【解析版】河南省许昌市长葛三高2013届高三数学上学期期中试题 理 新人教A版

1 河南省许昌市长葛三高河南省许昌市长葛三高 20132013 届届高三 上 期中数学试卷 理科 高三 上 期中数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的 代号填在题后的括号内 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 5 分 2012 黑龙江 已知集合 A x x2 x 2 0 B x 1 x 1 则 A A BB B AC A BD A B 考点 集合的包含关系判断及应用 专题 计算题 分析 先求出集合 A 然后根据集合之间的关系可判断 解答 解 由题意可得 A x 1 x 2 B x 1 x 1 在集合 B 中的元素都属于集合 A 但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中 例如 x B A 故选 B 点评 本题主要考查了集合之间关系的判断 属于基础试题 2 5 分 2005 安徽 函数 f x x3 ax2 3x 9 已知 f x 在 x 3 时取得极值 则 a A 2B 3C 4D 5 考点 利用导数研究函数的极值 专题 计算题 分析 因为 f x 在 x 3 是取极值 则求出 f x 得到 f 3 0 解出求出 a 即 可 解答 解 f x 3x2 2ax 3 又 f x 在 x 3 时取得极值 f 3 30 6a 0 则 a 5 故选 D 点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力 2 3 5 分 2009 辽宁 已知偶函数 f x 在区间 0 单调增加 则满足 f 2x 1 的 x 取值范围是 A B C D 考点 奇偶性与单调性的综合 专题 压轴题 分析 本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合知识 并考查了如何解不等式 解答 解析 f x 是偶函数 故 f x f x f 2x 1 f 2x 1 即 f 2x 1 f 又 f x 在区间 0 单调增加 得 2x 1 解得 x 故选 A 点评 本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式 在这里要注意本题与下面这道题 的区别 已知函数 f x 在区间 0 单调增加 则满足 f 2x 1 的 x 取值范围是 4 5 分 2012 陕西 设函数 f x xex 则 A x 1 为 f x 的极大值点 B x 1 为 f x 的极小值点 C x 1 为 f x 的极大值点 D x 1 为 f x 的极小值点 考点 利用导数研究函数的极值 专题 计算题 分析 由题意 可先求出 f x x 1 ex 利用导数研究出函数的单调性 即可得出 x 1 为 f x 的极小值点 解答 解 由于 f x xex 可得 f x x 1 ex 令 f x x 1 ex 0 可得 x 1 令 f x x 1 ex 0 可得 x 1 即函数在 1 上是增函数 令 f x x 1 ex 0 可得 x 1 即函数在 1 上是减函数 所以 x 1 为 f x 的极小值点 故选 D 点评 本题考查利用导数研究函数的极值 解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步 骤 本题是基础题 3 5 5 分 2006 天津 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数 f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 A 1B 2C 3D 4 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 压轴题 分析 根据当 f x 0 时函数 f x 单调递增 f x 0 时 f x 单调递减 可从 f x 的图象可知 f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 然后得到答案 解答 解 从 f x 的图象可知 f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 根据极值点的定义可知在 a b 内只有一个极小值点 故选 A 点评 本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系 属基础题 6 5 分 2005 浙江 设 f x 则 f f A B C D 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的值 分析 判断自变量的绝对值与 1 的大小 确定应代入的解析式 先求 f 再求 f f 由内而外 解答 解 f 即 f f 故选 B 4 点评 本题考查分段函数的求值问题 属基本题 7 5 分 已知命题 p x R 9x2 6x 1 0 命题 q x R sinx cosx 则 A p 是假命题 B p q 是真命题 C q 是真命题 D p q 是真命题 