【走向高考】2013年高考数学总复习 9-8 用向量方法求角与距离(理)但因为测试 新人教B版

用心 爱心 专心1 走向高考走向高考 2013 2013 年高考数学总复习年高考数学总复习 9 89 8 用向量方法求角与用向量方法求角与 距离距离 理理 但因为测试但因为测试 新人教新人教 B B 版版 1 2011 福州模拟 已知 1 5 2 3 1 z 若 AB BC x 1 y 3 且BP 平面ABC 则实数x y z分别为 AB BC BP A 4 B 4 33 7 15 7 40 7 15 7 C 2 4 D 4 15 40 7 40 7 答案 B 解析 3 5 2z 0 z 4 AB BC AB BC 平面ABC BP BP AB BP BC Error Error 故选 B 2 在直三棱柱A1B1C1 ABC中 BCA 90 点D1 F1分别是A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则BD1与AF1所成的角的余弦值是 A B 30 10 1 2 C D 30 15 15 10 答案 A 解析 建立如下图所示的坐标系 设BC 1 则A 1 0 0 F1 B 0 1 0 D1 1 1 2 0 1 1 2 1 2 用心 爱心 专心2 即 AF1 1 2 0 1 BD1 1 2 1 2 1 cos AF1 BD1 AF1 BD1 AF1 BD1 30 10 3 已知正方体ABCD A1B1C1D1 则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是 A B 2 4 2 3 C D 3 3 3 2 答案 C 解析 如上图 以D为坐标原点 直线DA DC DD1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐 标系 设正方体棱长为 1 则D 0 0 0 A1 1 0 1 B 1 1 0 C1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 DA1 DB BC1 设平面A1BD的一个法向量为n x y z 用心 爱心 专心3 则Error Error Error 令x 1 得 n 1 1 1 设直线BC1与平面A1BD所成角为 则 sin cos n BC1 BC1 n BC1 n 2 2 3 6 3 cos 1 sin2 3 3 4 在空间直角坐标O xyz中 平面OAB的一个法向量为n 2 2 1 已知点 P 1 3 2 则点P到平面OAB的距离d等于 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 B 解析 由条件知 O在平面OAB内 1 3 2 OP 点P到平面OAB的距离 d 2 OP n n 2 6 2 22 2 2 12 5 2011 皖南八校联考 如下图 平面 平面 A B AB与两平面 所成的角分别为和 过A B两点分别作两平面交线的垂线 垂足为 4 6 A B 若AB 12 则A B 的长为 A 4 B 6 C 8 D 9 答案 B 用心 爱心 专心4 解析 由条件知 ABA BAB 6 4 A AB 3 AB 12 AA 6 BB 6 2 2 2 A B A A AB BB 2 2 2 2 2 2 A A AB BB A A AB AB BB A A BB 36 144 72 2 6 12 cos 2 12 6 2 32 cos 0 36 A B 6 3 4 A B 6 2011 广东省江门模拟 如下图 ABCD A1B1C1D1是棱长为 6 的正方体 E F分别 是棱AB BC上的动点 且AE BF 当A1 E F C1四点共面时 平面A1DE与平面C1DF所 成二面角的余弦值为 A B 3 2 1 2 C D 1 5 2 6 5 答案 B 解析 以D为原点 DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐 标系 则A1 6 0 6 E 6 3 0 F 3 6 0 设平面A1DE的法向量为n1 a b c 依题 意得Error 令a 1 则c 1 b 2 所以n1 1 2 1 同理得平面C1DF的一个法向 量为n2 2 1 1 由题图知 平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为 n1 n2 n1 n2 1 2 用心 爱心 专心5 7 2011 浙江丽水模拟 如下图所示 PD垂直于正方形ABCD所在平面 AB 2 E 为PB的中点 cos 若以DA DC DP所在直线分别为x y z轴建立空间 DP AE 3 3 直角坐标系 则点E的坐标为 答案 1 1 1 解析 设PD a 则由题意知A 2 0 0 B 2 2 0 P 0 0 a E 1 1 a 2 0 0 a 1 1 DP AE a 2 cos a 2 DP AE 3 3 a2 2 a 2 a2 4 3 3 点E的坐标为 1 1 1 8 2011 海淀检测 若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为 1 AB1与底面ABCD成 60 角 则A1C1到底面ABCD的距离为 答案 3 解析 设A1C1到底面的距离为a a 0 以D为原点 的方向分别为x轴 DA DC DD1 y轴 z轴的正方向建立如下图空间直角坐标系 则A 1 0 0 B1 1 1 a 用心 爱心 专心6 