剖析 剖析 依据补集的含义 符号AC和BC都表示集合C的补集 但是AC表示集合C在全 集A中的补集 而BC表示集合C在全集B中的补集 由于集合A和B不一定相等 所以 AC与 BC不一定相等 因此 求集合的补集时 首先要明确全集 否则容易出错 如集合A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 0 1 2 3 4 C 1 3 4 则 AC 2 5 6 7 8 9 BC 0 2 很明显AC BC 2 全集一定包含任何元素吗 集合A和集合A的补集会有公共元素吗 剖析 剖析 全集仅是包含我们所研究问题所涉及的全部元素 而非任何元素 集合A和A 的补集无公共元素 因为补集的定义即为A以外的元素组成的集合 题型一 求补集的简单运算 例 1 已知A 0 1 2 3 2 1 3 2 0 用列举法 写出集合B 分析 分析 先结合条件 利用补集性质求出全集U 再由补集定义求集合B 反思 反思 在进行补集的简单运算时 应首先明确全集 而利用A U求全集U是利 用定义解题的常规性思维模式 故进行补集运算时 要紧扣补集定义及补集的性质来解 题 题型二 交 并 补的综合运算 例 2 已知全集U x x 4 集合A x 2 x 3 B x 3 x 3 求 A B A B B 分析 分析 由于U A B均为无限集 所求问题是集合间的交 并 补运算 故考虑借助 数轴求解 反思 反思 求解与不等式表示的数集间的集合运算时 一般要借助于数轴求解 此方法的 特点是简单直观 同时要注意各个端点的画法及取到与否 题型三 Venn 图在解题中的应用 例 3 设全集U x x 20 的质数 A 3 5 B 7 19 2 17 求集合A B 分析 分析 利用列举法可求得集合U 然后利用 Venn 图处理 反思 反思 有些集合问题比较抽象 解题时若借助 Venn 图进行分析或利用数轴 图像采取 数形结合的思想方法 往往可将问题直观化 形象化 本题在确定 11 13 的归属问题时 结合 Venn 图可把全集U划分为如下四部分 全集U中的任一元素必在且只在下图的四部分 之一中 由题意可知 11 13 不在前三部分内 必然在A B内 3 A B A B 或 A B 题型四 补集的综合应用 例 4 已知集合A x 2a 2 x a B x 1 x 2 且A R RB 求a的取值 范围 分析 分析 先求 R RB分情况讨论由A R RB求a 反思 反思 解答本题的关键是利用A R RB 对A 与A 进行分类讨论 转化为等价 不等式 组 求解 同时要注意区域端点的问题 答案 答案 例 1 解 解 A 0 1 2 3 2 1 U A 3 2 1 0 1 2 又 3 2 0 B 1 1 2 例 2 解 解 把全集U和集合A B在数轴上表示如图所示 由图可知 x x 2 或 3 x 4 A B x 2 x 3 U A B x x 2 或 3 x 4 B x 3 x 2 或x 3 例 3 解 解 因为U 2 3 5 7 11 13 17 19 由题意画出 Venn 图 如图所示 故 集合A 3 5 11 13 B 7 11 13 19 例 4 解 解 R RB x x 1 或x 2 A 分A 和A 两种情况讨论 1 若A 此时有 2a 2 a a 2 2 若A 则有Error 或Error a 1 综上所述 a 1 或a 2 1 设集合U x N N 0 x 8 S 1 2 4 5 T 3 5 7 则S 等于 A 1 2 4 B 1 2 3 4 5 7 C 1 2 D 1 2 4 5 6 8 4 2 已知集合U R R B x x 2 则等于 A x x 2 B x x 2 C x x 2 D x x 2 3 已知全集U 1 2 3 4 5 M 1 2 N 2 5 则如图阴影部分表示的集合是 A 3 4 5 B 1 3 4 C 1 2 5 D 3 4 4 已知全集U 1 0 1 2 3 集合M x x为不大于 3 的自然数 则 M 5 已知全集U 集合A 1 3 5 7 9 2 4 6 8 1 4 6 8 9 求集合 B 答案 答案 1 A U 1 2 3 4 5 6 7 8 则有 UT 1