考点 复合命题的真假 专题 函数的性质及应用 分析 根据二次函数的图象和性质 可以判断命题 p 的真假 根据三角函数的图象和性质 可以判断命题 q 的真假 进而根据复合命题真假判断的真值表 可得正确答案 解答 解 9x2 6x 1 3x 1 2 0 当 x 时 取等号 故命题 p x R 9x2 6x 1 0 为假命题 故 p 是真命题 故 A 错误 当 x 时 sinx cosx 故命题 q x R sinx cosx 是真命题 故 p q 是真命题 故 B 正确 q 是假命题 故 C 错误 p q 是假命题 故 D 错误 故选 B 点评 本题考查的知识点是复合命题的真假 其中根据二次函数的图象和性质 三角函数 的图象和性质 判断命题 p 和命题 q 的真假 是解答的关键 8 5 分 2012 黑龙江 复数 z 的共轭复数是 A 2 iB 2 iC 1 iD 1 i 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 专题 计算题 分析 利用复数的分子 分母同乘分母的共轭复数 把复数化为 a bi 的形式 然后求法共 轭复数即可 解答 解 复数 z 1 i 所以复数的共轭复数为 1 i 故选 D 5 点评 本题考查复数的代数形式的混合运算 复数的基本概念 考查计算能力 9 5 分 2012 湖北 已知二次函数 y f x 的图象如图所示 则它与 X 轴所围图形的 面积为 A B C D 考点 定积分在求面积中的应用 专题 计算题 分析 先根据函数的图象求出函数的解析式 然后利用定积分表示所求面积 最后根据定 积分运算法则求出所求 解答 解 根据函数的图象可知二次函数 y f x 图象过点 1 0 1 0 0 1 从而可知二次函数 y f x x2 1 它与 X 轴所围图形的面积为 1 1 故选 B 点评 本题主要考查了定积分在求面积中的应用 解题的关键是求出被积函数 属于基础 题 10 5 分 设函数 f x 在 R 上可导 其导函数为 f x 且函数 y 1 x f x 的图象如图所示 则函数 f x 有下列结论中一定成立的是 A 有极大值 f 2 和极小值 f 1 B 有极大值 f 2 和极小值 f 1 C 有极大值 f 2 和极小值 f 2 D f x 有极大值 f 2 和极小值 f 2 6 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 导数的概念及应用 分析 结合图象可得 f 2 0 f 2 0 根据图象判断 2 2 左右两侧导数的符 号即可得到正确答案 解答 解 由 y 1 x f x 的图象知 f 2 0 f 2 0 且当 x 2 时 f x 0 当 2 x 1 时 f x 0 故 f x 在 x 2 处取得极大值 f 2 当 1 x 2 时 f x 0 当 x 2 时 f x 0 故 f x 在 x 2 处取得极小值 f 2 故选 D 点评 本题考查函数在某点取得极值的条件 考查数形结合思想 考查学生识图用图能 力 11 5 分 2012 福建 已知 f x x3 6x2 9x abc a b c 且 f a f b f c 0 现给出如下结论 f 0 f 1 0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 f 0 f 3 0 其中正确结论的序号是 A B C D 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 综合题 压轴题 分析 根据 f x x3 6x2 9x abc a b c 且 f a f b f c 0 确定函数的 极值点及 a b c 的大小关系 由此可得结论 解答 解 求导函数可得 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 a b c 且 f a f b f c 0 a 1 b 3 c 设 f x x a x b x c x3 a b c x2 ab ac bc x abc f x x3 6x2 9x abc a b c 6 ab ac bc 9 b c 6 a bc 9 a 6 a a2 4a 0 0 a 4 0 a 1 b 3 c 7 f 0 0 f 1 0 f 3 0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 故选 C 点评 本题考查函数的零点 极值点 考查解不等式 综合性强 确定 a b c 的大小关 系是关键 12 5 分 2012 辽宁 若 x 0 则下列不等式恒成立的是 A ex 1 x x2B C D 考点 导数在最大值 最小值问题中的应用 专题 综合题 压轴题 分析 对于 A 取 x 3 e3 1 3 32 对于 B 令 x 1 计算可得结论 对于 C 构造函数 h x sinx x h x cosx 1 0 从而可得函数在 0 上单调增 故成立 对于 D 取 x 3 解答 解 对于 A 取 x 3 e3 1 3 32 所以不等式不恒成立 对于 B x 1 时 左边 右边 0 75 不等式成立 x 时 左边 右边 左边大于右边 所以 x 0 不等式不恒成立 对于 C 构造函数 h x sinx x h x