【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 单元评估检测(十五)课时提能训练 理 新人教A版

1 全程复习方略全程复习方略 广西专用 广西专用 20132013 版高中数学版高中数学 单元评估检测单元评估检测 十五十五 课时提能课时提能 训练训练 理理 新人教新人教 A A 版版 第十四 十五章第十四 十五章 120 120 分钟分钟 150150 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 2012 梧州模拟 已知复数 z 满足 z i 2 i i 为虚数单位 则 z A 2 i B 1 2i C 1 2i D 1 2i 2 曲线 y x3 3x 上切线平行于 x 轴 则切点的坐标是 A 0 0 B 1 2 1 2 C 1 2 1 2 D 1 2 1 2 3 2012 北海模拟 如果复数的实部与虚部互为相反数 那么实数 b 等于 2 bi 1 2i A B C 2 D 2 2 3 2 3 4 若函数 f x x2 bx c 的图象的顶点在第四象限 则其导函数 f x 的图象可能是 5 函数 y xsinx cosx 在 3 内的单调增区间为 A B 3 2 3 2 5 2 C 3 D 2 5 2 6 若 10 3 a bi 1 i a b R 则 a b 1 i 1 i 1 i A 1 B 0 C 1 D 2 7 设 f x 是函数 f x 的导函数 有下列命题 存在函数 f x 使函数 y f x f x 为偶函数 2 存在函数 f x f x 0 使 y f x 与 y f x 的图象相同 存在函数 f x f x 0 使 y f x 与 y f x 的图象关于 x 轴对称 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 8 已知函数 f x 的导函数为 f x 且满足 f x 2xf 1 lnx 则 f 1 A e B 1 C 1 D e 9 已知函数 f x x3 ax b 1 是定义在 R 上的奇函数且在 x 时取得极值 则 a b 的值为 3 3 A B C 1 D 2 1 2 3 4 10 易错题 定义在 R 上的函数 f x 满足 x 2 f x 0 又 a f 3 b f 0 3 c f ln3 1 2 log 1 3 则 A a b c B b c a C c a b D c bf x2 则下列不等式恒成立的是 2 2 A x1 x2 B x10 D x x 2 12 2 12 不等式 ex x ax 的解集为 P 且 0 2 P 则实数 a 的取值范围是 A e 1 B e 1 C e 1 D e 1 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题 每小题小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 请把正确答案填在题中横线上请把正确答案填在题中横线上 13 已知复数 z i a R 若 z R 则 a a i 1 i 14 已知直线 y x 1 与曲线 y ln x a 相切 则 a 的值为 15 2012 南宁模拟 曲线 f x x3 3x 的单调递增区间为 16 已知函数 f x lnx 2x g x a x2 x 若 f x g x 恒成立 则实数 a 的取值范围是 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知函数 f x x3 ax2 b 的图象在点 P 1 f 1 处的切线为 3x y 3 0 1 求函数 f x 及单调区间 2 求函数在区间 0 t t 0 上的最值 3 18 12 分 两个二次函数 f x x2 bx c 与 g x x2 2x d 的图象有唯一的公共点 P 1 2 1 求 b c d 的值 2 设 F x f x m g x 若 F x 在 R 上是单调函数 求 m 的取值范围 并指出 F x 是单调递增 函数 还是单调递减函数 19 12 分 2011 北京高考 已知函数 f x x k 2e x k 1 求 f x 的单调区间 2 若对于任意的 x 0 都有 f x 求 k 的取值范围 1 e 20 12 分 2012 柳州模拟 已知对任意的实数 m 直线 x y m 0 都不与曲线 f x x3 3ax a R 相 切 1 求实数 a 的取值范围 2 当 x 1 1 时 函数 y f x 的图象上是否存在一点 P 使得点 P 到 x 轴的距离不小于 1 4 21 12 分 预测题 函数 f x ax3 6ax2 3bx b 其图象在 x 2 处的切线方程为 3x y 11 0 1 求函数 f x 的解析式 2 若函数 y f x 的图象与 y f x 5x m 的图象有三个不同的交点 求实数 m 的取值范围 1 3 3 是否存在点 P 使得过点 P 的直线若能与曲线 y f x 围成两个封闭图形 则这两个封闭图形的面积 相等 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 