0 1 a AB1 又平面ABCD的一个法向量n 0 0 1 由条件知 sin60 cos n AB1 AB1 n AB1 n a a a2 1 13 9 已知三棱锥底面是边长为 1 的等边三角形 侧棱长均为 2 则侧棱与底面所成角的 正弦值为 答案 33 6 解析 设正三角形ABC的中心为O 过O作直线l BC 分别以直线l AO PO为x 轴 y轴 z轴建立如下图空间直角坐标系 则底面ABC的一个法向量n 0 0 1 用心 爱心 专心7 由条件知A 0 0 设P 0 0 a a 0 3 3 由 2 得 a PA 33 3 设侧棱与底面所成角为 则 sin cos n AP n AP n AP 33 3 1 2 33 6 点评 由上述解答过程可见 本题不如用综合几何方法简便 事实上图中 PAO为 直线PA与底面ABC所成的角 cos PAO sin PAO 故在解题中 要注 AO PA 3 6 33 6 意依据所给条件灵活选取解法 10 2010 河北邯郸市模考 如下图所示 在正三棱柱ABC A1B1C1中 底面边长为 a 侧棱长为a D是棱A1C1的中点 2 2 1 求证 BC1 平面AB1D 2 求二面角A1 AB1 D的大小 3 求点C1到平面AB1D的距离 解析 1 连结A1B与AB1交于E 则E为A1B的中点 D为A1C1的中点 DE为 A1BC1的中位线 BC1 DE 又DE 平面AB1D BC1 平面AB1D BC1 平面AB1D 用心 爱心 专心8 2 解法 1 过D作DF A1B1于F 由正三棱柱的性质可知 DF 平面ABB1A1 连结 EF DE 在正 A1B1C1中 B1D A1B1 a 3 2 3 2 由直角三角形AA1D中 AD a AA2 1 A1D2 3 2 AD B1D DE AB1 由三垂线定理的逆定理可得EF AB1 则 DEF为二面角A1 AB1 D的平面角 又DF a B1FE B1AA1 3 4 EF a DEF EF AA1 B1E A1B1 3 4 4 故所求二面角A1 AB1 D的大小为 4 解法 2 向量法 建立如图所示空间直角坐标系 则A 0 a 0 B1 0 a a C1 a 0 a 1 2 1 2 2 2 3 2 2 2 A1 0 a a D a a a 1 2 2 2 3 4 1 4 2 2 用心 爱心 专心9 0 a a a a 0 AB1 2 2 B1D 3 4 3 4 设n x y z 是平面AB1D的一个法向量 则可得 Error 所以Error 即Error 取y 1 可得n 1 32 又平面ABB1A1的一个法向量n1 a 0 0 设n与n1的夹角是 则 OC 3 2 cos n n1 n n1 2 2 又知二面角A1 AB1 D是锐角 所以二面角A1 AB1 D的大小是 4 3 解法 1 设点C1到平面AB1D的距离为h 因AD2 DB AB 所以AD DB1 故S 2 12 1 ADB1 2 a2 而S C1B1D S A1B1C1 a2 1 2 3 2 a 3 8 1 2 3 8 由VC1 AB1D VA C1B1D S AB1D h 1 3 S C1B1D AA1 h a 1 3 6 6 解法 2 由 2 知平面AB1D的一个法向量n 1 32 a a a AC1 3 2 1 2 2 2 d a n AC1 n a 6 6 6 用心 爱心 专心10 即C1到平面AB1D的距离为a 6 6 11 2010 新乡市模考 如下图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 O是底面A1B1C1D1 的中心 则点O到平面ABC1D1的距离为 A B 1 2 2 4 C D 2 2 3 2 答案 B 解析 以D为原点 DA DC DD1为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则 A 1 0 0 B 1 1 0 D1 0 0 1 C1 0 1 1 O 设平面ABCD的法向量 1 2 1 2 1 n x y 1 则 Error Error Error n 1 0 1 又 OD1 1 2 1 2 0 O到平面ABC1D1的距离d n OD1 n 1 2 2 2 4 点评 1 建立坐标系可以有不同的方案 如 以A为原点 直线AB AD AA1分别为x轴 y轴 z建立空间直角坐标系 则O A 0 0 0 B 1 0 0 D1 0 1 1 1 2 1 2 1 设平面ABC1D1的法向量n x y 1 则 Error Error n 0 1 1 用心 爱心 专心11 O到平面ABC1D1的距离h AO n n 2 4 2 也可以不用空间向量求解 取B1C1的中点M 连结B1C交BC1于O 取O C1的中点N 连结MN 则MN BC1 又 在正方体ABCD A1B1C1D1中 OM平行于平面ABC1D1 则O到平面ABC1D1的距离转化为M到 平面ABC1D1的距离 即MN 故选 B 2 4 12 2011 咸阳模拟 正四棱锥S ABCD中 O为顶点在底面上的射影 P为侧棱SD 的中点 且SO OD 则直线BC与平面PAC的夹角的大小为 答案 30 解析 由条件知AC BD AC与BD交点为O 以O为原点 射线OC 射线OD 射线 OS分别为x轴 y轴 z轴正半轴建立空间直角坐标系 设SO OD 则BC 2 2 A 0 0 C 0 0 D 0 0 S 0 0 B 0 0 P 0 22222 2 2 2 2 0 2 0 0 BC 22 AC 2 AP 2 2 