cosx 1 0 h x 在 0 上单调增 h x h 0 0 函数在 0 上单调增 h x 0 对于 D 取 x 3 所以不等式不恒成立 故选 C 点评 本题考查大小比较 考查构造函数 考查导数知识的运用 确定函数的单调性是解 题的关键 8 二 填空题 请把答案填在题中横线上 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 13 4 分 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 由三视图可知 原几何体是由上下两部分组成 其中下面是一个半径为 1 的半球体 上面是一个底与半球的大圆重合 高长为 2 的圆锥 据此可计算出答案 解答 解 由三视图可知 原几何体是由上下两部分组成 下面是一个半径为 1 的半球体 上面是一个底面与半球的大圆重合 高长为 2 的圆 锥 则该几何体的体积是 V 13 12 2 故答案为 点评 本题主要考查了由三视图求面积 体积 由三视图正确恢复原几何体是解决问题的 关键 14 4 分 2012 江西 计算定积分 考点 定积分 专题 计算题 分析 求出被积函数的原函数 再计算定积分的值 解答 解 由题意 定积分 9 故答案为 点评 本题考查定积分的计算 确定被积函数的原函数是关键 15 4 分 已知函数 f x 在 x 1 处可导 且 则 f 1 考点 极限及其运算 专题 计算题 分析 变形使之符合导数的定义 f 1 求出即可 解答 解 函数 f x 在 x 1 处可导 且 则 故答案为 点评 充分理解导数的定义式是解题的关键 16 4 分 2011 浙江 若实数 x y 满足 x2 y2 xy 1 则 x y 的最大值是 考点 基本不等式 专题 计算题 压轴题 分析 利用基本不等式 根据 xy 把题设等式整理成关于 x y 的不等式 求得 其范围 则 x y 的最大值可得 10 解答 解 x2 y2 xy 1 x y 2 1 xy xy x y 2 1 整理求得 x y x y 的最大值是 故答案为 点评 本题主要考查了基本不等式 应熟练掌握如均值不等式 柯西不等式等性质 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 个大题 共 74 分 17 10 分 命题 p 关于 x 的不等式 x2 2ax 4 0 对一切 x R 恒成立 命题 q 函数 f x 3 2a x是增函数 若 p q 为真 p q 为假 求实数 a 的取值范围 考点 命题的真假判断与应用 复合命题的真假 二次函数的性质 指数函数的单调性与 特殊点 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 由 p q 为真 p q 为假 知 p 为真 q 为假 或 p 为假 q 为真 由此利用二元一 次不等式和指数函数的性质 能求出实数 a 的取值范围 解答 解 p q 为真 p q 为假 p 为真 q 为假 或 p 为假 q 为真 当 p 为真 q 为假时 解得 1 a 2 当 p 为假 q 为真时 解得 a 2 综上 实数 a 的取值范围是 a a 2 或 1 a 2 点评 本题考查命题的真假判断 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 18 12 分 2012 安徽 设函数 f x aex b a 0 求 f x 在 0 内的最小值 设曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 求 a b 的值 11 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 综合题 分析 设 t ex t 1 则 求出导函数 再进行分类 讨论 当 a 1 时 y 0 在 t 1 上是增函数 当 0 a 1 时 利用基本不等式 当且仅当 at 1 x lna 时 f x 取得最 小值 求导函数 利用曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 建 立方程组 即可求得 a b 的值 解答 解 设 t ex t 1 则 当 a 1 时 y 0 在 t 1 上是增函数 当 t 1 x 0 时 f x 的最小值为 当 0 a 1 时 当且仅当 at 1 x lna 时 f x 的最 小值为 b 2 求导函数 可得 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 即 解得 点评 本题考查导数知识的运用 考查导数的几何意义 考查函数的单调性与最值 属于 中档题 19 12 分 已知抛物线 y ax2 bx 在第一象限内与直线 x y 4 相切 此抛物线与 x 轴所围 成的图形的面积记为 S 求使 S 达到最大值的 a b 值 并求 S 的最大值 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 12 专题 综合题 分析 依题设可知抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1 0 所以 由直线 x y 4 