【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 5.4正、余弦定理及其应用课时提能训练 理 新人教A版

1 全程复习方略全程复习方略 广西专用 广西专用 20132013 版高中数学版高中数学 5 45 4 正 余弦定理及其应用课正 余弦定理及其应用课 时提能训练时提能训练 理理 新人教新人教 A A 版版 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 2012 南宁模拟 在 ABC 中 a b 10c 2 sinA sinB 10sinC A 60 则 a A B 2 C 4 D 不确定 33 2 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边长 若 0 则 ABC a2 b2 c2 2ab A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 是锐角或钝角三角形 3 若三角形三边长的比为 5 7 8 则它的最大角和最小角的和是 A 90 B 120 C 135 D 150 4 2012 玉林模拟 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 a2 b2 bc sinC 2sinB 则 A 33 A 30 B 60 C 120 D 150 5 预测题 某人在 C 点测得某塔在南偏西 80 塔顶仰角为 45 此人沿南偏东 40 方向前进 10 米到 D 测得塔顶 A 的仰角为 30 则塔高为 A 15 米 B 5 米 C 10 米 D 12 米 6 一船向正北方向匀速航行 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行 半小时后 看见一灯塔在船的南偏西 60 方向 另一灯塔在船的南偏西 75 方向 则这只船的速度是每 小时 A 5 海里 B 5海里 C 10 海里 D 10海里 33 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6分 共分 共 1818 分分 7 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 sinA sinB sinC 成等比数列 且 c 2a 则 cosB 8 在 ABC 中 A 30 AB 2 BC 1 则 ABC 的面积等于 9 2012 桂林模拟 如图 在四边形 ABCD 中 已知 AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 BCD 135 则 BC 的长为 2 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 2011 安徽高考 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 所对的边长 a b 1 2cos B C 0 求边 BC 上的高 32 11 易错题 据气象台预报 距 S 岛正东方向 300 km 的 A 处有一台风中心形成 并以每小时 30 km 的速 度向北偏西 30 角的方向移动 在距台风中心 270 km 及以内的地区将受到台风的影响 问 S 岛是否受其影响 若受到影响 从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响 持续时间多久 说明理由 探究创新 16 分 已知函数 f x cos 2x sin2x 3 1 求函数 f x 的单调递减区间及最小正周期 2 设锐角三角形 ABC 的三内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 c cosB f 求 b 6 1 3 C 2 1 4 答案解析答案解析 1 解题指南 利用正弦定理得到的值 再代入 2R 得到 a 的值 a sinA a sinA 解析 选 A 由已知及正弦定理得 2 a sinA a 2sinA 2sin60 故选 A 3 2 解析 选 C 由已知及余弦定理得 cosC 0 C 是钝角 故选 C 3 解析 选 B 设三边长为 5x 7x 8x 最大的角为 C 最小的角为 A 由余弦定理得 cosB 5x 2 8x 2 7x 2 2 5x 8x 1 2 所以 B 60 所以 A C 180 60 120 4 解题指南 由题目中已知等式的形式 利用正 余弦定理求解 解析 选A 由 及 sinC 2sinB b sinB c sinC3 得 c 2b 3 cosA b2 c2 a2 2bc 3bc 2 3bc 2bc 3 2 A 为 ABC 的内角 A 30 3 5 解题指南 作出图形确定三角形 找到要用的角度和边长 利用余弦定理求得 解析 选 C 如图 设塔高为 h 在 Rt AOC 中 ACO 45 则 OC OA h 在 Rt AOD 中 ADO 30 则 OD h 3 在 OCD 中 OCD 120 CD 10 由余弦定理得 OD2 OC2 CD2 2OC CD cosOCD 即 h 2 h2 102 2h 10 cos120 3 h2 5h 50 0 解得 h 10 或 h 5 舍去 6 解析 选 C 如图 依题意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 从而 CD CA 10 海里 在直角三角形 ABC 中 可得 AB 5 海里 于是这只船的速度是 10 海里 小时 5 0 5 7 解析 sinA sinB sinC 成等比数列 sin2B sinA sinC 由正弦定理得 b2 ac 由余弦定理得 cosB a2 c2 b2 2ac a2 c2 ac 2ac a2 4a2 2a2 4a2 3 4 4 答案 3 4 8 解析 由余弦定理得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos30 AC2 2AC 3 0 AC 33 S ABC AB ACsin30 2 1 2 1 23 1 2 3 2 答案 3 2 方法技巧 正 余弦定理求解面积问题 1 当给出三角形两个角的三角函数值及其中一个角所对的边长 求三角形的面积时 主要利用正弦定理 余弦定理和三角形面积公式 在求解过程中往往利用三角公式进行恒等变形 2 当以向量为背景考查正 余弦定理的应用时 关键是把三角形的面积用向量表示出来 用正余弦定理 求出边长 9 解析 在 ABD 中 设 BD x 则 BA2 BD2 AD2 2BD AD cosBDA 即 142 x2 102 2 10 x cos60 整理得 x2 10 x 96 0 解之得 x1 16 x2 6 舍去 由正弦定理得 BC sinCDB BD sinBCD BC sin30 8 16 sin135 2 答案 8 2 10 解析 由 1 2cos B C 0 和 B C A 得 1 2cosA 0 cosA sinA 1 2 3 2 再由正弦定理 得 sinB bsinA a 2 2 由 b a 知 B A 所以 B 不是最大角 B 从而 cosB 21 sin2B 2 2 由上述结果知 sinC sin A B 2 2 3 2 1 2 设边 BC 上的高为 h 则有 h bsinC 3 1 2 变式备选 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 所对的边长 若 a b c sinA sinB sinC 5 3asinB 求 C 的大小 解析 由题意可知 a b c a b c 3ab 于是有 a2 2ab b2 c2 3ab 即 a2 b2 c2 2ab 1 2 所以 cosC 所以 C 60 1 2 11 解题指南 设 B 为台风中心 则 B 为 AB 边上的动点 SB 也随之变化 S 岛是否受台风影响可转化为 SB 270 这一不等式是否有解的判断 则需表示 SB 可设台风中心经过 t 小时到达 B 点 则在 ABS 中 由余弦定理可求 SB 解析 如图 设台风中心经过 t 小时到达 B 点 由题意 SAB 90 30 60 在 SAB 中 SA 300 AB 30t SAB 60 由余弦定理得 SB2 SA2 AB2 2SA AB cosSAB 3002 30t 2 2 300 30tcos60 若 S 岛受到台风影响 则应满足条件 SB 270 即 SB2 2702 化简整理得 t2 10t 19 0 解之得 5 t 5 66 所以从现在起 经过 5 小时 S 岛开始受到影响 5 小时后影响结束 持续时间 5 666 5 2 小时 66 所以 S 岛会受到台风影响 从现在起经过 5 小时开始受到台风影响 且持续时间为 2小时 66 探究创新 解析 1 f x cos 2x sin2x 3 6 cos2xcos sin2xsin 3 3 1 cos2x 2 cos2x sin2x cos2x 1 2 3 2 1 2 1 2 sin2x 最小正周期 T 3 2 1 2 2 2 令 2k 2x 2k k Z 2 2