2 2 2 设平面PAC的一个法向量n x y z 则 Error Error Error 取n 0 1 1 设直线BC与平面PAC成的角为 则 用心 爱心 专心12 sin cos n BC n BC n BC 2 2 2 1 2 30 13 2011 洛阳联考 如下图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 四边形 ABCD是矩形 E F分别是AB PD的中点 若PA AD 3 CD 6 1 求证 AF 平面PCE 2 求点F到平面PCE的距离 3 求直线FC与平面PCE所成角的正弦值 解析 如上图所示建立空间直角坐标系A xyz A 0 0 0 P 0 0 3 D 0 3 0 E 0 0 F 0 C 3 0 6 2 3 2 3 26 1 取PC的中点G 连接EG 则G 6 2 3 2 3 2 0 0 AF 3 2 3 2 EG 3 2 3 2 AF EG 即AF EG 用心 爱心 专心13 又AF 平面PCE EG 平面PCE AF 平面PCE 2 设平面PCE的法向量为n x y z 0 3 3 0 EP 6 2 EC 6 2 Error 即Error 取y 1 得n 1 1 6 又 0 PF 3 2 3 2 故点F到平面PCE的距离为 d PF n n 3 2 3 2 2 2 3 2 4 3 FC 6 3 2 3 2 设FC与平面PCE所成角为 sin cos n FC FC n FC n 3 21 2 2 2 21 14 直线FC与平面PCE所成角的正弦值为 21 14 14 2011 北京西城二模 如下图 已知菱形ABCD的边长为 6 BAD 60 AC BD O 将菱形ABCD沿对角线AC折起 使BD 3 得到三棱锥B ACD 2 1 若点M是棱BC的中点 求证 OM 平面ABD 2 求二面角A BD O的余弦值 3 设点N是线段BD上一个动点 试确定点N的位置 使得CN 4 并证明你的结 2 论 解析 1 证明 因为点O是菱形ABCD的对角线的交点 所以O是AC的中点 又点 M是棱BC的中点 所以OM是 ABC的中位线 OM AB 因为OM 平面ABD AB 平面ABD 所以OM 平面ABD 用心 爱心 专心14 2 由题意知 OB OD 3 因为BD 3 2 所以 BOD 90 OB OD 又因为四边形ABCD是菱形 所以OB AC OD AC 建立空间直角坐标系O xyz 如下图所示 则A 3 0 0 D 0 3 0 B 0 0 3 3 所以 3 0 3 3 3 0 AB 3 AD 3 设平面ABD的法向量为n x y z 则有Error 即Error 令x 1 则y z 所以n 1 3333 因为AC OB AC OD 所以AC 平面BOD 平面BOD的法向量与AC平行 所以可得平面BOD的一个法向量为n0 1 0 0 cos n0 n n0 n n0 n 1 1 7 7 7 因为二面角A BD O是锐角 所以二面角A BD O的余弦值为 7 7 3 因为N是线段BD上一个动点 设N x1 y1 z1 则 x1 y1 z1 3 0 3 3 BN BD 所以x1 0 y1 3 z1 3 3 则N 0 3 3 3 3 3 3 3 CN 3 由CN 4得 4 227 9 2 3 3 22 即 9 2 9 2 0 解得 或 1 3 2 3 用心 爱心 专心15 所以N点的坐标为 0 2 1 或 0 1 2 也可以答N是线段BD的三等分点 2或 2 BN ND BN ND 15 2011 北京理 16 如下图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD 是菱形 AB 2 BAD 60 1 求证 BD 平面PAC 2 若PA AB 求PB与AC所成角的余弦值 3 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 解析 1 因为四边形ABCD是菱形 所以AC BD 又因为PA 平面ABCD 所以PA BD 因为PA AC A 所以BD 平面PAC 2 设AC BD O 因为 BAD 60 PA AB 2 所以BO 1 AO CO 3 如上图 以O为坐标原点 建立空间直角坐标系O xyz 则P 0 2 3 A 0 0 B 1 0 0 3 用心 爱心 专心16 C 0 0 3 所以 1 2 PB 3 0 2 0 AC 3 设PB与AC所成角为 则 cos PB AC PB AC 6 2 2 2 3 6 4 3 由 2 知 1 0 BC 3 设P 0 t t 0 则 1 t 3 BP 3 设平面PBC的法向量m x y z 则 m 0 m 0 BC BP 所以Error 令y 则x 3 z 所以m 3 3 6 t3 6 t 同理 平面PDC的法向量n 3 3 6 t 因为平面PBC 平面PDC 所以m n 0 即 6 0 解得t 36 t26 所以PA 6 1 已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则AB1与侧面ACC1A1所成角 的正弦值等于 A B 6 4 10 4 C D 2 2 3 2 答案 A 解析 解法 1 取A1C1中点E 连结AE B1E 由题易知B1E 平面ACC1A1 则 B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角 用心 爱心 专心17 令正三棱柱侧棱长与底面边长为 1 则 sin B1AE B1E