与抛物线 y ax2 bx 相切 知 ax2 b 1 x 4 0 中 b 1 2 16a 0 由此能求出 S 达到最大值的 a b 值及 S 的最大值 解答 解 依题设可知抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1 0 所以 1 4 分 又直线 x y 4 与抛物线 y ax2 bx 相切 即它们有唯一的公共点 由方程组 得 ax2 b 1 x 4 0 其判别式 必须为 0 即 b 1 2 16a 0 于是 8 分 代入 1 式得 令 S b 0 在 b 0 时 得 b 3 当 0 b 3 时 S b 0 当 b 3 时 S b 0 故在 b 3 时 S b 取得极大值 也是最大值 即 a 1 b 3 时 S 取得最大值 且 12 分 点评 本题考查抛物线和直线的综合运用 考查运算求解能力 推理论证能力 考查化归 与转化思想 对数学思维的要求比较高 有一定的探索性 综合性强 难度大 是 高考的重点 解题时要认真审题 仔细解答 注意定积分的合理运用 13 20 12 分 2006 江西 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 考点 利用导数研究函数的极值 函数恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 1 求出 f x 因为函数在 x 与 x 1 时都取得极值 所以得到 f 0 且 f 1 0 联立解得 a 与 b 的值 然后把 a b 的值代入求得 f x 及 f x 然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间 2 根据 1 函数的单调性 由于 x 1 2 恒成立求出函数的最大值值为 f 2 代入求出最大值 然后令 f 2 c2列出不等式 求出 c 的范围即可 解答 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由解得 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 函数 f x 的单调区间如下表 x 1 1 1 f x 0 0 f x 极大 值 极小 值 所以函数 f x 的递增区间是 和 1 递减区间是 1 2 当 x 时 f x c 为极大值 而 f 2 2 c 所以 f 2 2 c 为最大值 要使 f x c2对 x 1 2 恒成立 须且只需 c2 f 2 2 c 解得 c 1 或 c 2 点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力 利用导数研究函数单调性的能力 以及理 解函数恒成立时所取到的条件 21 14 分 已知函数 f x 2aln 1 x x a 0 I 求 f x 的单调区间和极值 14 II 求证 n N 考点 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 综合题 压轴题 分析 I 先求函数的定义域 然后求出函数的导函数 再讨论导数的正负 在函数的定 义域内解不等式 f x 0 和 f x 0 即可求出函数的单调区间 从而得出函数的极值 II 利用对数的运算性质将欲证不等式进行变形 即证 对函数 f x 令 由 I 可知 f x 在 0 上递减 故 f x f 0 0 即可得 ln 1 x x 最后令 取 n 1 2 3 n 将所得的不等式累加即可得出要证的不等式成立 解答 解 I 定义域为 1 令 f x 0 1 x 2a 1 令 f x 0 x 2a 1 故 f x 的单调递增区间为 1 2a 1 f x 的单调递减区间为 2a 1 f x 的极大值为 2aln2a 2a 1 II 证 要证 即证 即证 即证 令 由 I 可知 f x 在 0 上递减 故 f x f 0 0 即 ln 1 x x 令 15 故 累加得 故 得证 点评 本题主要考查了导数与不等式两方面的知识 考查运算求解能力 推理论证能力 化归与转化思想 属于中档题 I 考查了利用导数研究函数的极值 以及研究函数单调区间等有关基础知识 II 考查了运用不等式的性质进行等价变形 将 I 中的函数结论巧妙运用到不 等式当中 从而达到证明的目的 22 14 分 2012 黑龙江 已知函数 f x 满足 1 求 f x 的解析式及单调区间 2 若 求 a 1 b 的最大值 考 点 导数在最大值 最小值问题中的应用 利用导数研究函数的单调性 专 题 综合题 压轴题 探究型 转化思想 分 析 1 对函数 f x 求导 再令自变量为 1 求出 f 1 得到函数的解析式及导数 再由导数求函数的单调区间 2 由题意 借助导数求 出新函数的最小值 令其大于 0 即可得到参数 a b 所满足的关系式 再研究 a 1 b 的最大值 解 答 解 1 令 x 1 得 f 0 1 令 x 0 得 f 0 f 1 e 1 1 解得 f 1 e 故函数的解析式为 令 g x f x ex 1 x g x ex 1 0 由此知 y g x 在 x R 上单调递增 16 当 x 0 时 f x f 0 0 当 x 0 时 有 f x f 0 0 得 函数的单调递增