说明理由 22 12 分 已知函数 f x ex 2x2 ax 1 函数 f x 在区间 0 1 上存在唯一的极值点 求 a 的取值范围 2 若 a 3 当 x 时 关于 x 的不等式 f x x2 b 3 x 1 恒成立 试求实数 b 的取值范围 1 2 5 2 答案解析答案解析 1 解析 选 D 由 z i 2 i 得 z 1 2i 2 i i 2 i i i2 2i i2 1 选 D 2 解析 选 D 设切点坐标为 x x3 3x 由题意 则 x3 3x 3x2 3 0 x 1 切点为 1 2 或 1 2 4 3 解析 选 D 2 bi 1 2i 2 bi 1 2i 1 2i 1 2i 1 b 4 b i 2 5 1 5 由题意知 1 b 4 b 0 b 2 5 1 5 2 3 故选 D 4 解析 选 A f x x2 bx c 图象的顶点在第四象限 0 即 b 0 又 f x 2x b b 2 f x 图象可能是选项 A 5 解析 选 B y xsinx cosx y xsinx cosx sinx xcosx sinx xcosx 当 x 3 时 要使 y xcosx 0 只要 cosx 0 结合选项知 只有 B 满足 6 解析 选 A 10 i10 1 1 i 1 i 3 i 3 i 1 i 1 i a bi 1 i a bi 1 1 i 1 i a b R a 1 b 0 a b 1 7 解析 选 D 当 f x 为常数函数时成立 当 f x ex时成立 当 f x e x时成立 8 解析 选 B f x 2f 1 令 x 1 得 f 1 2f 1 1 1 x f 1 1 故选 B 9 解析 选 D 因为 f x 是奇函数 所以 f 0 0 b 1 0 即 b 1 又 f x 3x2 a 由 f 0 可得 3 a 0 于是 a 1 故 a b 2 3 3 1 3 10 解析 选 D x 2 f x 0 当 x0 当 x 2 时 f x 1 1 2 log 1 3 2 3 0 3b f 0 3 c f ln3 1 2 log 1 3 11 解析 选 D 显然 f x 为偶函数 当 x 0 时 f x sinx xcosx 0 2 f x 在 0 上单调递增 2 又 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x2 x x 2 12 2 12 解题指南 转化为恒成立问题 利用导数求解 解析 选 A 因为 ex x ax 的解集为 P 且 0 2 P 所以对任意 x 0 2 ex x ax 恒成立 当 x 0 时 不等式恒成立 当 0 x 2 时 a 1 也应恒成立 ex x 令 g x 1 则 g x x e x x 2 x1 e x 当 10 当 0 x 1 时 g x 0 解得 x1 f x 的单调递增区间为 1 1 答案 1 1 16 解析 设 F x f x g x 其定义域为 0 则 F x 2 2ax a 1 x x 0 2x 1 ax 1 x 当 a 0 时 F x 0 F x 单调递增 F x 0 不可能恒成立 当 a 0 时 令 F x 0 得 x 或 x 舍去 1 a 1 2 当 0 x0 当 x 时 F x 0 解得 x 2 或 x 0 f x 的增区间是 0 2 减区间是 0 2 2 当 0 t 2 时 f x max f 0 2 f x min f t t3 3t2 2 当 23 时 f x max f t t3 3t2 2 f x min f 2 2 18 解题指南 1 把点 P 的坐标代入两函数解析式 结合 x2 bx c x2 2x d 有唯一解 可求得 b c d 2 若 F x 在 R 上是单调函数 则 F x 在 R 上恒有 F x 0 或 F x 0 7 解析 1 由已知得Error Error 化简得Error Error 且 x2 bx c x2 2x d 即 2x2 b 2 x c d 0 有唯一解 所以 b 2 2 8 c d 0 即 b2 4b 8c 20 0 消去 c 得 b2 4b 4 0 解得 b 2 c 1 d 3 2 由 1 知 f x x2 2x 1 g x x2 2x 3 故 g x 2x 2 F x f x m g x x2 2x 1 m 2x 2 2x3 6x2 2 2m x 2m 2 F x 6x2 12x 2 2m 若 F x 在 R 上为单调函数 则 F x 在 R 上恒有 F x 0 或 F x 0 成立 因为 F x 的图象是开口向下的抛物线 所以 F x 0 在 R 上恒成立 故 F x 在 R 上为减函数 所以 122 24 2 2m 0 解得 m 2 即 m 2 时 F x 在 R 上为减函数 19 解析 1 f x x2 k2 e 令 f x 0 得 x k 1 k x k 当 k 0 时 f x 与 f x 的情况如下 x k k k k k k f x 0 0 f x 4k2e 1 0 所以 f x 的单调递增区间是 k 和 k 单调递减区间是 k k 当 k 0 时 f x 与 f x 的情况如下 x k k k k k k f x 0 0 8 f x 0 4k2e 1 所以 f x 的单调递减区间是 k 和 k 单调递增区间是 k k 2 当 k 0 时 因为 f k 1 e 所以不会有x 0 f x k 1 k 1 e 1 e 当 k 0 时 由 1 知 f x 在 0 上的最大值是 f k 4k2 e 所以x 0 f x 等价于 f k 解得 k 0 1 e 4k2 e 1 e 1 2 故当x 0 f x 时 k 的取值范围是 0 1 e 1 2 20 解析 1 f x 3x2 3a 3a 对任意 m R 直线 x y m 0 都不与 y f x 相切 1 3a 1 3a 实数 a 的取值范围是 a1 1 4 当 0 a 时 f x 3x2 3a 3 x x 列表 1 3aa x a a aa a a f x 0 0 f x 极大值 2a a 极小值 2a a f x 在 0 上递减 在 1 上递增 aa 注意到 f 0 f 0 且 1 3aa3a x 0 时 g x f x x 1 时 g x f x 3a3a g x max max f 1 f a 9 由 f 1 1 3a 及 0 a 1 4 1 3 解得 0 a 1 4 此时 f f 1 成立 a g x max f 1 1 3a 1 4 由 f 2a 及 0 a aa 1 4 1 3 解得 a 此时 f f 1 成立 1 4 1 3a g x max f 2a aa 1 4 在 x 1 1 上至少存在一个 x0 使得 f x0 成立 1 4 方法二 反证法 假设在 x 1 1 上不存在 x0 使得 f x0 成立 即x 1 1 f x0 1 4 1 4 设 g x f x 则 g x 在 x 1 1 上是偶函数 x 0 1 时 f x max 1 4 当 a 0 时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 且 f 0 0 g x f x g x max f 1 1 3a 与 a 0 矛盾 1 4 1 4 当 0 a 时 f x 3x2 3a 3 x x 列表 1 3aa x a a aa a a f x 0 0 f x 极大值 2a a 极小值 2a a f x 在 0 上递减 在 1 上递增 aa 注意到 f 0 f 0 且 1 3aa3a x 0 时 g x f x x 1 时 g x f x 3a3a g x max max f 1 f a 注意到 0 a 由 1 3 10 Error Error Error Error 矛盾 Error Error Error Error 矛盾 x 1 1 f x0 与 a 矛盾 1 4 1 3 假设不成立 存在点 P 使得点 P 到 x 轴的距离不小于 1 4 变式备选 甲 乙两地相距 400 千米 一汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过 100 千米 时 已 知该汽车每小时的运输成本 t 元 关于速度 x 千米 时 的函数关系式是 t x4 x3 15x 1 19 200 1 160 1 当汽车以 60 千米 时的速度匀速行驶时 全程运输成本为多少元 2 为使全程运输成本最少 汽车应以多大速度行驶 并求出运输成本的最小值 解析 设全程运输成本为 f x 元 则 f x x4 x3 15x 1 19 200 1 160 400 x x3 x2 6 000 元 0 x 100 1 48 5 2 1 当 x 60 千米 时 时 f 60 603 602 6 000 1 500 元 1 48 5 2 答 汽车以 60 千米 时的速度匀速行驶时 全程运输成本为 1 500 元 2 f x x2 5x 0 x 100 1 16 令 f x 0 得 x 80 当 x 0 80 时 f x 0 f x 是增函数 当 x 80 千米 时 时 f x 取极小值 f x 在 0 100 上只有一个极小值 f 80 是最小值 f 80 803 802 6 000 元 1 48 5 2 2 000 3 答 当汽车以 80 千米 时的速度匀速行驶时 全程运输成本最少 最小值为元 2 000 3 21 解析 1 由题意得 f x 3ax2 12ax 3b f 2 3 且 f 2 5 Error Error 即Error Error 解得 a 1 b 3 11 f x x3 6x2 9x 3 2 由 f x x3 6x2 9x 3 可得 f x 3x2 12x 9 f x 5x m 3x2 12x 9 5x m x2 x 3 m 1 3 1 3 则由题意可得 x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m 有三个不相等的实根 即 g x x3 7x2 8x m 的图象与 x 轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 则 g x g x 的变化情况如下表 x 2 3 2 3 4 2 3 4 4 g x 0 0 g x 极大值极小值 则函数 g x 的极大值为 g m 极小值为 g 4 16 m 2 3 68 27 y f x 的图象与 y f x 5x m 的图象有三个不同的交点 则有 1 3 Error